数学实验：建构“做思共生”的学习范式

章素华

摘 要：数学实验是学生身心一体、做思共生的数学活动。数学实验应当是感性观察与理性思考并存、形象思维与抽象思维交织的。但在实践过程中，许多数学实验却是无奈的“被实验”、机械的“做实验”、异化的“讲实验”等。数学实验教学应当彰显实验之序、呈现实验之理、敞露实验之趣，让实验教学有坡度，有深度，有温度。

关键词：数学实验；做思共生；学习范式

数学实验是学生展开“具身认知”的重要学习范式。所谓“数学实验”，是指学生在数学思想指引下，借助一定的操作手段或仪器而进行的数学化活动。在数学实验过程中，儿童主动展开观察、操作、猜想、验证、探究、推理、尝试等数学活动，手脑并用，做思共生。通过数学实验，儿童实现数学知识的“再发现”“再创造”，不断开发自己的数学建构、数学创造潜能。因此，数学实验不仅指涉儿童的身动、行动与形动，更指涉儿童的脑动、心动与思动，是儿童“手-脑-心”“实践-感知-思考”以及“身体-心理-灵魂”共同参与的活动。

一、观照：“数学实验”教学中存在的问题

数学实验应当是儿童主动展开的数学学习活动，其间儿童的感性观察与理性思考并存，形象思维与抽象思维交织。但在教学实践中，笔者发现有些数学实验是儿童在教师精心预设下的“被实验”，有些数学实验沦为机械的操作活动，有些数学实验异化为教师的“讲实验”“说实验”，不一而足。数学实验教学存在着诸多问题。

1. 无奈的“被实验”

在数学实验过程中，教师往往对学生的实验操作过程展开精细化指导，他们往往告诉学生实验应该怎样做，不应该怎样做，先做什么，再做什么……学生在教师的指引下亦步亦趋，犹如一个木偶，行为受控于教师。例如一位教师教学《钉子板上的多边形》时，在引导学生猜想多边形的面积与图形内、图形边上的钉子数有关后，教师让学生分别探究图形内有1颗钉子、2颗钉子……的图形面积，最后统计收集的数据，引导学生发现规律。学生看似经历了探究过程，但这个过程却是教师掌控下的简单操作与发现。学生不知道为什么要按照这样的顺序探究，更谈不上自主设计实验了。

2. 机械的“做实验”

“数学实验”理应是学生手脑并用、做思共生的数学活动。但在教学实践中，许多教师往往将数学实验视作“数学操作”，实验缺乏思维的参与，由此，数学实验沦为“机械操作”，儿童在数学实验中没有实质性的思想提升。例如一位教师教学《间隔排列》时，在放手让学生进行摆实物、摆图形、画图和符号等操作活动后，匆匆总结了简单的规律：一一间隔排列，两端物体相同，两端物体比中间物体多1个。由于没有深入分析，导致儿童对图形的排列没有形成一一对应的认识。因此，在解决问题时孩子们很是茫然，到底是加1、减1，还是既不加也不减呢？

3. 异化的“讲实验”

数学实验的过程应该赋予儿童充足的实验时空，让儿童充分经历、充分感悟。但在数学实验的过程中，一些教师为了实验的顺畅而提前告知学生，或者将丰富的“做实验”进行简化，甚至异化成“说实验”“讲实验”，将实验过程悬置。例如一位教师教学四年级的《可能性》时，将原本丰富而有趣的摸球实验简化，蜻蜓点水，一带而过，接着直接出示袋中不同颜色的球，让学生判断摸到什么颜色的球的可能性大，学生学得简单、学得枯燥、学得无趣，对“可能性”的感受、体验浮于表面。没有体会到事件发生的随机性，更没有形成“概率思想”。

二、实践：“数学实验”教学的理性探索

数学实验是学生的一种数学学习方式，也是学生数学探究的一种方式，更是学生解决数学问题的一种方式。因此，在数学教学中，教师要加强实验教学，丰富学生的实验过程，延伸、拓展学生的实验时空。在数学实验过程中，学生的实践与思想对接，归纳与演绎圆融，思维与创造共生，学、玩、做合一，思、行、创一体，数学教学由此焕发出生命的活力。

1. 彰显数学实验之序，让实验有坡度

数学是抽象、严谨而充满内在逻辑的。基于学生的年龄和心理特征，在数学教学中，教师要创设实验情境，激发学生的实验兴趣，从学生的感性经验出发，联系学生的生活经验，依托学生的感性直观，设置实验坡度，让学生在实验过程中逐步向理性思维过渡。

例如：教学《可能性》（苏教版小学数学教材第7册）时，笔者分三个层次展开教学。首先，在一个黑色的袋子里放了8个黄球，让学生摸球，摸到黄球算老师赢，摸到红球算学生赢，结果老师每次都赢，最后将黑袋子里的球倒出，全都是黄球，学生大呼上当。其次，笔者调整黑袋中的球，将一些红球放入袋子中（黄球8个，红球4个），让一名男生和一名女生摸球，男、女生PK，摸到黄球算女生赢，摸到红球算男生赢，学生的兴致很高。在摸球的过程中，一会儿摸到黄球，一会儿摸到红球，学生自觉地展开统计，他们有的用画钩的方法，有的用写正字的方法，有的用画图形的方法，分析利弊，最后学生认为画正字的方法简单明了。经过统计，女生赢了男生。再次将黑袋中的球倒出，学生一片哗然。最后，让学生讨论，怎样放球，男生和女生赢的可能性相等。由于有了前两次的摸球经验，学生认为放的黄球和红球的个数应当一样，才能让游戏公平，赢的机会才是相等的。于是，笔者将8个黄球、8个红球一起放入黑袋中，还是男、女生PK，第一轮男生赢，第二轮女生赢，第三轮女生赢……经过五轮比赛，最终还是女生赢了。至此，学生深刻体会到“等可能性”的随机性，这就是在规则公平的情况下仍然会有输赢。在这个有序的实验过程中，儿童充分体验到数学摸球实验的魅力。

数学实验不是教师的一厢情愿，更不是教师的独白，而是要充分激发学生的实验兴趣。数学实验不能追求一步到位、一次成功，而是要循序渐进，引领学生充分经历实验过程。数学实验更不是一做了之，而是要引导学生结合实验过程展开深入的数学思考，引导学生洞察实验背后的数学旨趣。

2. 呈现数学实验之理，让实验有深度

数学实验不同于纯粹机械式的动手操作，而是学生手脑并用、做思共生的过程。教学中，要让学生经历数学实验的生发、生长、生成过程，理解数学实验之理，引導学生通过数学实验，对数学知识进行深度加工、多变处理。

例如：教学《钉子板上的多边形》（苏教版小学数学教材第9册）时，在学生形成了“多边形的面积可能与图形内和图形边上的格点数有关”的数学猜想后，笔者让学生讨论“如何展开数学实验”。有孩子认为，应该从简单的图形开始研究，如长方形、正方形、平行四边形、梯形等，因为这些图形的面积可以运用公式进行验证；有孩子认为，应当从格点数少的情形开始研究，如图形内只有1个格点、2个格点等。据此，学生主动确定研究方案，实施数学实验。经过小组交流，他们形成了如下实验步骤：一是围多边形，并且让多边形内只有1个格点；二是数多边形上的格点数；三是寻找多边形的面积与图形内格点和图形上格点之间的关系。在实验的过程中，孩子们不断产生新的数学发现，逐渐逼近数学真理。当内点为1时，学生根据研究提出两个规律：边点÷2=面积，内点×边点÷2=面积；当内点为2时，学生发现：（内点+边点）÷2=面积；当内点为3，4时，学生发现：（内点+边点+1）÷2=面积，（内点+边点+2）÷2=面积，边点÷2+2，边点÷2+3……在不断地调整、反思中，学生形成了普适性的数学结论——“边点÷2+内点-1=面积”。正是在不断地发现、探寻中，学生最终发现了“皮克定理”。在这个过程中，学生的经验在不断积累，学生的视界不断扩大，学生的精神生命在不断成长。

“数学是思维的体操”，学生边思考边实验，边实验边思考，一个个数学公式被发现又被否定。在数学实验的世界中，学生找寻自己的解释，创造自己的答案，审视自己的知识。这种数学实验超越了纯粹的“纸笔数学”，呈现出另一种数学学习的样态。

3. 敞露数学实验之趣，让实验有温度

数学实验不是儿童的“被实验”，而是一种积极主动的行为。数学实验要激发儿童的“实验之需”，引发儿童的实验兴趣，让儿童按照自己的节奏在数学实验中静静地思考、轻轻地触摸，学生有动有静、有做有思。数学实验充溢着温度，带给儿童的，是思维的自由和身心的放松。

特级教师华应龙老师执教《神奇的莫比乌斯圈》时，用一把剪刀和几张长方形的纸，演绎了精彩而有趣的数学实验：一是做莫比乌斯圈。一张长方形的纸条有四条边、两个面，你能把它变成两条边、两个面吗？学生在动手操作的过程中发现，可以将长方形的纸条粘成一个圈。你能将这张长方形纸条变成一个面、一条边吗？学生开始操作，但很少有人做成。教师示范，将长方形纸条的一端旋转180°，与另一端粘在一起，做成一个莫比乌斯圈。二是剪莫比乌斯圈。在长方形纸条正中画一条线，再做成莫比乌斯圈，然后用剪刀沿着莫比乌斯圈的中线剪开，看看有什么发现？三是猜想与验证。在长方形纸条上画两条线，再用剪刀沿线剪开，会是怎样的结果？学生将完成的作品予以展示。学生再次提出猜想并展开操作验证。在不断地猜想、实验中，学生获得了知识。在数学实验中，学生的数学想象触角、思维触角不断得到延伸，数学知识变得具体、形象，数学之美、数学之趣得到丰富展现，学生有根有据地研究，有滋有味地体验，从中深刻地感受、体验到数学的神奇与美妙。

著名数学教育家波利亚说，“数学有两个侧面：一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”数学实验，让学生内隐的数学思维与外显的实践操作有机融合。学生在“做中学”“做中玩”“做中研”“做中创”，他们“做、学、玩合一”“思、创、行一体”，形成一种“具身認知”的全新学习质态！