对一道模拟试题的探究

■江西省丰城中学 吴爱龙 黄园军

对一道模拟试题的探究

■江西省丰城中学 吴爱龙 黄园军

题目 (2016年唐山市模拟卷)已知抛物线E:x2=2p y(p＞0),直线y=k x+2与 E交于A、B两点,且=2,其中O为原点。

(1)求抛物线E的方程;

(2)点C坐标为(0,-2),记直线CA, CB的斜率分别为k1,k2,证明为定值。

解析：下面从题目的解法、结论、变式三个视角进行较为深入的探究,供同学们学习参考。

1.第一问解法探究

思路1直线方程含有一个未知量k,抛物线方程中含有一个未知量p,这样题中共含有两个未知量。为了求出k,p的值,必须建立关于k,p的一个二元方程组,并且具备两个相对独立的条件。但题设中仅提供了一个条件,怎么办?思路受阻,难道题目漏掉某个条件?可能是思路出问题了,比方说,可能不需求出或根本求不出k,因为题目中只是需要求出p即可。

思路2欲求抛物线方程,必须求出未知量p的值,另一个量k能否求出无所谓。说不定题设条件=2”中的数“2”本就是一个与k无关的定值呢,不妨试试!

所以抛物线E的方程为x2=y。

思路3由于x1+x2=2p k中含有2个变量,而x1x2=-4p中不含变量k;如果数量积中只含x1x2而不含x1+x2,那么条件=2中就仅含有未知量p。

于是有:

故抛物线E的方程为x2=y。

上述思路,借助抛物线方程x2=2p y来实现将y1y2向x1x2的快速转化,这是椭圆或双曲线方程无法办到的。

2.第一问结论探究

思路2,思路3成功地解答了第一问。相比之下,思路3优于思路2;思路1尽管受阻,但却提出了一个问题让我们进行探索,为此我们有以下命题。

命题1已知抛物线E:x2=y,直线y=k x+b交E于A、B两点,若 (m为定值),则直线y=k x+b恒过一定点。

特别地,令m=2,可知直线y=k x+b恒过一定点(0,2)。

若令m=0,则得推论1:

已知抛物线E:x2=y,直线y=k x+b交E于A、B两点,若=0,则直线y =k x+b恒过一定点(0,1)。

命题2已知抛物线E:x2=y,直线y= k x+m(m＞0,且为定值)与抛物线E交于A、B两点,则必为定值。

设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=k2+4m＞0,且x1x2=-m。

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1x2)2=m2-m,显然为定值。

若令m=1,则得推论2:

已知抛物线E:x2=y,直线y=k x+1与抛物线E交于A、B两点,则

综合以上推论1,推论2,便得以下经典结论:

已知抛物线E:x2=2p y(p＞0),直线y=k x+b交抛物线E于A、B两点,若∠A O B=90°,则直线y=k x+b恒过定点G (0,2p)。

结论 已知抛物线E:x2=2p y(p＞0),直线y=k x+b交E于A、B两点,且直线恒过定点(0,m)(m＞0),则:

证明与上类似,此处省略。

3.第一问变式探究

倘若把题设中的条件“直线CA,CB”改为“切线CA,CB”,又该如何呢?

变式1已知抛物线E:x2=y,直线y= k x+2与抛物线E交于A、B两点,过A、B两点分别作抛物线的切线,则两切线的交点必落在直线y=-2上。

证明：对y=x2求导数得y'=2x。设A(x1,y1),B(x2,y2),易得抛物线在A、B两点处的切线方程为:2x1x=y1+y,2x2x= y2+y。

设两切线交点C的坐标为(x0,y0),则所以A(x1,y1),B(x2,y2)两点均在直线2x0x=y+y0上。由于过A、B两点的直线是唯一的,所以有-y0=2,即y0=-2。所以两切线的交点必落在直线y= -2上。

4.第二问解法探究

思路1由第一问知x1+x2=k,x1x2= -2。

所以,k21+k22-2k2=16。

5.第二问结论探究

先对第二问进行逆向探究,得:

命题3已知抛物线E:x2=y,直线y=k x+b交抛物线E于A、B两点,点C的坐标为(0,-2)。记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,若k21+k22=2k2+16,则当(b+2)· k2≠2b(b-2)时直线y=k x+b恒过一定点。

设A(x1,y1),B(x2,y2),则于是=2k2+8。

将x1+x2=k,x1x2=-b代入整理得(b2-4)k2=2b(b2-4b+4)=2b(b-2)2。

显然当且仅当b=2时,上述等式恒成立,所以直线y=k x+b恒过一定点D(0,2)。

命题4已知抛物线E:x2=y,直线y= k x+2交抛物线E于A、B两点,设点C的坐标为(0,b)。记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,若k21+k22=2k2+16,则b=-2。

证明过程与命题3的证明过程类似,此处省略。

6.第二问变式探究

变式2已知抛物线E:x2=y,直线y= k x+m(m＞0,且为定值)交抛物线E于A、B两点。设抛物线在A,B两点处的切线斜率分别为k1,k2,则k21+k22-4k2=8m。

k21+k22-4k2=4x21+4x22-4k2

=4[(x1+x2)2-2x1x2-k2]

=-8x1x2=8m。

变式3已知抛物线E:x2=y,直线y= k x+m(m＞0,且为定值)交抛物线E于A、B两点,点C的坐标为(0,-m)。记直线CA, CB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=0。

证明：联立y=k x+m, x2=y{消元得x2-k xm=0,并且Δ=k2+4m＞0。设A(x1,y1), B(x2,y2),则x1+x2=k,x1x2=-m。所以,同理可得k2=所以k1+k2=(x1+x2)+

(责任编辑 徐利杰)