再教高一我该怎么教立体几何
——高三一节复习课的思考

北京市丰台区东铁营一中 张义文

三视图是高中立体几何中的重要内容。高考考查通常是给出某几何体的三视图求表面积或体积。对于空间想象能力较差的学生，这部分题解决起来很吃力，得分率很低。下面是高三复习时，偶然从学生处发现的一个方法，拿来和大家交流，探讨一下这种题的训练方法，进而引发对立体几何教学的一系列思考。

上课中我讲了一道北京高考经常出现的题型。

例题：若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）

此题涉及的几何体是四棱锥，求该几何体的体积很容易。但如果题目改成求表面积，就变得较难，迫切需要能根据三视图准确作出直观图，再利用直观图去求每个面的面积。由于此四棱锥的某些面不是直角三角形，更加大了题目的难度。题目的首难就是作直观图。画直观图的时候，学生找顶点的位置经常容易出错，尤其空间想象能力弱的同学，更难从三视图中想象出其中的线面关系，得不到直观图，无法解题。

课堂中，某个同学，她的空间想象能力就很差，做不出直观图，即使教师把直观图给出来，她还是没弄清楚四棱锥哪些面是直角三角形。她说自己只能从长方体中看出线面关系。她的这句话提醒了我，也给了我了很大的教学启发。我完全可以用长方体去衬托这个四棱锥呀？于是我在此四棱锥的外面套了一个长方体，这样学生很直观地弄清楚了其中的线面关系，也很顺利求出了表面积。接着我进一步思考，画直观图是学生的难点，像这种由长方体截得的多面体，是否可以先画长方体，然后由长方体去截取，得到一个四棱锥，再去计算。我带着学生试着用这种方法去解决此题，结果效果非常好。

利用这个办法一些由多面体的给定三视图，学生就能很容易在长方体中截得多面体得到直观图。用长方体去衬托的此多面体，学生在计算面积，体积时也容易找到线面的关系，从而大大提高了计算的准确度。

通过此案例说明空间想象能力是学生解决立体几何问题的一个很重要的能力支撑，如果学生的空间想象能力强的话，这种题即使不用正方体去衬托，画直观图也不会成为很大的问题。基于此思考，我想问题的关键还是在高一高二学习立体几何时，空间想象能力没有培养起来。这让我不得不思考重回高一时，我应该怎样去进行立体几何教学？

就目前而言，立体几何教学的情况却不容乐观。学生对这部分内容学起来相当的吃力，在西藏援藏期间，面对立体几何内容，教师采取放弃的态度，而是留出时间教授其它内容。基于这样的现状，我想立体几何教学一定要从学生的实际出发，把教学的重点落在空间想象能力的培养上。

立体几何的学习过程可以概括为三个阶段。各阶段教师应采取不同的教学方法教学，重在学生空间想象能力的培养。

第一阶段是认识空间几何体，抽象直观图。这一阶段要让学生从空间和实物模型中认识几何体，思考空间点，线，面之间的关系。学生首先要突破空间障碍，建立空间观念，尽快从二维空间上升到三维空间。教科书把空间几何体放在第一部分，目的就是让学生尽快建立这种空间想象能力，在教学中一定要让学生多观察模型的结构，分析实体模型，弄清点，线，面之间的关系，达到能闭上眼睛就能将实体变成模型在头脑中呈现出来的目的。斜二测画法画直观图的练习也是至关重要，要让学生动手在纸上多画柱，锥，台等几何体的直观图，多观察和思考直观图和实物几何体之间的区别和联系，比较两者中的线的平行，垂直之间的差别，以及角度的差别。最终让学生能比较规范地画出直观图，把空间点，线，面关系体现在直观图中。

第二阶段是由实体图形得到空间位置关系，再由直观图表示空间位置关系，理解空间位置关系的过程。教学过程要符合学生的认知规律。立体几何教学通常是联系实际提出问题，引入概念，加强由实体模型到图形，载入图形到模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力。例如在二面角的平面角的教学活动中，首先让学生观察张开一定程度门面与墙面所形成的二面角，引导学生观察门面，墙面与地面的交线所形成的角，这个角的两边分别在门面和墙面这两个平面中，而且都和门轴（两个面的交线）垂直，因为它的大小代表了二面角的大小，所以这个角可以看成二面角的平面角。让学生从实物模型直观感知二面角的平面角的概念。再进一步通过模型进行操作确认，例如学生还可以拿书的两个页面进行试验，进一步感受什么样的角才可以看成二面角的平面角，从而画出直观图形，抽象出二面角的平面角的概念。最后教师还可以让学生在正方体的直观图中练习找一些二面角的平面角，强化对概念的理解。教师在课上利用信息技术，恰当增加一些课件，动画，更能提高学生兴趣，帮助学生培养学由图形想象抽象出空间位置关系的能力。

第三阶段是从图形入手，有序地建立图形、文字、符号三种语言的联系，为几何证明题的解决打基础。教学中可以充分发挥长方体作为图形语言的载体作用，用文字语言对图形中的位置关系进行描述，解释，再抽象出符号语言，简化文字语言。所以在定理，定义的教学中要紧紧捉住直观图形这个载体，帮助学生在图形的基础上发展其它数学语言。在证明题的过程中，通常从证明问题的结论入手，分析结论成立的原因，找到突破口进行证明。学生能顺利写出证明的完整过程，也必须对定理定义有一个完整的认识。所以学完点，线，面的位置关系这章后，教师一定要帮助学生对本章的定理，定义进行梳理和总结，围绕平行，垂直两种位置关系，让学生理清定理之间的联系，脉络，看到要证的结论，就知道用哪个定理。最后通过适量的典型题目的训练让学生学会严整的证明过程，题不在多，在精。一步步训练学生严密的数学思维和逻辑推理的能力。对有反应慢的同学，背会几个典型题也是有必要的，只有这样，学生才能真正学好立体几何。

高中立体几何教学通常是高中教学的难点。因此教师应不断研究，探索学生的认知规律，想尽各种办法，采用多媒体等各种手段，着力提高学生的空间想象能力，强化概念教学，深化对定理、定义的理解和运用，提高学生的推理和论证能力。