用波函数和Excel分析2016年高考物理试题“振动与波”问题几例

滕保丽

(丰县民族中学,江苏 徐州 221700)

用波函数和Excel分析2016年高考物理试题“振动与波”问题几例

滕保丽

(丰县民族中学,江苏 徐州 221700)

关于“振动与波”的高考题,一般是选择题,对于选择题,高考试卷的答案只有结果没有过程,而参考书或网上的“解析”,又往往或语焉不详,或不甚准确．因为关于“振动与波”的高考题,要讲清楚,往往要画图像,而徒手画图,又欠缺准确性,学生有时怀疑:是这样的吗?要画准确的图像,可以用Excel作图．要用Excel作图,就要先写出波函数．本文就是举例说明用波函数和Excel研究2016年高考物理试题“振动与波”问题．

1 波函数的定义

为了定量地描述介质中波动的情况,必需求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系,这种定量关系就是波的表达式,也叫做波函数(wave function)．

2 简谐波函数的推导

设有一波前为平面的简谐波,在均匀介质中沿x轴正方向传播,波速为v．由于这是一种平面波,所以在与x轴垂直的平面上,各点的振动情况是一样的．所以只要讨论x轴上各点的振动,就可以知道空间中各点的情况．

以O点为波源,设该处质元做简谐振动,其位移y与时间t的关系为

y=Acosωt.

式中A为振幅,ω为角频率．考察波线Ox上的任一点P,它离O点的距离为x,当波源O的振动传到P点时,P点的质元将重复O点的质元的振动,角频率也相同,但振动的相位要落后于O点．因为O点的振动传到P点需要时间xv,所以P处质元在时刻t的振动相位和O点质元在时刻t′=t-xv的振动相位一样,即其相位为

ωt′=ωt-xv.

由于平面简谐波传播时各质元的振幅相等,则P处质元在时刻t的位移为

y=Acosωt-xv.

这就是平面简谐波的波函数．因为ω=2πT,v=λT,所以波函数也可以写为

y=Acos2πtT-xλ.

当x取某一确定值时,波函数便是某质点的振动方程.例如x=0,y=Acosωt便是振源O的振动方程．据此可以画出该质点的振动图像．

当t取某一确定值时,波函数便是某时刻的波动方程.例如t=T,y=Acos2πλx便是时刻t=T的波动函数方程．据此可以画出该时刻的波的图像．

波函数也可以用正弦函数,与余弦函数没有本质的区别．

例1.[2016年高考全国3卷第34(1)题]由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播．波源振动的频率为20Hz,波速为16m/s．已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧,且P、Q和S的平衡位置在一条直线上,P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8m、14.6m,P、Q开始振动后,下列判断正确的是________．

(A)P、Q两质点运动的方向始终相同.

(B)P、Q两质点运动的方向始终相反.

(C) 当S恰好通过平衡位置时,P、Q两点也正好通过平衡位置.

(D) 当S恰好通过平衡位置向上运动时,P在波峰.

(E) 当S恰好通过平衡位置向下运动时,Q在波峰.

原题解析：根据题意信息T=1f=0.05s,v=16m/s,根据v=λT=λf,得波长为λ=vT=0.8m,找P点关于S点的对称点P′,根据对称性可知P′和P的振动情况完全相同,P′、Q两点相距Δx=32λ,为半波长的整数倍,所以两点为反相点,故P′、Q两点振动方向始终相反,则P、Q两点振动方向始终相反,选项(A)错误，(B)正确;P点距离S点xp=1934λ,当S恰好通过平衡位置向上振动时,P点在波峰,Q点相距S点xQ=1814λ,当S恰好通过平衡位置向下振动时,Q点在波峰,选项(D)、(E)正确．

易错点：P、Q的平衡位置之间的距离为15.8 m+14.6 m=20.4m,为20.40.8=2512个波长,所以P、Q两质点运动的方向始终相反,则选项(B)正确,选项(A)错误．错误原因是P、Q在波源的两侧而不是同侧．

用波函数和图像分析.

当S恰好通过平衡位置向上运动时,波函数为

y=sin[2π×(x+1.6)/0.8] (-1.6≤x<0)，

y=-sin(2π×x/0.8) (0≤x≤1.6).

波的图像如图1.

图1

从图像可以看出,P设x=1.4,134λ位置与xp=1934λ相同 在波峰．

当S恰好通过平衡位置向下运动时,波函数为

y=-sin[2π×(x+1.6)/0.8](-1.6≤x<0),

y=sin(2π×x/0.8) (0≤x≤1.6).

波的图像如图2.

图2

从图像可以看出,Q设x=-1,因为114λ位置与xQ=1814λ同相 在波峰．

从以上两个图像都可以看出,P、Q两质点运动的方向始终相反而不是相同,选项(A)错误,(B)正确，并且当S恰好通过平衡位置时,P、Q两点都不通过平衡位置,选项(C)错误．故正确选项为(B)、(D)、(E).

例2.(上海物理卷第20题)甲、乙两列横波在同一介质中分别从波源M、N两点沿x轴相向传播,波速为2m/s,振幅相同;某时刻的图像如图3所示．则

图3

(A) 甲、乙两波的起振方向相反.

(B) 甲、乙两波的频率之比为3∶2.

(C) 再经过3s,平衡位置在x=7m处的质点振动方向向下.

(D) 再经过3s,两波源间(不含波源)有5个质点位移为0.

原题解析： 据题意,甲波向右传播,乙波向左传播,甲波起振方向都向下，乙波起振方向都向上,选项(A)正确;从图可以看出,λ甲=4m,λ乙=6m;根据v=λf得f甲=0.5Hz,f乙=13Hz,所以甲、乙两波的频率之比为3∶2,选项(B)正确;再经过3s,甲波波谷到达x=7m处,乙波是平衡位置与波峰之间某振动到达x=7m处,所以,该质点应该向上振动,选项(C)错误;此时,除了波源还有x=9m,x=6-7m,x=6m,x=5-6m,x=2-3m处质点位移为0,选项(D)正确．正确选项为(A)、(B)、(D).

用波函数和图像分析.

再经过3s时的波函数(M-N之间即0-12之间)为:

y甲=sin(2π×x/4).(0≤x≤8)

y乙=sin(2π×x/6).(0≤x≤12)

y=y甲+y乙.(0≤x≤12)

再经过3s时的波形图像(M-N之间即0-12之间)如图4所示.

图4

从图像可以看出,再经过3s,平衡位置在x=7m处的质点在平衡位置以下．

从以上图像还可以看出,再经过3s,两波源间(不含波源)有5个质点位移为0(y与x轴的交点),分别为x=9m,x=7-7.5m,x=6m,x=4.5-5m,x=2-2.5m处,(有2处与“解析”不同),所以选项(D)正确．

为了进一步理解x=7处质点的运动趋势,笔者作出再过0.5s后的波形图像,先写出波函数．

因为Δx=vΔt=2×0.5m=1m,所以甲波向右传播1m,乙波向左传播1m,因此

y甲=sin[2π×(x-1)/4].(0≤x≤9)

y乙=sin[2π×(x+1)/6],(0≤x≤12)

再过0.5s后的波形图像如图5所示.

图5

两个图像对比可以得到,在t=3s时,平衡位置为x=7的质点是向上运动的．这里需要指出的是,在两个波合成的波中,不能像一个波那样,按照“上坡下行,下坡上行”的土办法判断质点的运动方向了．正确选项为(A)、(B)、(D).

图6

例3.(天津理综物理第12题)在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动,其表达式为y=5sinπ2t,它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播,某时刻波刚好传播到x=12m处,波形图像如图6所示,则

(A) 此后再经过6s该波传播到x=24m处.

(B)M点在此后第3s末的振动方向沿y轴正方向.

(C) 波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向.

(D) 此后M点第一次到达y=-3m处所需时间是2s.

原题解析： 波的周期T=2πω=2ππ2s=4s,波长λ=8m,波速v=λT=2m/s,则再经过6s,波传播的距离为x=vt=12m,故该波传到x=24m处,选项(A)正确;M点在此时振动方向向下,则第3s末,即经过了0.75T,该点的振动方向沿y轴正向,选项(B)正确;因波传到x=12m处时,(波前)质点向y轴正向振动,故波源开始振动时的运动方向沿y轴正向,选项(C)错;M点第一次到达y=-3cm位置时,振动的时间为T4=1s,选项(D)错误，故正确选项为(A)、(B).

用波函数和图像分析.

某时刻(t=0)的波函数为

y0=5×sin(π×x/4),(0≤x≤12)

t=3s时刻的波函数为

y3=5×sin[(π×2×(x/8-3/4)].(0≤x≤24)

t=0(实线)和t=3s(虚线)的波形图如图7所示.

图7

从图像可以看出,M点在此后第3s末的位置约在y=4m处,其振动方向沿y轴正方向(下坡上行).

M点的振动方程为

y=5sin2πT(t+t0)=5sinπ2(t+t0).

因为当t=0时,y0=3,所以sinπ2t0=35,π2t0=37°或143°,即0.65π或0.79π,则t0=1.3s或1.58s.

所以振动方程为

y=5×sin[2π×(t+1.3)/4]或

y=5×sin[2π×(t+1.6)/4].

M点的振动图像分别如图8、9所示.

图8

从图8可以看出,此后M点第一次到达y=-3m处所需时间约是2s,但是此图像表明,在t=0s时刻,M点是向上运动的,而原题,M点是向下运动的(见题目图6波形图)，所以此种情况不符合题意．

图9

从图9可以看出,t=0时，M点是向下运动的,此后M点第1次到达y=-3m处所需时间约是0.8s,而不是2s.

如果M点从y=3(t=0)开始不是向y轴负方向运动,而是向y轴正方向运动，则结果是2s到达y=-3 m．看来,所谓错误选项不是随意设置的,是根据考生的易错点设置的．正确选项为(A)、(B).

2016-08-18)