立德树人：数学史的价值与意义

◇蔡宏圣

立德树人：数学史的价值与意义

◇蔡宏圣

数学史是研究数学知识发生、发展及其规律的科学，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且探索人类文明的各种形式间是如何彼此影响的。因而，在一定意义上说，数学史也是人类的文化史，这其中包括着：人类智者在某个情境中如何被逼发明某数学概念、创造某数学方法；数学概念、数学方法初创时期的存在形态以及历史演变；人类认识建构过程中曾经遭遇的曲折与走过的弯路；为了证明某数学结论，人类世代不懈的坚持与奋斗……这些内容对于当下旨在立德树人的数学教育来说，具有不可替代的价值与意义。

一、数学史呈现了人类创造的本源目的，由此才能品悟数学的本来意义

四大文明古国都诞生了数学，但现代意义上被称为数学的学科诞生在古希腊，只有古希腊人在人类历史上破天荒地第一次对已经成为事实的结果进行了理性的哲学考察——它们真的正确吗？史实告诉我们，小学生学的多数概念和方法都是为了解决实际问题被逼产生的。如果没有这些数学概念和方法，人类就不能更好地生存和生活，就没有人类文明的进一步发展。由此也就能理解，几千年来人类创造的数学知识浩瀚无边，为什么偏偏是那些数学知识进入小学数学的课堂。数学一直在发展，但是为什么有些数学的概念和方法没有被边缘化，一直需要现在的学生学习？其实，答案很简单，因为这些数学知识在整个人类文明的知识系统中具有不可替代的独到价值。不学习这些概念或方法，在现实社会中生活和交流就会有障碍，就不能成为一个社会人。

北京教育学院季苹教授提出：每一个知识都兼具事实性、概念性、方法性、价值性四个侧面。没有概念去概括，客观的事实或现象只能是经验；没有方法去运用，概念或原理只能是词语符号；没有价值取向的揭示，方法只能是机械的步骤。

以“比”的概念为例，它的事实性就是日常生活中人们关于比的各种应用；它的概念性就是它的定义、性质以及相关的化简运算；它的方法性包括利用“按比例分配”去解决实际问题。仔细琢磨一下，概念“比”的事实性、概念性、方法性和分数、除法密切相关，即使是“按比例分配”之类的问题解决，也都可以通过转化运用分数的知识加以解决。考察到这里，“比”这个概念似乎是多余的。但事实是，两个事物的比较，有时可以拿人数、时间、质量的多少直接比。这时，两量间的相差关系、倍数关系都可以说明问题。物体间除可以度量直接比较的属性外，还有不可直接度量的属性，比如房间的拥挤程度、饮料的浓度、图形的形状等，这些属性无法直接用某种度量单位测量，要进行比较，只有相关量数的相除关系才是有效的途径。“比”的价值也就在于，赋予了物体不可度量属性的可比性——只有知识的价值性才更好地彰显了“比”这一概念存在的合理性和必要性。这样的剖析起码说明了两个道理。其一，知识的价值性才是它最有意义的地方，甚至可以进一步说，没有感悟到知识的价值性，就不能称为“真正理解”这个知识；其二，由知识的事实性到价值性，认知层层被递进，知识也变得越来越“有意义”，把握了一个知识的价值性，也就直抵知识的核心之处。所以，一个教师要有一些数学史的积淀，因为只有知识产生、发展的历史才能述说人类当初为什么要创造这个概念或方法。从历史中梳理清楚了本源，在教学中就可以根据实际情况呈现这些当初被逼创造某概念或方法的本源问题，让学生像前人那样尝试着解决这些问题，甚至可以设计“不运用某数学概念（数学方法）如何解决此类问题”的环节。教学中突出了这些，也就突出了数学的真正意义：一方面，数学是认识感知世界的一个视角；另一方面，数学也是分析认识世界的一种方式。务实地说，数学就是一种生活的技能，从一个生理意义上的人转变为社会意义上的人，必须学会用数学的方式去感知、观察、分析、思考我们周围的世界。

二、数学史揭示了数学发展的演进脉络，由此才能把握教学的努力方向

概括地说，人类的几何知识，起源于人类祖先对物体的大小、形状和位置关系的直接印象。而后在生活设施（房屋、器皿等）和生产工具的制作中，经过不断地比较、分析、综合，人类确立了空间观念，把握了图形的基本性质，积累了丰富的几何活动经验。是希腊人完成了几何经验的学科化建设，从此人类进入了论证几何时期并完成了人类历史上第一个数学理论体系的组建，诞生了欧几里得几何。这之后，几何学的发展与关于平行线的讨论密不可分，随着讨论的不断深入而生长出不同的分支。非欧几何的诞生是数学史上哥白尼式的事件，让人类明白了数学重要的是逻辑推理上的无懈可击，数学不再仅仅是对自然的刻画，还可以是人类心智的自由创造。从此，几何学展现了千姿百态的发展态势。最终茂盛的几何学大树又被克莱因和希尔伯特一统为高观点的数学核心思想方法。

德国数学家希尔伯特说：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系……数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且会使这门科学一向相互隔绝的分支之间显露出原先意想不到的神奇关系。”在我们所能理解的数学领域里，同样得以体现。加、乘与减、除的计算方法迥异，但有了负数，加、减一体，有了倒数，乘、除互化；数与形界限分明，但引入了坐标，数的问题便可以转化为形的问题；已知和未知泾渭分明，但有了代数，未知也可以像已知一样参加运算；从代数表达式看，直是线性方程，曲是非线性方程，差别明显，但在微分中两者等同无异；古人“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每次的取出皆是有限的，但不断地超越，便是无限的……有一点，已经很清楚了，在原本两个不相干的概念、定理、公式间揭示了新的联系，一定是因为有了新的数学概念、新的数学方法、新的数学认识。

小学的数学教育往往从情境中起步，经过比较、分类、分析、概括，提炼形成数学认识或数学概念，这一阶段之后，教学应该有意识地往哪个方向努力，绝大多数老师对此的思考不是很清楚。就一个知识来说，其承载的育人价值往往是多元的，很难说某个知识用来让学生感悟数形结合就是对的，而用来让学生感受策略的多样性就是错的。在这些选择性的问题上，一个知晓了历史的教师，才会知道什么是符合历史主流前进方向的，什么是促进历史进步的关键节点。换言之，历史的选择更应该成为一个教师的教学选择。初等几何最终被统一的历史进程，启示了我们的教学要多多地沟通知识间的内在联系。线段的长度、角的角度（弧度）、图形的面积与体积，似乎毫无关系，但若从数学的统一性角度看，它们做的实际上是同一件事，都是对事物形态特征方面的定量刻画。人类认识事物首先是定性，但为了更加准确必须定量。所以，学习这些知识都是在学习如何定量刻画周围的世界。而且，量化的方法是一致的，首先都是拿同质的一小部分定义为“1”（对于线段来说，就是一个小段线段；对于角来说，就是一小角。如此类推，把这一小部分确定为一个单位），然后就看要量化的对象里包含了多少个“1”。再深入地看，对于线段等一维图形，看其中包括了多少个“1”，只能用数（shǔ）数(shù)的办法；而对于二维、三维的图形来说，可以用乘的方法更为方便地数（shǔ）出包含了多少个“1”，乘的结果为积，所以，它们量化的结果称为面积、体积。在不同知识间实现融会贯通，那么枝节的、琐碎的知识本身已经不再重要，原先汗牛充栋的内容也就统一为少数几个核心概念或原理。知识不再是学习的目的，而是变成了形成素养的载体。所以，数学越统一，也就越深刻，离数学的核心素养、数学的本源就越近。

三、数学史凝聚了无数智者的不懈坚守，由此才能感受数学的人性魅力

数学的概念、方法、符号、规则等都是人类的发明与发现。既然是人创造出来的东西，那么便带有鲜活的人性。只可惜，无论是数学的学术形态还是数学的教育形态，都抛弃了数学富有人性的一面，把数学变成了一堆完整的、正确的、没有任何破绽的形式化体系。而数学史会暴露数学富有人性的那一面，用好它们，教学就离育人更近了一点。比如，每一个重要数学概念的形成，都凝聚智者几十年、几百年乃至上千年的智慧，因此，在一节课的时间里要完全领悟它的内涵，有困难是极其正常的事情，在学习过程中相机呈现数学发展的艰难，可以让学生缓解学习焦虑。又比如，虽然数学是一个讲究逻辑的学科，但其自身的发展没有逻辑，第一感觉、错误曲折是数学产生、发展历史中不可缺失的组成部分。把历史上数学家们曾经走过的弯路亮出来，会让数学走下神坛，让学生感受到数学原来人人可学。这进一步启示我们，教学中不仅要讲正确的想法是什么，也要注意呈现巧妙解答怎么得到的过程，把思考过程中曾经的犹豫、反复、尝试、小失误等“不光彩”的东西都呈现出来，这样的数学才富有人性，才能让儿童乐意亲近、喜欢数学。

数学史不仅关注人类曾经有怎样的数学，还关注人类曾经怎样发展数学，其中数学家们的个人经历、研究感悟为如何结合数学教育践行立德树人提供了不一样的视角，特别是不同时代、不同领域的数学家发出的相似感悟，正是我们基于数学学科促进儿童成长应该遵循的固有规律。

比如，德国数学家高斯说，数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得很深。无独有偶，最终证明费马大定理的数学家安德鲁·怀尔斯，10岁时已经着迷于数学。他这样描述第一次看到费马大定理时的感受：“看上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它，这里正摆着一个我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它。”《大自然的分形几何学》的作者罗德布罗特，在书的引言中写道：“自然界的许多图形（比如云彩、海岸等），是如此的不规则和支离破碎。”“这些图形的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边、被认为是‘无形态可言’的形状。”“作为对这个挑战的回答，我构思并发展了大自然的一种新的几何学。”数学教育实践中，有机呈现数学发展的原始形态，能让学生向往亲近数学，但还没有征服学生。把这三位数学家的感悟联系起来看，能启示我们：不少人觉得数学难，所以不爱数学，实际上这是表面现象。数学能让一部分人终生追随，不是因为简单，恰恰是因为有点难。但与此同时，这里的“难”又特别讲究，它看上去又是那么简单易懂，并不是令人无从想起。所以，能让学生废寝忘食地思考的数学问题，首先是容易入手，不复杂，能很快地思考起来；其次是有点小难度，随着思考的深入，不断有新的挑战吸引着学生欲罢不能。

英国数学家哈代说：激励数学家做研究的主要动力是智力上的好奇心，是谜团吸引力。数学，是人类智力的皇冠，能吸引人沉醉其中正是因为可以享受智力的“高峰体验”。因此，一个数学教师要让数学更富有立德树人的价值，就要呈现与儿童的认知水平相匹配的那些数学——能解决又不能唾手可得、有信心又需要再作努力，从而让数学变得富有人性。在这样的情景下，孩子不断克服恰当的“小难”，不断积淀思考成功的快乐。即便偶尔遇到了“大难”，学生也绝不会感到数学不好玩，恰恰会勾起其克服“大难”的斗志。而越是“大难”，克服后获得的兴奋越酣畅淋漓、越震撼心灵。哪怕是一次这样的“高峰体验”，都可能让学生一辈子对思考“上瘾”，数学学科的立德树人便走上了高速公路。

以上三点，分别论及了数学史之于教师数学观、教学内容、儿童三者的价值。数学史就像一扇新的窗，从这个窗口去看这三个要素以及三个要素间的互动，都可以得到不一样的崭新启示。因此，数学教育如何更好地去践行立德树人、育人为本的根本要求，数学史是个突围的新路径，它的价值独到而又不可替代。

（作者单位：江苏启东市教师发展中心）