基于平滑l0范数和TSVD的MIMO雷达目标参数估计方法

陈金立, 周 运, 李家强, 朱艳萍

(1. 南京信息工程大学气象灾害预报预警与评估协同创新中心，南京 210044;2. 南京信息工程大学电子与信息工程学院，南京 210044)



工程与应用

基于平滑l0范数和TSVD的MIMO雷达目标参数估计方法

陈金立1,2, 周 运2, 李家强1,2, 朱艳萍2

(1. 南京信息工程大学气象灾害预报预警与评估协同创新中心，南京 210044;2. 南京信息工程大学电子与信息工程学院，南京 210044)

利用平滑l0范数(Smoothedl0,SL0)算法估计MIMO雷达目标参数时，在设定初始值和计算梯度投影中需要对呈病态的感知矩阵进行求伪逆运算，然而病态矩阵的伪逆精度较低，从而导致SL0算法无法直接用于估计MIMO雷达的目标参数。为此，本文提出了一种基于SL0算法和截断奇异值分解(Truncated Singular Value Decomposition，TSVD)的MIMO雷达目标参数估计方法。该方法对感知矩阵进行SVD变换，并设定特征值均值为截断门限，保留大于门限的特征值及其对应的左奇异向量和右奇异向量，并利用SVD反变换获得条件数较小的非病态感知矩阵，实现了SL0算法在MIMO雷达目标信号重构问题中的应用。实验结果表明，与迭代加权lq算法相比，本文方法在保证目标信号重构性能的基础上，明显提高了MIMO雷达的目标参数估计速度。

MIMO雷达；SL0算法；病态矩阵；截断奇异值分解

0 引 言

压缩感知[1]作为信号处理领域的一项新技术已经被广泛地应用于医学图像处理[2]、无线通信[3]和雷达信号处理[4]等领域。压缩感知理论是通过求解l0范数最小化问题，从少量的非自适应投影测量值中以较高概率重构出稀疏信号。然而，直接求解l0范数最小化问题涉及组合优化问题，需要对所有可能情况进行搜索寻优，因此l0范数最小化的求解问题是一个非确定性多项式(NP-hard)问题。文献[5]提出一种SL0(Smoothedl0,SL0)算法，该算法采用平滑的高斯函数近似l0范数，然后通过对近似l0范数进行最小化来重构稀疏信号。SL0算法具有运算效率高的优势，其运行时间比BP算法的运行时间快2～3个数量级，因此被广泛地应用于稀疏信号重构问题中。

在实际雷达探测情况下，目标稀疏地分布在雷达探测区域内，雷达接收信号是稀疏的，因此可以将压缩感知技术应用到雷达目标参数估计中。文献[6]将SL0算法应用于高分辨雷达二维成像中，在观测回波数据频域采样率降低、观测回波数据缺失等情况下仍然能够清晰成像，提高了高分辨雷达成像系统性能。文献[7]对SL0算法在初始值选择方面进行了改进，采用加权最小二乘方法来获得SL0算法的初始值，并将其应用于逆合成孔径雷达成像，降低了运算复杂度，并提高了成像质量。MIMO雷达作为一种新体制雷达，在目标检测、参数估计、杂波抑制等方面具有众多优势[8]，已经成为国内外学者研究的热点。MIMO雷达利用波形分集增益可以增强系统参数识别能力，易于自适应技术的实现，并提高了角度分辨率[9]。文献[10]提出基于修正牛顿法和SL0算法的MIMO雷达目标估计方法，该方法采用更加陡峭的双曲正切函数来代替高斯函数，并采用修正牛顿法求解近似l0范数最小化问题，从而避免了“锯齿效应”和收敛速度慢的缺点，提高了MIMO雷达目标估计性能。

MIMO雷达的感知矩阵各列之间的相关性较大，导致该矩阵呈病态。文献[11]将奇异值分解方法引入SL0算法，避免了病态矩阵导致的SL0算法信号重构误差大的问题，改善了重构算法的稳健性。然而，该方法并没有分析奇异值截断门限的计算准则，而奇异值截断门限选择不当会导致MIMO雷达目标参数估计性能恶化。本文将对感知矩阵进行SVD变换，并将特征值均值作为截断门限，利用SVD反变换从截断处理后的左奇异矩阵、右奇异矩阵和特征值矩阵中获得条件数较小的非病态感知矩阵，提高了SL0算法在设定初始值和计算梯度投影中感知矩阵的求伪逆精度，使得SL0算法能有效应用于MIMO雷达的目标参数估计问题中。计算机仿真结果表明，本文方法的目标信号重构性能接近于迭代加权lq算法[12]，但是其运算时间明显低于迭代加权lq算法，大大提高了MIMO雷达目标参数估计的实时性。

1 MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达发射天线和接收天线个数分别为Mt和Mr，其中Mt个发射天线的发射信号矩阵为

(1)

式中，xm=[xm(1),xm(2),…,xm(N)]T为第m个发射天线的发射信号，N表示发射信号的长度。

假设将目标探测区域划分为P个距离单元、K个角度单元和H个多普勒单元，则目标探测区域划分为D(D=P·K·H)个离散的距离-角度-多普勒单元{(τp,θk,ωh)}，其中1≤p≤P,1≤k≤K,1≤h≤H。与文献[12]和[13]相同，为了数学表述方便，本文采用数字域多普勒频率ωh=2πfdhT，其中fdh为多普勒频率，T为采样间隔。那么含有ωh的第m路目标回波和多普勒频移向量分别为

(2)

(3)

由此可以得到多普勒频移信号矩阵为

(4)

因为目标场景在距离维被划分成P个距离单元，则目标回波之间最大距离单元(即为第一个距离单元上的发射信号和不同距离单元反射信号之间最大可能的时延)为P-1，因此发射信号矩阵可以表示为

(5)

(6)

(7)

式中，dr和dt分别表示接收天线阵列间距和发射天线阵列间距；λ0为载波波长。

因此，MIMO雷达的接收回波信号Y∈CMr×(N+P-1)可以表示为[12-13]

(8)

式中，(·)H表示共轭转置；E表示加性噪声；αp,k,h(p=1,…,P,k=1,…,K,h=1,…,H)表示探测区域中目标的复散射系数，若所划分的区域内无目标存在时该位置的复散射系数置为零；Jp表示用来描述从不同距离单元反射回来的信号时所采用的转移矩阵，即

(9)

为了构造压缩感知雷达的表达形式，将Y改写成向量形式。令y=vec(Y)∈Mr(N+P-1)×1，其中vec(·)表示矩阵向量化运算。定义感知矩阵A和目标场景向量和目标场景向量α∈PKH×1分别为

(10)

(11)

(12)

式中，e=vec(E)。MIMO雷达目标参数估计就是从已知的接收信号y和感知矩阵A中估计出目标的复散射系数α，它包含了目标的反射信号强度、距离、角度和多普勒等参数信息。

2 基于特征值均值门限的奇异值分解SL0算法

由于目标稀疏地分布在MIMO雷达探测场景中，因此MIMO雷达的目标复散射系数是稀疏的。式(12)可以等价为求解如下稀疏信号重构问题：

(13)

式中，ε为噪声电平上限值。由于l0范数是非连续的函数，不能通过一般的求极值方法得到最优解，而是穷举非零值所有排列的可能，因此算法的复杂程度随着向量α的元素个数呈指数增长。针对此问题，SL0算法通过一个光滑的高斯函数来近似代替向量的l0范数，再利用最速上升法和梯度投影法来求解目标函数的极值。

(14)

(15)

当σ→0时，根据式(14)和(15)可以得到

(16)

因此，当σ→0时，式(13)稀疏信号重构问题可以近似等价为

(17)

参数σ的作用是调节函数Fσ(α)的平滑程度和近似‖α‖0的程度。σ越大时，函数Fσ(α)越平滑，包含的局部极小值越少，近似‖α‖0的程度越低；σ越小时，函数Fσ(α)越凹凸，包含的局部极小值越多，近似‖α‖0的程度越高。

本文采用截断奇异值分解法处理病态问题时，设定特征值均值作为截断门限，即特征值门限t为：

(18)

(19)

根据上述分析，MIMO雷达目标参数向量α的初始估计值为[11]：

(20)

同理，可以求得在可行集上投影为[11]

(21)

根据上述分析，本文算法的步骤总结如下：

(1)改善感知矩阵的病态问题

对A进行奇异值分解，A=UΣV，Σ=diag(λ1,λ2,…,λr)。

(2)初始化

(3) 当σj>σJ时

①令σ=σj

forl=1,…,L

(a)α←α-μαexp(-α2/(2σ2))

3 仿真与分析

为了验证本文方法在MIMO雷达目标参数估计方面的优势，本文设计了几组利用迭代加权lq方法、SL0方法和本文方法(SL0_SVD)进行MIMO雷达目标参数估计的对比实验。

(22)

在迭代加权lq算法中，选取迭代次数l=8，迭代范数q=0.3，ε=0.001，η=10-2。在SL0方法和SL0_SVD方法中，σJ=0.001，ρ=0.8，内循环次数L=50，步长因子μ=2，η=10-2。

定义重构信噪比[14]如下，

(23)

仿真内容1： MIMO雷达距离-角度-多普勒目标参数估计

图1为MIMO雷达在多普勒单元5°处的距离-角度成像。其中，图1(a)为真实目标的距离-角度分辨单元分布，图1(b)、图1(c)和图1(d)分别为SL0方法、迭代加权lq方法和SL0_SVD方法估计获得的目标的距离-角度成像图。图2为MIMO雷达在角度单元-10°处的距离-多普勒成像，其中，图2(a)为真实目标的距离-多普勒分辨单元分布，图2(b)、图2(c)和图2(d)分别为SL0方法、迭代加权lq方法和SL0_SVD方法估计获得的目标距离-多普勒成像图，其中回波信噪比为15 dB。由图1和图2可知，由于SL0方法没有解决感知矩阵的病态问题，因此该方法无法有效重构出稀疏目标信号，即目标参数估计失效；而迭代加权lq方法和SL0_SVD方法都能有效估计出目标的距离-角度-多普勒信息，从而能获得高质量的目标距离-角度像和距离-多普勒像。

图2 在SNR=15dB时不同方法目标距离-多普勒估计

仿真内容2：算法的重构信噪比与回波信噪比的变化关系

选取回波信噪比在0～25 dB之间变化，重复100次蒙特卡洛实验。图3为三种方法的重构信噪比与回波信噪比的变化关系。由图3可知，SL0_SVD方法对目标参数的重构信噪比优于SL0方法，这是由于SL0_SVD方法通过截断SVD法来降低感知矩阵的病态程度，提高了SL0算法在迭代初始值和梯度投影的正确性。在低信噪比的情况下，SL0_SVD方法对目标参数的重构信噪比优于迭代加权lq方法；随着信噪比的提高，SL0_SVD方法对目标参数的重构信噪比稍微劣于迭代加权lq方法，SL0_SVD方法的重构信噪比接近于迭代加权lq算法。

图3 不同方法的重构信噪比与回波信噪比的变化关系

仿真内容3：算法运行时间与回波信噪比的变化关系

选取回波信噪比在0～25 dB之间变化，重复100次蒙特卡洛实验。图4为两种方法的算法运行时间与回波信噪比的变化关系。迭代加权lq方法在每次迭代中需要对经加权更新后的大规模矩阵进行求逆运算，而SL0_SVD方法可以离线构造非病态感知矩阵，并计算出该非病态感知矩阵的伪逆，当计算迭代初始值和梯度投影时可以直接加载非病态感知矩阵的伪逆结果，因此SL0_SVD方法的运行时间明显低于迭代加权lq方法。

图4 两种算法的运行时间

4 结 语

在SL0算法中，在设定初始值和计算梯度投影中都需要对感知矩阵进行求伪逆运算，而MIMO雷达的感知矩阵极易呈现病态，导致初始值和梯度投影运算结果不稳定，从而导致SL0算法失效的问题。本文提出一种基于特征值均值门限的奇异值分解的SL0算法，该方法先对病态感知矩阵进行奇异值分解，选取奇异值均值为奇异值截断门限，并采用奇异值分解反变换方法从截断后的左奇异矩阵、右奇异矩阵和特征值矩阵来获得非病态感知矩阵，使得SL0算法能够有效应用于MIMO雷达的目标参数估计中，有效实现了MIMO雷达的快速目标参数估计。

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The Method of MIMO Radar Target Parameter Estimation Based on SL0 Algorithm and Truncated Singular Value Decomposition

CHEN Jin-li1,2, ZHOU yun2, LI Jia-qiang1,2, ZHU Yan-ping2

(1. Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing 210044, China;2. College of Electronic and Information Engineering, Nanjing University of Information Science an Technology, Nanjing 210044, China)

For the estimation of MIMO radar target parameters with the smoothed l0(SL0) norm algorithm, the pseudo inverse operation of ill-conditioned sensing matrix is required in setting initial value and calculating gradient projection. Due to the low pseudo inverse accuracy of ill-conditioned matrix, the SL0 algorithm cannot be directly used for estimating target parameters in MIMO radar. Thus, a method based on SL0 algorithm and truncated singular value decomposition for MIMO radar target parameter estimation is proposed in this paper. The SVD transform is performed on the sensing matrix, and then the mean value of the singular values is selected as a truncation threshold. The singular values over the threshold are retained, as well as the corresponding left singular vectors and right ones. Finally, the SVD inverse transform is utilized to obtain a non ill-conditioned sensing matrix with small condition number. Thus the application of SL0 algorithm for MIMO radar target signal reconstruction is achieved. Experimental results demonstrate that the reconstruction performance of the proposed method is almost same to that of the iterative reweightedlqminimization method, while significantly improving the speed of parameters estimation in MIMO radar.

MIMO radar; SL0 algorithm; ill-conditioned matrix; truncated singular value decomposition

10.3969/j.issn.1673-5692.2017.03.014

2016-05-20

2016-08-01

国家自然科学基金(No.61302188，61372066)；江苏省自然科学基金(No.BK20131005)；江苏高校优势学科Ⅱ期建设工程资助项目；江苏省博士后科研资助计划(No.1402167C)

TN957

A

1673-5692(2017)03-295-07

陈金立(1982—)，男，浙江人，副教授，主要研究方向为阵列信号处理和MIMO雷达信号处理；

E-mail:chen820803@yeah.net

周 运(1990—)，男，江苏人，主要研究方向为MIMO雷达信号处理。

李家强(1976—)，男，安徽人，副教授，主要研究方向为天线理论设计、通信信号处理及数据处理；

朱艳萍(1980—)，女，河南人，博士，主要研究方向为MIMO雷达信号处理。