浅谈数学课堂中直觉思维的培养
——以初中几何教学为例

首都师范大学教育学院(100048)

宋伟强●



浅谈数学课堂中直觉思维的培养
——以初中几何教学为例

首都师范大学教育学院(100048)

宋伟强●

直觉思维是数学创造和发明的源泉，因此在数学课堂教学中进行直觉思维的培养具有重要意义.教师在初中几何教学过程中进行直觉思维的培养，要注重基础知识整体性和系统性的培养，注重直观材料的使用，提倡猜想，创设直觉情境,对逻辑步骤进行不断简约.

初中数学；数学直觉；几何

数学直觉思维是指以一定的知识经验为基础，对数学对象的结构及其关系进行的敏锐、迅速的判断和领悟的一种心智活动形式.《义务教育数学课程标准(2011版)》强调：要重视直观，处理好直观与抽象的关系；学生应该有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测，鼓励学生的创造性思维.其中，直观、观察、猜测等行为与直觉思维直接相关.彭加勒说:“逻辑用于论证，直觉可用于发明.” 培养学生的数学直觉思维既是数学教学的需要，更是社会创新发展的必要.但在初中数学教学过程中，特别是几何部分，教师过于重视逻辑思维的作用，忽略了直觉思维的培养和运用.由此，学生在学习过程中对数学本质理解产生偏离，认为数学是枯燥无趣的，逐步对数学丧失了兴趣.徐利治教授指出:“数学直觉是可以后天培养的.实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”如何培养学生的数学直觉？下面笔者将以初中几何的教学为例，阐述数学直觉的培养策略.

1．培养扎实的知识基础，注重知识的整体性和联系性

数学直觉不是凭空创造出来的，而是以一定知识结构、经验方法积累为基础的，脱离上述条件直觉是不会发生，例如六岁儿童无法依靠直觉思维解决高中数学中的问题.获得直觉的过程必定是一个从表面到深化，从外在到内化的过程.

作为初中数学课程中的一部分，几何课程新概念多、逻辑性强，形式上具有多样性.在几何的教学过程中培养学生的数学直觉，既要注重几何基础知识的培养，对于基本概念、公理等要有准确的理解，同时不能忽视几何对于发展逻辑思维能力的重要作用，以逻辑思维积累促进直觉思维的发展，因“量变”达“质变”.同时，在数学教学过程中，应注重知识的整体性，既要把握数学各个有机部分之间的练习，又要关注数学内容与所内含的数学思想方法的整体性，让学生能够透过问题抓住本质，激发直觉思维的产生.

初中几何的知识联系性较强.例如，梯形的性质与三角形、平行四边形有诸多联系，因此在梯形部分的教学过程中则应体现知识之间的联系和整体性，为培养学生几何直觉奠定基础.下图为有关梯形的题目常见的几种辅助线的做法，均是通过补或者割组合成三角形或平行四边形，然后利用平行四边形或者三角形的知识解决问题.

2.注重直观材料的使用，创设直觉情境

直观虽然与直觉有所不同，但是直观材料的使用对于创设直觉情境，培养直觉思维起着重要作用.学生在初中阶段才真正学习图形的性质，对于图形的掌握还仅限于日常生活，因此教师首先要做的是让学生熟悉数学图形，建立初步的几何直觉，即在认识不同几何图形的基础上，还能指出不同几何图形的特点，这就需要直观材料的辅助.在教学过程中，教师应注意：一是要多向学生展示图形，充分使用画图软件，并且引导学生多动手画图，让学生在视觉上受到冲击；二是要利用好数学模型，也可指导学生制作数学模型，让学生可以触摸到几何图形；三是要用形象的直观性语言表述几何图形的特点，引发学生的联想.通过上述方法，教师可将几何问题“图形化”、“模型化”，通过视觉、听觉、触觉等方面刺激学生的直觉思维.图2为笔者前往美国加州中学访问期间，在课堂上观察到学生用牙签盒泡沫制作的图形模型，通过自己动手操作，学生能够更加清楚地理解点与线、线与线的位置关系以及所组成图形的特点.

3.改变题型设置，增加探索性题目

初中几何部分的练习题多是直接给出结论要求证明，学生需要根据结论寻找相关证明，思维过程被倒置，逻辑推理引导了学生的学习思路，而直觉的作用却难以体现.加上大量的练习，使得几何的学习变成了逻辑演绎形式的堆砌，因此学生的兴趣难以被激发出来，几何自然也就变成了困住学生思维的枷锁.

在教学过程中，教师要应当选择适当的题目类型，改变几何题目多以证明题为主的现状，增加探索类题目，让学生经历观察、实验、猜想等过程，最终通过逻辑分析证明自己的相关结论.这样既能培养学生的数学直觉思维，又能提高逻辑分析能力.我们来观察以下两道题目：

例1 如图3，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE.求证： BG=DE,BG⊥DE.

例2 (2008.义乌) 如图4，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

(1)①猜想如图4中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图3中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图5、如图6情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图5证明你的判断．

对比例1和例2，不难发现二者在逻辑证明上是相同的，但例1中结论已经给出，缺乏直觉的情境，对于学生直觉思维的培养是不利的；例2通过从特殊到一般，引导学生进行猜想和证明，学生如同完成了一个研究过程，内在潜能得到激发，通过题目体验到直觉思维和逻辑思维的不同乐趣，思维得到全面发展.

4.提倡和鼓励猜想

我们知道，数学的发展离不开直觉的功劳，更离不开猜想的功劳，哥德巴赫猜想是最佳案例.大胆的猜想是直觉思维的重要形式之一.教师在教学过程中要鼓励和提倡学生进行猜想，在几何学习中，要引导学生在公理的指导下对相关的定理、推论等进行猜想，对问题解决中的图形特点和关系进行预测，将猜想作为指导几何学习的辅助工具.值得注意的是，猜想仅为学习或解题提供方向，接下来依旧需要逻辑分析加以证明.

以勾股定理的学习为例，学生可以通过边长为(3，4，5)、(12，5，13)等直角三角形的特点，猜想出直角三角形各边的数量关系，进而通过猜想得到的结论形式，继续猜想可以通过与面积相关的方法加以证明，最终得出相关结论.结论得出后，学生可以进一步猜想非直角三角形三边的关系，以及三维空间是否存在与勾股定理类似的结论等，然后逐一进行证明.尽管初中生可能无法独立完成后续证明，但猜想得出类似的正确结论亦能让学生获得成就感.同时，在此过程中，学生对于数学问题解决的“方向感”得到巩固，数学直觉思维得到发展.

5.适当简化逻辑步骤，淡化对公理、法则等的记忆

初中几何的学习，最重要的本是逻辑思维的培养，但由于考试的压力，教师过分追求公理和法则的记忆，过分要求证明过程的严格化、程序化，学生在问题解决后记忆的更多是逻辑形式，使得几何变得枯燥无趣，学生的直觉思维亦被压制，思维本能无法得到释放.

在几何教学中培养学生的直觉思维，一是要在淡化公理和法则的记忆的同时，加强对公理法则的直觉性理解和运用；二是要在保证逻辑思维严密性的基础上简化逻辑步骤，注重证明过程的整体性，使得证明过程更加简洁易懂，逻辑重点更加突出.

下面是初中生在几何学习中最为常见的证明题目，逻辑步骤如下：

例3 如图7，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

证明 延长BA、CE，两线相交于点F.

∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中,∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC.∴△BEF≌△BEC(ASA),∴EF=EC,∴CF=2CE.

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°.

又∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠ACF.

在△ABD和△ACF中,∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△ACF(ASA), ∴BD=CF, ∴BD=2CE.

例3中，△BEF≌△BEC的证明较为简单，证明所需条件较为明显易得，在学习完全等三角形的证明之后解决此问题，对于大多数学生已不具难度，因此证明过程中关于△BEF≌△BEC的证明部分略显啰嗦，尽管逻辑步骤较为详尽，但学生对于该题目的思维起点已经能够达到△BEF≌△BEC，因此再详尽证明实际价值不大，这里可以有所省略.特别注意的是，上述仅限于完成全等三角形的学习后，在新授课阶段该内容不可省略.最后，教师在几何的教学过程中要侧重于思维，而不是过程，只有这样才能为直觉思维的培养留出时间和空间.

总之，直觉思维和逻辑思维互为补充、互相促进，缺少任何一项，思维发展的完整性就无从谈起.本文强调直觉思维的重要性，基于直觉思维推动了数学的发明和创新，只有在教学中注重数学直觉思维的培养，学生才能体会数学的本质，感受数学的美丽，数学学科才能得到更长远的发展.

[1]昂利·彭加勒.科学的价值[M].李醒民译.北京:商务出版社,2014.

[2]徐利治.徐利治谈治学方法与数学教育[M].大连：大连理工出版社,2008.

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