圆锥摆运动中的不变量

邓鸿羽 杨习志

(1. 云南省昆明市宜良县第二中学，云南 昆明 650000；2. 昆明市第一中学 云南 昆明 650000)

·问题讨论·

圆锥摆运动中的不变量

邓鸿羽1杨习志2

(1. 云南省昆明市宜良县第二中学，云南 昆明 650000；2. 昆明市第一中学 云南 昆明 650000)

经研究发现,在圆锥摆问题中,存在一个不变的量ω2h,即无论是什么样的圆锥摆模型,其角速度的平方与其摆高的乘积总是一定值,只要抓住这一不变量,就可以快速而轻松地解决大部分的圆锥摆问题．

圆锥摆； 不变量； 旋转秋千

在高中物理教学中,“圆锥摆”模型是较为常见和常考的问题之一.由于圆锥摆问题的多变性,使得学生在解答此类题型时总是难以把握．经研究发现,在圆锥摆问题中存在一个不变量,只要抓住这个不变量,就可以快速而轻松地解决大部分圆锥摆问题．

1 圆锥摆中的不变量

如图1所示是一个正立的圆锥摆模型,摆长为L,下端拴着质量为m的小球,在水平面内做匀速圆周运动.当绳子与竖直方向成θ角时,其受力情况如图2所示,运动方程为mgtanθ=mω2r,其中r=Lsinθ,代入并整理后可得ω2Lcosθ=g,令Lcosθ=h,则有ω2h=g,其中h为圆锥摆的摆高,即圆锥的锥高.可以看出ω2h是一个与摆长L、小球质量m无关,只与重力加速度有关的常量．

图1

图2

如图3所示是一个倒立的圆锥摆模型,质量为m的小球在光滑漏斗中的水平面内做匀速圆周运动,其受力情况如图4所示,则其运动方程为mgtanθ=mω2r,其中r=htanθ,代入并整理后可得ω2h=g,故ω2h是一个只与重力加速度g有关的定值．由以上分析可以看出无论是正立的圆锥摆还是倒立的圆锥摆,其ω2h均是一个只与重力加速度g有关的定值．故ω2h即为圆锥摆的不变量．值得注意的是,在漏斗模型中,由于角度θ已经固定,导致其向心力F=mgtanθ, 支持力N=mgcosθ,向心加速度a=gtanθ等均保持不变．

图3

图4

2 巧用圆锥摆中的不变量解题

图5

例1.如图5所示,两个质量不同的可视为质点的小球A、B用长度不等的细线拴在同一点,并在同一水平面内做匀速圆周运动,则它们的

(A) 周期相同. (B) 线速度相同.

(C) 角速度相同. (D) 向心加速度相同.

解析:由不变量ω2h可知,由于A、B两个小球具有相同的摆高h,故它们具有相同的角速度,又rA>rB,故由T=2πω，v=rω及a向=ω2r可判断选项(A)、(C)正确,(B)、(D)错误．

图6

例2.如图6所示,两个质量不同的可视为质点的小球A、B用长度不等的细线拴在同一点,并在水平面内的不同高度处做匀速圆周运动,它们做圆周运动的半径相同,则下列说法正确的是

(A)ωA>ωB. (B)vA>vB.

(C)TA=TB. (D)aA

解析:由不变量ω2h可知,由于hAωB,又rA=rB,由T=2πω，v=rω及a向=ω2r可判断选项(A)、(B)正确,(C)、(D)错误．

图7

例3.如图7所示,两个质量相同的小球在光滑漏斗的水平面内做匀速圆周运动,则下列判断正确的是

(A)ωA>ωB.

(B)vA>vB.

(C)TA=TB.

(D)aA

解析:由不变量ω2h可知,由于hA>hB,故ωA<ωB,即TA>TB,又aA=aB,rA>rB,由a=v2r可知vA>vB,故选项(B)正确,(A)、(C)、(D)错误．

3 圆锥摆模型的变形及其不变量的运用

图8

例4.如图8所示,“旋转秋千”中可视为质点的两个座椅A、B质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时,下列说法正确的是

(A)A的速度比B的大.

(B)A与B的向心加速度大小相等.

(C) 悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等.

(D) 悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小.

分析:此题可简化成如图9所示的模型,与其他圆锥摆所不同的是此题中的两个物体悬挂于不同的点,但均不是各自圆锥摆的顶点,如图10所示,可将摆线进行延长与转轴相交,交点OA和OB即为各自圆锥摆的“顶点”．设A、B的悬挂点到轴心的距离分别为xA和xB,摆线长均为L,摆角分别为θA和θB．

图9

图10

以A为研究对象,由几何关系得,物体A做圆周运动的半径为rA=xA+LsinθA,故其运动方程为

mgtanθA=mωA2(xA+LsinθA)，

即gωA2=xAtanθA+LcosθA.

又hA=xAtanθA+LcosθA,故有hA=gωA2,即ωA2hA=g,可以看出在旋转秋千的问题中,ω2h=g仍是一个不变量,同理可得ωB2hB=g,考虑到ωA=ωB,故hA=hB,即同一旋转秋千上的摆高均相同．

解析:由不变量ω2h可知,由于ωA=ωB,故有hA=hB,假设A、B两悬线与竖直方向的夹角相同,则如图11所示可以看出,hB必定大于hA,因此为保证hA=hB,如图12所示,则必定有θA<θB,故rA

图11

图12

另外,在旋转秋千问题中,当摆长不相等时,若LALB,且悬点位置不同,如图14所示,因摆高必须相等,则内侧物体的摆角可能大于、等于或小于外侧物体的摆角,也就可能出现内侧物体的圆周运动半径大于、等于或小于外侧物体的圆周运动半径．

图13

图14

综上所述,在圆锥摆问题中,ω2h=g是一个不变量,只要抓住这一不变量,在分析圆锥摆问题时将会变得非常的方便和快捷．

1 李洪军.“旋转秋千”悬线摆角的分析[J].理科考试研究·综合版，2015(3)：27-28.

2 白晶.圆锥摆模型的疑难化解与相关教学建议[J].物理教师，2016(4)：78-80.

3 袁培耀.圆锥摆模型的迁移应用[J].物理教师，2011(2)：20-22.

2016-10-30)