导数在圆锥曲线中的应用

赵捷

导数是高中数学的主要内容，导数的引入大大丰富了高中数学的知识体系，给许多常规问题的解法提供了新的视野. 在圆锥曲线问题的求解中引入导数，可以在一定程度上开拓思路，尤其是求圆锥曲线中的切线、中点弦、最值问题. 本文通过举例来说明导数在圆锥曲线中的一些应用.

导数在切线问题中的应用

利用导数的几何意义，把二次曲线看作“[y]是[x]的函数”，并利用复合函数求导法则，可以轻松求出切线的斜率.

例1 已知抛物线[C：x2=4y.]

（1）求过点[P（0，-4）]的抛物线[C]的切线方程；

（2）求点[Q（2，1）]处的切线方程.

解析 （1）设切点[Q（x0，x204）]，由[y=x2]可知，抛物线在[P]点处的斜率[yx=x0=x02]，

故所求的切线方程为[y-x204=x02（x-x0）].

因为点[P（0，-4）]在切线上，从而满足切线方程，

代入化简可得，[x0=±4].

所求切线方程为：[y=±2x-4].

（2）由（1）知，点[Q]处的斜率[k=yx=2=1].

又点[Q]在切线上，

所以切线方程为：[x-y-1=0].

例2 已知动圆过定点[F（0，2）]，且与直线[l：y=-2]相切，若[AB]是动圆圆心的轨迹[C]上的动弦，且[AB]过点[F（0，2）]，分别以[AB]为切点作轨迹[C]的切线，设两切线的交点为[Q]. 证明：[AQ⊥BQ].

证明 设圆心[C]的坐标为[（x，y）]，

依题意得，[CF=y+2]，

代入坐标得，[x2+（y-2）2=y+2]，

化简得，圆心[C]的轨迹方程为[x2=8y].（也可以根据抛物线的定义直接得出标准方程.）

设[AB]所在直线方程为：[y=kx+2]，[A，B]点的坐标分别为[A（x1，y1），B（x2，y2）]，

联立方程组[y=kx+2，x2=8y]解得，[x2-8kx-16=0].

由根与系数关系可得，[x1x2=-16].

将[x2=8y]化为[y=18x2]，求导得，[y=14x].

则[AQ]的斜率[kAQ=yx=x1=14x1]，

[BQ]的斜率[kBQ=yx=x2=14x2].

所以[kAQ?kBQ=14x1.14x2=-1].

所以[AQ⊥BQ].

导数在中点弦问题中的应用

对二次曲线方程两边求导，解出[yx]，令[k=yx]，可求解中点弦相关问题.

例3 点[P（2，2）]是曲线[x2+4y2-2x-12y+6=0]的一条弦的中点，求这条弦所在直线的方程.

解析 对方程[x2+4y2-2x-12y+6=0]两边求导得，

[x+4yyx-1-6yx=0].

化简得，斜率[k=yx=x-16-4y].

因为点[P（2，2）]在弦上，则[k=yx=-12].

代入直线方程的点斜式并化简可得，中点弦直线方程为：[x+2y-6=0].（也可以用点差法求中点弦方程.）

例4 已知曲线[C：x2-y22=1]，过点[P（2，1）]的直线[l]与曲线[C]交于点[P1，P2]，求线段[P1，P2]的中点[M]的轨迹方程.

解析 设[l]的方程为[y-1=k（x-2）]，[M（x0，y0）]是[P1，P2]的中点，

则[y0-1=k（x0-2）（*）].

对方程[x2-y22=1]两边求导得，[2x-yyx=0].

于是[2x0-y0yx=x0=0].

从而[k=yx=x0=2x0y0].

代入[（*）]得，[2x20-y20-4x0+y0=0].

即所求的軌迹方程为[2x2-y2-4x+y=0].

导数在求最值问题中的应用

利用导数与函数单调性之间的关系，可以求解相关弦长、距离的最值以及离心率取值范围等问题.

例5 已知点[P]是抛物线[y=12x22]上一个动点，平面上定点[M（4，1）]，求[PM]的最小值.

解析 设点[P]的坐标为[（x，y）]，

[PM=（x-4）2+（y-1）2=x2-8x+16+14x4-x2+1=14x4-8x+17.]

令[t=14x4-8x+17]，

则[t=x3-8=（x-2）（x+1）2+3.]

当[x=2]时，[t=0].

当[x∈（-∞，2）]时，[t<0]；当[x∈（2，+∞）]时，[t>0].

所以当[x=2]时，[t=14x4-8x+17]取得最小值为5.

所以[PM]的最小值为[5].

例6 已知[c]是双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的半焦距，求[b-ca]的取值范围.

解析 由双曲线的性质可知，

[b-ca=c2-a2-ca=e2-1-e].

令[f（e）=e2-1-e]，

则[f（e）=ee2-1-1].

因为离心率[e>1]，所以[f（e）>0.]

所以函数[f（e）=e2-1-e]在[（1，+∞）]上单调递增.

则[f（e）=e2-1-e>-1].

又[e2-1

所以[b-ca]的取值范围为[（-1，0）].