差价合约市场力抑制效应的Bertrand博弈模型分析

蒲勇健，孙衔华

(重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400044)



差价合约市场力抑制效应的Bertrand博弈模型分析

蒲勇健，孙衔华

(重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400044)

本文通过拓展经典的Bertrand对称双寡头博弈模型，运用勒拿指数测度电力市场绝对电量差价合约对发电商市场力的抑制效应。在发电商二次幂函数成本函数假定下，得到了双寡头对称发电商Bertrand博弈纳什均衡的解析表达式，并且发现发电商绝对量差价合约电量的增加会导致发电商均衡状态勒拿指数的可能取值范围会下降，因而具有抑制其市场力的效应。本文获得的拓展Bertrand博弈模型还将经典Bertrand博弈模型加以推广，得到二次幂函数成本函数条件下存在正均衡利润Bertrand的充分必要条件,为研究差价合约的其他相关问题提供了工具。

差价合约；勒拿指数；电力市场；伯川德博弈；市场力

1 引言

传统上电力因被视为自然垄断行业而一直是各国政府严格管制的对象。为了打破垄断和提高效率，从20世纪80年代开始，各国陆续开始对电力工业进行市场化改革。但在市场成员利益驱动，寡头垄断市场结构，以及电力不能大规模储存等内因以及外因的作用之下，解除管制后的发电商仍具有强大的市场力。市场力的存在会严重影响市场有效竞争，从而损害用户和投资者的利益，甚至引发电力危机。因此针对市场力抑制的研究具有很强的现实价值，对于我国深化电力市场改革，保证市场效率和公平有重要意义。

针对市场力规制措施，国内外学者进行了广泛研究，主要有增加市场竞争主体，开放需求侧市场，签订远期合约，实施价格管制和合理布局电源等措施。其中，购买者和发电公司之间签订的差价合约是一种重要的手段。对此有关的文献大体可以分为四类。一是基于试验仿真方法分析，通过模拟市场参与者在市场中的可能行为以及包含瓦尔拉斯均衡，纳什均衡在内的市场均衡的移动来判定远期合约对市场力的影响[3-5]。这类研究针对远期合同，并没有单独对差价合约进行研究。二是运用博弈以及均衡理论的市场力分析法，利用博弈理论表明不同类型的差价合约对于发电商市场力的抑制作用。这一类研究利用Cournot或是Bertrand博弈模型进行研究。张洪青和范晓音[6]利用双发电商的完全信息古诺博弈特殊算例表明绝对电量差价合约可以降低电价，迟正刚[7]认为市场参与者回避价格风险的意图可作为包括差价合约签订实施的动力，其对差价合约的市场力抑制作用进行了定性说明，并提出利用Bertrand以及Cournot模型和勒拿指数分析该问题的分析框架，但未给出任何相关证明，叶泽和喻苗[8]利用双发电商古诺模型证明了两阶段博弈时差价合约有促进市场竞争的效应。这类研究运用了常见的博弈模型对双向差价合约的市场力抑制效应进行了研究，但没有拓展到多厂商的情形。三是通过实证数据研究合约的存在对现货市场电价的影响。这一类研究多应用在成熟应用差价合约的市场上，如Lucia和Schwartz[9]通过北欧电力市场的数据发现季度远期合同对现货市场电价有季节性效应。四是利用供给函数平衡理论SFE(Supply Function Equilibria)，如Niu Hui等[10]利用SFE框架下的报价曲线陡度和高度的变化来分析远期合约的市场力抑制作用。

从理论上看，发电商决策，首先是一个多寡头竞争博弈，此外，电力作为一种特殊的商品，其具有的不能储存等特点使得其决策为价格决策，因此应利用Bertrand模型对其进行研究。上述利用博弈理论分析的文献多集中在经典的Cournot博弈模型，且未拓展到多厂商情形，因此从经济模型的角度出发存在改进的空间。本文所建立的Bertrand模型，在双向绝对量差价合约的前提下，即差价合约的合约电量以及合约价格由发电商和购电商共同协商决定，且合约电量为绝对值而非按交易量的固定比例，针对2个寡头发电商研究差价合约的市场力抑制效应。

与上述基于博弈模型研究的文献不同(这些模型建立在特殊情形之上或是假设报价参数外生，没有给出报价参数确定的依据)，本文所构建的针对差价合约市场力抑制的理论框架采用经典Bertrand模型并加以拓展，同时采用勒拿指数衡量市场力。本文所建立的针对电力市场的拓展Bertrand模型，针对经典Bertrand模型[11-12]作了如下修改：(1)修改了有关厂商边际成本(还有平均成本)为常数并且是相同的假定，从而得到具有正利润的纯策略Bertrand博弈模型；(2)模型加入了绝对电量差价合约。同时为了该理论模型更加贴近实际电力市场，文章参考了国内文献，在模型中借鉴了差价合约在电力市场中的应用分析框架[13-19],考虑了非固定需求量负荷等因素。因此，本文构建了拓展的Bertrand模型，得到其纳什均衡表达式，利用其研究了绝对量差价合约电量的变化对于发电量市场力的抑制效应，具有较强的理论意义和现实价值。

2 市场模型与纳什均衡

2.1 模型基本假定

1)电力市场中存在2个发电商，它们的成本函数分别为

ki≥0,si≥0,ei≥0

(1)

其中Ci,qi,ei分别是第i个发电商的总成本，发电量和固定成本。

2)市场需求曲线

p=a-hQ,a>0,h>0

(2)

其中p,Q分别是市场价格和市场需求电量，a,h是常系数。为了使得下面的分析有意义，假定最高价格高于发电商最低边际成本，即a>si,i=1,2。

3)文中所考虑差价合约为双向绝对量差价合约。即企业i与购电方之间签订的差价合约规定，如果购电方向企业i(i=1,2)购电量不超过qic，交易价格按照合约规定的固定价格pc执行；超出qic(i=1,2)的购电量以市场价格交易。其中，为保证差价合约有意义，有pc

2.2 完全垄断厂商利润函数

定义1假设第i(i=1,…,N)个厂商完全垄断电力市场，称此时发电商商i(i=1,2)的利润与其电价pi之间的数量关系为发电商i(i=1,2)的利润函数，记为Πi(pi)|ki,si,ei，以下在不引起歧义的情况下简写为Πi(pi)。假定发电商i(i=1,2)的支付函数为其获得的预期利润。

(3)

最大垄断利润的一阶条件为：

(4)

根据(3)，设零利润价格为p#i(i=1,2)，即：

Πi(pi)=0

(5)

因此根据(6)可知，发电商i的零利润价格为：

(6)

根据(3)，为保证发电商在完全垄断时的利润为正，需要假定：

(7)

因此，根据(7)，(6)式有意义。记：

i=1,2

(8)

2.3 最优反应

以下考虑对称双寡头模型，即假定

k1=k2=k,s1=s2=s,e1=e2=e

由于纳什均衡是参与人最优反应函数的交集[12]。本节先构建发电商的最优反应函数。

给定发电商2的纯策略即价格p2，发电商1的最优反应是发电商1的最优价格。最优反应函数一般是集值函数，即可能有多个最优价格，它们构成一个最优反应集(也可以是空集)。因此最优反应函数是一种映射或者集值函数。

下面将发电商2的策略(p2)分别置于不同的三个区间来求解发电商1的最优反应策略集。这三个区间分别为：

定理1

如果p2∈I1，发电商1的最优反应策略集为：

3)其他情形下，发电商1的最优反应策略是p1>p2。

证明见附录A。

定理2

如果p2∈I2，则发电商1的最优反应策略是p1=p2，当且仅当π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)。

证明见附录B。

定理3

2.4 纳什均衡

根据不同情形的最优反应函数交集，纳什均衡只可能是前面的两种情形，并且要求下面的条件成立：

2)π1=Π1(p2)|2h,k,s,e≥Π1(p2),p2∈I2

并且，如果要求均衡利润大于零，则在上述两种情形里面都进一步要求有

所有的纳什均衡都满足p1=p2。

证明见附录C。

由于所有的纳什均衡都满足p1=p2，即不可能存在单一厂商完全垄断市场的均衡。

记发电商完全垄断利润函数非负的价格区间为

D=[p#1s|2h,p#1b|2h]

在p2∈I1存在非负利润的均衡条件是：

I1∩D非空,即下面的条件成立：

根据(4)和(8),该条件为：

p2∈I2存在正利润的均衡条件是：

因为a-p2>0

(9)

是在p2∈I2存在正利润的充分必要条件。

根据(4)和(8)，考察下面不等式成立的

可能性：

(10)

(10)是可能成立的。

如果h充分大(给定其他参数不变)，(10)就成立。在这些场合，在p2∈I2存在正利润的均衡。这说明，存在使得(9)成立的条件。这样在p2∈I2就存在正利润的均衡。

继而，根据纳什均衡，对称双寡头发电商Bertrand模型纯策略均衡利润为非负和正数的条件可由定理4给出。

定理4 对称双寡头发电商Bertrand博弈仅当k=e=qic=0,i=1,2以外的情形，才可能存在正利润的， 如果存在正的均衡利润，带来正均衡利润的均衡必定是p1=p2∈I2的情形。且在p2∈I2存在正利润的充分必要条件为式(11)。

(11)

证明见附录D。

3 均衡状态的勒拿指数上限

考虑可能的均衡状态，均衡价格p1=p2=pN

qi∈[qs,qb],i=1,2

(12)

其中，式(12)表示发电市场中的安全不等式约束，包括机组的处理上下限、线路传输容量极限等约束条件[20-21]，其中qs，qb为常数。

假设均衡价格满足下式：

pi∈[a-2hqb,a-2hqs]

(13)

根据(4)

此时I2的上限随着差价合约电量的上升而下降。因为I2的上限也正是所有纳什均衡价格的上限，因此存在抑制均衡价格的效应。

勒拿指数为

(12)

由于差价合约电量qic(i=1,2)的增加会导致均衡价格的上限下移，因此抑制均衡价格，从而也有抑制勒拿指数的效应。

由于可能存在多重纳什均衡，在这里分析勒拿指数的抑制效应只能够从这种意义上进行，因为难以判断由于差价合约电量qic(i=1,2)的增加如何影响均衡的移动。

4 算例

上节指出在对称双寡头发电商的电力市场中，在拓展Bertrand博弈纳什均衡中，每一个发电商的差价合约电量越大，其勒拿指数上限会下移，因而差价合约电量的增加有抑制市场力量的作用。为了更好地说明绝对量差价合约的市场力抑制作用，本节给出一个算例来验证这个结论。双寡头发电商的数据如表1所示。

表1 双寡头发电商的各个参数数据

根据(4)可知，可得到图1和图2。图1表示了均衡价格上限的移动，图2表示了勒拿指数的移动。其中，均衡价格单位为元/KWh，合约电量单位为KWh。由图1和图2可以看出，均衡价格上限与绝对量差价合约电量呈负相关关系，勒拿指数上限随着合约电量增加而下降。因此，上节的结论在这里得到了更好的说明，即在对称双寡头电力市场中，绝对量差价合约电量的增加会抑制发电商的均衡价格，进而抑制市场力。

图1 均衡价格上限与绝对量合约电量的关系图

图2 勒拿指数上限与绝对量合约电量的关系图

5 结语

本文通过将经典的Bertrand拓展到非常数 边际成本的二次幂函数情形，发现存在正均衡利润的可能性，并导出了出现正均衡利润的一个充分必要条件。然后运用该拓展Bertrand分析了相对电量差价合约对于发电商市场力量的抑制效应，发现相对电量差价合约存在对于发电商市场力的抑制效应，因为均衡价格存在区间的上限在相对电量差价合约电量增加时下降了，同时也导致勒拿指数分布区间下移。本文的研究限于对称双寡头博弈的情形，结论在非对称和多发电商的情形可以进行类似的推广，只不过在数学上更加复杂而已。

附录A定理1的证明：为得到p2∈I1时发电商1的最优反应策略集，需分情况讨论

时的完全垄断发电商的利润函数。

2)当p#1s|2h0，因此此时发电商1的最优反应策略是p1=p2。

3)当p2=p#1s|2h或者p2=p#1b|2h发电商1的最优反应策略是p1≥p2

其他情形发电商1的最优反应策略是p1>p2，证毕。

当p1>p2，发电商1的利润为零，也存在占优其的其他价格策略，所以不是最优策略。只有当p1=p2，π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)达到发电商1的最大利润，所以此时发电商1的最优反应策略是p1=p2，证毕。

附录C纳什均衡的证明：下面将发电商2的策略(p2)分别置于不同的三个区间来求解发电商1的最优反应策略集。这三个区间分别为：

其中Π1(p2)|2h表示需求曲线为p=a-2h(q1+q2)时的完全垄断发电商的利润函数。

其他情形发电商1的最优反应策略是p1>p2。

当p1>p2，发电商1的利润为零，也存在占优其的其他价格策略，所以不是最优策略。只有当p1=p2，π1=Π1(p2)|2h,k1,s1,e1≥Π1(p2)达到发电商1的最大利润，所以此时发电商1的最优反应策略是p1=p2。

纳什均衡是所有参与人的最优反应函数的交集。

此时，根据不同情形的最优反应函数交集如下：

1)p2∈I1，注意到此时发电商1的最优反应价格都满足p1≥p2，在对称条件下，显然一定有p1≤p2，所以有p1=p2，因此有前提条件：

p#1s|2h≤p2≤p#1b|2h

仅在该条件满足时才存在均衡。

2)p2∈I2，注意到此时如果有纳什均衡，则一定有

p1=p2

并且此时有

π1=Π1(p2)|2h,k,s,e≥Π1(p2)

附录D定理4的证明：

由于所有的纳什均衡都满足p1=p2，即不可能存在单一厂商完全垄断市场的均衡。

记发电商完全垄断利润函数非负的价格区间为

在p2∈I1存在非负利润的均衡条件是：

I1∩D非空,即下面的条件成立：

根据(4)和(8),该条件为：

p2∈I2存在正利润的均衡条件是：

因为a-p2>0

(13)

是在p2∈I2存在正利润的充分必要条件。

根据(4)和(8)，考察下面不等式成立的可能性：

(14)

(14)是可能成立的。

如果h充分大(给定其他参数不变)，(14)就成立。在这些场合，在p2∈I2存在正利润的均衡。这说明，存在使得(13)成立的条件。这样在p2∈I2就存在正利润的均衡。

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ABertrandModelbasedonContractsforDifferenceforInhibitingMarketPower

PUYong-jian,SUNXian-hua

(School of Economics and Business Administration, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

In this paper, the market power inhibiting effects of contracts for differences are studied. Due to oligopolistic characters owned by the electricity market, it is of great importance to focus on methods that could help restricting the market power of generators. The contract for differences is considered an effective way to control market power according to former researches, but the model we propose has the following characters that make our research special and creative. First of all, it is based on Bertrand model, which is properly applied in the electricity market, without adding any exogenous factors suggesting the relationship between the bidding price and the electricity quantity. It provides conditions that guarantee positive profit of generators. Secondly, Lerner index is introduced to the model for assessing market power. The main parts of this paper include the Nash equilibrium of generators in an identical duopoly electricity market (which is gained by analyzing the best responses of each generator), the superior limit of both equilibrium price and Lerner index, the conditions to guarantee positive profit and illustration of identical duopoly electricity market by data simulation. Finally, the conclusion that the absolute electric quantity contract for difference has inhibiting effect on market power in an identical duopoly electricity market is drawn through the movement of the superior limit of Lerner index. This research provides a tool for other researches that consider using Bertrand model for analyzing contractual problems in electricity market, which is not often used in former researches due to the zero profit of classical Bertrand model, though it actually matches the electricity market.

contract for difference;Lerner index;electricity market;Bertrand game;market power

1003-207(2017)05-0109-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.05.013

2015-07-13；

2015-12-22

重庆市“两江学者”计划专项经费资助项目; 重庆大学人文社科重点基地创新研究项目(106112015CDJSK02JD04)

蒲勇健(1961-), 男(汉族), 重庆渝中人,重庆大学经济与工商管理学院, 教授, 博士生导师, 研究方向：能源经济学、博弈论及数理经济学，E-mail:puyjan@sina.com.

F224.9

A