导数在数列中的应用

2017-04-12 18:29蔡圣兵
高中生学习·高二版 2017年4期
关键词:增函数通项定值

蔡圣兵

应用导数确定数列的最大(小)项

例1 已知数列[{an}]的通项[an=75n-5n214],[n∈N?],求使数列[{an}]取最大值时[n]的值.

解析 构造函数[f(x)=75x-5x214(x>0)],

则[f(x)=75-10x14].

当[00];

当[x>7.5]时,[f(x)<0].

即函数[f(x)]在[(0,7.5)]上是增函数,在[(7.5,+∞)]上是减函数,

故当[x=7.5]时,函数取得最大值.

当[n∈N?]时,[f(n)=75n-5n214],且[f(7)=f(8)],

因此当[n=7, 或8]时,数列[{an}]取得最大值.

变式 已知数列[{an}]的通项[an=8n2-n3],[n∈N?],求数列[{an}]的最大值及[n]的值. (答案:[a5=75])

应用导数研究数列的增减性

例2 已知函数[f(x)=x2+(a-3)x+a2-3a],a为常数.

(1)设实数[p,q,r]满足:[p,q,r]中的某一个数恰好等于a,且另两个恰为方程[f(x)=0]的两实根,判断:①[p+q+r],②[p2+q2+r2],③[p3+q3+r3]是否为定值?若是定值,请求出;若不是定值,请把不是定值的表示为函数[g(a)],并求[g(a)]的最小值.

(2)对于(1)中的[g(a)],设[H(a)=-16[g(a)-27]],数列[{an}]满足[an+1=H(an), n∈N*],且[a1∈(0,1)],试判断[an+1]与[an]的大小,并证明之.

解析 (1)由[Δ=(a-3)2-4(a2-3a)≥0]得,

[-1≤a≤3].

不妨设[a=p],则q,r恰为方程的两根.

由韦达定理得,

[q+r=3-a,qr=a2-3a.]

[∴p+q+r=3.] ①

[p2+q2+r2=a2+(q+r)2-2qr=a2+(3-a)2-2(a2-3a)=9. ②]

而[p3+q3+r3=p3+(q3+r3)=a3+[(q+r)2-3qr](q+r)]

[=3a3-9a2+27]. ③

则[g(a)=3a3-9a2+27],

求导得,[g(a)=9a2-18a=9a(a-2).]

当[a∈[2,3]]时,[g(a)≥0,][g(a)]递增;

当[a∈[0,2)]时,[g(a)<0,][g(a)]递减;

当[a∈[-1,0)]时,[g(a)≥0,][g(a)]递增.

[∴g(a)]在[[-1,3]]上的最小值为

[min{g(-1),g(2)}=min{15,15}=15.]

(2)由(1)得,[H(a)=-16[g(a)-27]=-12(a3-3a2).]

如果[a∈(0,1)],

则[H(a)=3a-32a2=3a(1-a2)>0.]

[∴H(a)]在[(0,1)]上为递增函数.

[∴H(a)∈(H(0),H(1))=(0,1).]

[∵an+1=H(an)=-12(an3-3an2),]

[∴a1∈(0,1)?a2∈(0,1)?…?an∈(0,1).]

又[∵an+1-an=-12an3+32an2-an]

[=-12an(an-2)(an-1)<0],

[∴an+1

变式 已知数列[an]满足[a1=2,]前[n]项和为[Sn],[an+1=pan+n-1,n为奇数,-an-2n, n为偶数.]

(1)若数列[bn]满足[bn=a2n+a2n+1,n≥1],试求数列[bn]前[n]项和[Tn];

(2)若数列[cn]满足[cn=a2n],试判断[cn]是否为等比数列,并说明理由;

(3)当[p=12]时,若数列{[dn]}满足[dn=(S2n+1-10)c2n],问是否存在[n∈N*],使得[dn=1],若存在,求出所有的[n]的值;若不存在,请说明理由.

(答案:(1)[Tn=-2n2-2n].

(2)当[p=12]时,数列[cn]成等比数列;当[p≠12]时,数列[cn]不为等比数列.

(3)存在唯一的[n=3],使得[dn=1]成立.)

应用导数解决数列求和问题

例3 求[1+2x+3x2+…+nxn-1].

解析 (1)当[x=1]时,

[Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1+2+3+…+n=12n(n+1).]

(2)當[x≠1]时,

由于[(xk)=kxk-1, k=1,2,…,n],

于是构造函数[f(x)=1+x+x2+…+xn],

则[f(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1].

又[1+x+x2+…+xn=1-xn+11-x],

等式两边对[x]求导,我们可以得到,

[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-(n+1)xn+nxn+1(1-x)2].

综上可得,当[x=1]时,[Sn=12n(n+1)];

当[x≠1]时,[Sn=1-(n+1)xn+nxn+1(1-x)2].

变式 求[1+22x+32x2+…+n2xn-1].

(答案:[1+x-(n+1)2xn+(2n2+2n-1)xn+1-n2xn+2(1-x)3])

应用导数证明数列不等式

例4 已知数列{[an]}的各项都是正数,且满足[a0=1,an+1=12an(4-an),][n∈N],证明:[an

证明 构造函数[f(x)=12x(4-x),]

则[f(x)=12x(4-x)=-12(x-2)2+2≤2].

于是[an+1=12an(4-an)≤2,]但等号不能取(如果取等号,则[an+1=an=2],与[a0=1]矛盾).

因此[an+1<2].

又[f(x)=-x+2,]

当[x<2]时,[f(x)=-x+2>0],

即[f(x)]在[(0,2)]上是增函数,

于是[an+1=f(x)>an=f(x-1)].

综上所述,[an

变式 已知数列{[an]}满足[2an+1=-a3n+3an,n∈N?],且[a1∈(0,1)],求证:[0

(答案:构造函数[f(x)=-12x3+32x],可以求得,[f(x)=][-32(x-1)(x+1)],于是[f(x)]在[(0,1)]上是增函数,然后再用数学归纳法证明.)

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