例谈数学习题课构建中的支撑与改进

周海涛

[摘 要] 数学习题课教学作为一种必不可少的教学形式，近期越来越受到广大教师的重视，尤其是日常教学的一些环节，也确实取得了不小的进展. 但教学过程中仍存在一些问题. 初中数学答题技巧的训练，应该被放在首要的位置，现实的情况是教师为了提高学生的分数一味地讲例题、讲模板，却忽视了学生数学能力的培养. 本文将从一些日常实例入手，剖析如何有效地构建习题课教学，并提出一些改进建议.

[关键词] 习题课；构建；支撑；改进

数学习题教学是以探究数学问题为主的教学，是学生获得数学知识并培养探究能力的有效途径. 习题课中对于习题的研究，能够将学生数学学习过程中的发现、探究、研究与改进等认知活动凸显出来，使学生参与并体验数学知识的发现过程，建构起对数学学习新的认识. 通过习题课教学，学生可以从多角度深入理解数学知识，有利于建构数学知识之间的有效联系. 当学生面对实际问题时，更容易联想起所学的知识进行灵活应用. 下面，笔者就从日常实践过程中的一些研究和感悟谈起，分析习题课教学的有效构建、支撑和改进措施.

习题课教学现状剖析

1. 重“分数”，轻“领悟”

当下，很多学校对于初中数学往往强调的都是分数，强调的是怎么用最简单的办法将题目做对. 虽然这种想法本身没有错，但是一味地要求解题步骤化和“规范化”将不利于学生数学能力的培养，有的甚至一味地注重对理论知识的灌输，这样的数学就失去了它原本的魅力. 不仅如此，数学还要与其他学科相结合，以二元一次方程的教学内容为例，可以设计可能发生的实际问题：A，B两地相距150 km，甲和乙分别从两地同时出发且相向而行，在运动过程中，他们都保持匀速行驶，也就是说，他们各自离A地的距离是花费时间的一次函数，已知1 h后乙距离A地120 km，2 h后甲距离A地80 km，问他们何时可以相遇. 这道题不仅考查了学生的数学能力，也考查了学生对生活问题的思考. 因此，如果只重视分数，就失去了分析这道题的另一个角度，也就使得数学失去了原本的魅力. 可见，数学成绩需要打好基础，技巧和能力的培养也同样重要.

2. 评价标准单一，缺乏对比

目前，初中数学评价学生的表现还是依靠分数来进行的，分数高的学生就能够在班里受到老师的重点照顾，而分数低的学生自然就会被忽视. 其实在初中就过分强调分数没有好处，而且如果过度的竞争对于学生今后的成长也没有好处. 从数学这门学科特点来看，完全依靠分数来衡量一个学生的成绩是不现实的，更何况初中阶段的学生，心理和生理还处在一个迅速发展的阶段，考试过程中影响发挥的因素实在是太多. 一味地套用数学公式其实并不叫真正地掌握，而对于解题技巧的评价，因为内容太过笼统就更难以落实了，所以要对初中数学答题技巧教学进行改进，还需要完善这方面的内容. 可见，习题课教学需要力求解决以上两个主要问题而进行重新构建.

数学习题课教学构建的支撑点

1. 通过激励激发学生的学习兴趣

数学学习如果完全依靠学习语文的学习方法，是达不到预定的学习效果的. 因为数学不仅要掌握所需的公式法则，还要有完整的运算步骤和推理过程，虽然如此，但是数学也同样需要学习热情，正是因为很多教师都意识不到这一点，所以导致很多学生会害怕学习数学，所以也就没什么学习热情，更不用说提高数学成绩、掌握熟练的解题能力了. 因此，要想在新课改的背景下进行习题课尝试，首先要激发学生的学习热情，要观察学生的学习情况，掌握学生的数学学习状况，从而有针对性地入手.

案例1 已知：如图1，AB∥CD，AB≠CD，E，F分别是BC与AD的中点，求证：EF∥CD.

证明 延长CD，过点B作AD的平行线交CD的延长线于点N，取BN的中点M，连接FM，连接EM. 因为AB∥CD，M，F分别是BN与AD的中点，所以FM∥AB∥CD. 又因为直线EM是△CBN的中位线，所以EM∥CD. 所以E，F，M三点在同一条直线上. 所以EF∥CD.

剖析与构建 在这道证明题当中，EF与CD的平行关系其实在视觉上是可以得出的，但是证明题需要步骤，而且要用课本上规定的定理，所以必须让学生从条件出发，进行一步步的推理. 在这个过程中，教师应该做的是从旁进行引导，特别是涉及延长线与中位线的作图，一定要让学生去实际操作，这样才能让学生有一个锻炼的机会. 而且这类题其实难度并不大，只要学生足够细心，就能得出结论，所以用此类题帮助学生树立信心再好不过了.

2. 不断提高学生的再发现能力

比如进行反比例函数内容的讲解时，应该学会让学生从图像和定义入手，发现反比例函数的特点. 下面来看一个常见的例子.

案例2 如图2，直线y=-x+5与双曲线y=（x>0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是. 若将直线y=-x+5向下平移1个单位长度，则所得直线与双曲线y=（x>0）的交点个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或2

剖析与构建 令直线y=-x+5与y轴的交点为D，过点B作BF⊥x轴于点F，通过令直线y=-x+5中x，y的值分别等于0，可得出线段OD与OC的长度，根据正切值即可得出∠DCO=45°. 再结合所作的垂直，可以得出△BFC是等腰直角三角形. 根据已知条件结合面积公式即可得出线段BF的长，再结合等腰直角三角形的性质可得出CF的长，于是可得OF的长，以及点B的坐标. 根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值. 根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，并将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论.

在几何问题中，为了解决问题的便利，常将图形拆分成几个三角形，拆分的原则是尽量以坐标轴上的线段作为小三角形的一条边，也就是以坐标轴为界拆分复杂图形，这样容易找到三角形的底和高. 把复杂图形分解成简单的图形时，化难为易的转化思想在解三角形面积中是最基本的思想.

3. 熟练掌握解题方法，灵活运用理论知识

学习数学的过程中，我们不难发现课本上也会经常标明一些解题的方法和公式，按照那个运算起来更加快捷容易，但是由于做题较少，缺乏训练，没有熟练掌握运算技巧和方法，所以比较容易出错. 例如，对于初三所学的“解一元二次方程”，有两个较为通用的解题方法：一是配方法，即将方程的一边配成完全平方形式，然后两边开方；另一个是因式分解法，即把左边化成两个因式的乘积，右边化为零.

案例3 解方程：2x2+6x+6=2.

分析 （配方法）原方程可整理为x2+3x+2=0，通过配方可得（x+1.5）2=0.25，通过开方即可求解. （因式分解法）上式可因式分解为（x+1）（x+2）=0，答案很明显，即x=-1或x=-2.

所以，对于解方程一类的题，最重要的是让学生打好基础. 因此学生熟练地掌握这些知识很有必要，不仅可以有效地提高做题效率，还能增强学生学习的信心和积极性.

习题课教学的改进

回到案例2，这是一个经典的案例，除了对思路进行剖析以外，是否需要在习题课上做一些必要的改进呢？学生在日常学习中，往往对知识的理解呈现出碎片化的特征，所以，教师也需要在系统性方面做一些必要的提升，将解题过程完整和系统化，下面进行四步处理.

第一步：设直线解析式，通过作图进行问题的初步展开. 令直线y=-x+5与y轴的交点为D，过点B作BF⊥x轴于点F，如图3. 令直线y=-x+5中的x=0，则y=5，即OD=5；令直线y=-x+5中的y=0，则x=5，即OC=5.

第二步：通过几何性质解决这一问题. 在Rt△COD中，因为∠COD=90°，OD=OC=5，所以tan∠DCO==1. 所以∠DCO=45°. 因为BF⊥x轴，∠DCO=45°，所以△BFC是等腰直角三角形.

因为S=OC·BF=×5×BF=，所以BF=1. 所以FC=1. 所以OF=OC-FC=5-1=4. 所以点B的坐标为（4，1）. 所以k=4×1=4，即双曲线的解析式为y=.

第三步：通过综合知识的运用，将问题解决系统化. 直线y=-x+5向下平移1个单位长度得到的直线的解析式为y=-x+4，将y=-x+4代入y=中，得-x+4=，化简并整理后得x2-4x+4=0，即（x-2）2=0，解得x=2. 所以平移后的直线与双曲线y=只有一个交点.

第四步：回头看问题解决中用到了哪些知识点，如何进行构建和问题解决的. 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图像上点的坐标特征、特殊角的正切值、三角形的面积公式以及等腰直角三角形的性质. 解题的关键是求出点B的坐标. 解决此类题型的试题时，根据特殊角找出等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标是关键.

结语

初中生的数学解题能力不高，可以说是长久以来困扰着我们的一个很重要的问题. 虽然新课改的推进工作已经进行了很长一段时间，但是一些细节方面还是会出现很多问题. 以上是笔者对此的总结. 对于日常的教学工作，我们需要从实际出发，在完善我们教学工作的基础之上做到有所突破，这才真正贯彻了新课改的精神.