Ma-Minda型双向单叶螺旋函数类的Fekete-Szegö不等式

汤获, 李文娟, 张海燕, 周海燕

(1.赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰 024000;2.赤峰学院应用数学研究所,内蒙古赤峰 024000)

Ma-Minda型双向单叶螺旋函数类的Fekete-Szegö不等式

汤获1,2, 李文娟1,2, 张海燕1,2, 周海燕1,2

(1.赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰 024000;2.赤峰学院应用数学研究所,内蒙古赤峰 024000)

引入单位圆盘 D={z∈C:|z|<1}内 Ma-Minda型双向单叶螺旋函数类(λ,β,φ),利用从属关系讨论了该类中函数的Fekete-Szeg¨o不等式,所得结果推广了一些作者的相关工作.

解析函数;Ma-Minda型双向单叶螺旋函数;从属关系;Fekete-Szeg¨o不等式

1 引言

设 R是实数集,C是复数集,N={1,2,3,···}=N0{0}是正整数集,A表示在单位圆盘D={z∈C:|z|<1}内具有如下形式:

的解析函数族.用S表示在D内单叶且满足A的所有子类.对于任意函数f∈S,它是可逆的且其逆函数f−1满足:

和

这里

如果函数f和f−1在D内单叶,则称函数f∈A在D内双向单叶[1].用σ表示D内双向单叶函数类.

设函数f(z)和g(z)在D内解析,若存在一个Schwarz函数w(z),使得

满足

则称函数g(z)从属于f(z),记为g(z)≺f(z)(见文献[2])．

利用从属定义,在文献[3]中引入如下的Ma-Minda型星象函数和Ma-Minda型凸象函数:

其中 φ(z)是在D 内实部为正的解析函数,且满足 φ(0)=1,φ′(0)>0,φ(z)将D 映射到关于1星象和实轴对称的一个区域.

若 f和 f−1是 Ma-Minda型星象函数,则称 f是 Ma-Minda型双向星象函数,记为(见文献[3]);若f和f−1是Ma-Minda型凸象函数,则称f是Ma-Minda型双向凸象函数,记为 Kσ(φ)(见文献[3]).

近年来,许多学者引入并研究了双向单叶函数的各种子类[4-6],并得到了该类中函数系数|a2|和|a3|的估计.最近,文献[7-10]借助从属关系讨论了某些广义双向单叶函数类中函数系数|a2|和|a3|的估计.受上述工作的启发,本文引进并研究一类Ma-Minda型双向单叶螺旋函数类,利用从属关系讨论该类中函数的Fekete-Szeg¨o不等式,所得结果推广一些已知结果.

2 主要结果

假设 φ(z)是在 D 内的正实部单叶解析函数,且 φ(0)=1,φ′(0)>0,φ(z)映射单位圆盘D到D内的星形区域是关于实轴对称的星象域,其泰勒级数展开式具有如下形式:

其中 Bj∈ R(j=1,2,···),B1>0.

下面引入Ma-Minda型双向单叶螺旋函数类.

定义 2.1设函数f(z)∈σ由(1.1)式给出,如果函数f(z)满足下列条件:

和

注 2.1在定义2.1中,若适当选取参数λ,β和φ,可得下列函数子类:

为了得出本文主要结果,需要以下引理.

引理2.1[2]设函数

为 D 内正实部解析函数,则 |pj|≤2(j=1,2,···).

定理2.1设δ∈R,函数f由(1)式给出,若则有

定义两个函数p和q如下:

定理2.1得证.证毕.

在定理2.1中,若取β=0,则有下列推论2.1.

推论2.1设δ∈R,函数f由(1)式给出,若则有

在定理2.1中,若取µ=1,则有下列推论2.2.

推论 2.2设 δ∈R,函数 f由 (1)式给出,若 f∈Hσ(λ,β,φ),则有

在定理2.1中,若取λ=1,则有下列推论2.3.

推论2.3设 δ∈R,函数f由(1)式给出,若f∈(β,φ),则有

在定理2.1中,若取µ=λ=1,则有下列推论2.4.

推论 2.4设 δ∈R,函数 f由 (1)式给出,若 f∈Hσ(β,φ),则有

在定理2.1中,若取δ=1,则有下列推论2.5.

推论2.5设函数f由(1)式给出,若f∈(λ,β,φ),则有

[1]Lewin M.On a coefficient problem for bi-univalent functions[J].Proc.Am.Math.Soc.,1967,18:63-68.

[2]Duren P L.Univalent Functions[M].Berlin:Springer,1983.

[3]Ma W C,Minda D.A uni fi ed Treatment of Some Special Classes of Univalent Functions[M].England:Cambridge,1994.

[4]Srivastava H M,Mishra A K,Gochhayat P.Certain subclasses of analytic and bi-univalent functions[J].Appl.Math.Lett.,2010,23:1188-1192.

[5]Frasin B A,Aouf M K.New subclasses of bi-univalent functions[J].Appl.Math.Lett.,2011,24:1569-1573.

[6]Caglar M,Orhan H,Yagmur N.Coefficient bounds for new subclasses of bi-univalent functions[J].Filomat.,2013,7:1165-1171.

[7]Ali R M,Lee S K,Ravichandran V,et al.Coefficient estimates for bi-univalent Ma-Minda starlike and convex functions[J].Appl.Math.Lett.,2012,25:344-351.

[8]Xu Q H,Xiao H G,Srivastava H M.A certain general subclass of analytic and bi-univalent functions and associated coefficient estimate problems[J].Appl.Math.Comput.,2012,218:11461-11465.

[9]Xu Q H,Gui Y C,Srivastava H M.Coefficient estimates for a certain subclass of analytic and bi-univalent functions[J].Appl.Math.Lett.,2012,25:990-994.

[10]Tang Huo,Deng Guantie,Li Shuhai.Coefficient estimates for new subclass of Ma-Minda bi-univalent functions[J].J.Ineq.Appl.,2013,317:1-10.

Fekete-Szegö inequalities for the class of Ma-Minda bi-univalent spirlike functions

Tang Huo1,2,Li Wenjuan1,2,Zhang Haiyan1,2,Zhou Haiyan1,2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

In this paper,we introduce the class Hµσ(λ,β,φ)of Ma-Minda bi-univalent spirlike functions in the open unit disk D={z ∈ C:|z|<1}.By using the subordination relationship,we investigate Fekete-Szeg¨o inequalities for functions belonging to the above class.The results obtained generalize some known works.

Ma-Minda bi-univalent spirlike function,subordination relationship,Fekete-Szeg¨o inequality

O174.51

A

1008-5513(2017)03-0241-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.003

2017-03-13.

国家自然科学基金(11561001);内蒙古自然科学基金(2014MS0101);内蒙古高校科研基金(NJZY16251).

汤获(1979-),博士,副教授,研究方向:复分析及其应用.

2010 MSC:16D13