基于多周期CVaRD的个人账户养老金最优投资策略研究

张振荣，马丽娜，代征鸣

（1. 天津农学院 基础科学学院，天津 300384；2. 中央财经大学 中国精算研究院，北京 100081；3. 首都经济贸易大学 金融学院，北京 100070）

基于多周期CVaRD的个人账户养老金最优投资策略研究

张振荣1，马丽娜2,3，代征鸣1

（1. 天津农学院 基础科学学院，天津 300384；2. 中央财经大学 中国精算研究院，北京 100081；3. 首都经济贸易大学 金融学院，北京 100070）

通过构建多周期条件风险价值偏差（CVaRD）模型来研究中国个人账户养老金投资的最优策略。基于基本养老保险基金投资管理规定，假定个人账户允许投资3种类型，以优化CVaR为目标，先建立情景树，情景树的层数由养老金投资决策改变的次数决定，利用最优化方法将养老金储蓄额的期望与养老金储蓄额投资的条件风险价值之差化成一个非线性规划，利用迭代算法求解，得到每一期条件风险价值偏差的最小值、每一期的养老金储蓄额的期望以及养老金投资选择分配方式。结果表明：条件风险价值偏差的最小值随投保者年龄增大而增大；养老金储蓄额的期望均大于预期财富目标；随着投保者年龄增大，投资风险较大的F1的比例逐渐降低，投资无风险型F3的比例逐渐增大，说明随着年龄增大，追逐风险的意愿下降。

多周期条件风险价值偏差；最优投资策略；情景树；非线性规划

1 背景介绍

我国的基本养老保险基金（下文简称为养老基金）是指由社会保险征缴机构以社会保险费的形式征集和国家财政专项补贴而形成的，用以保证劳动者在未来退休时享受基本生活水平的专项资金。由两部分构成：统筹账户养老金和个人账户养老金。2015年8月，国务院印发了《基本养老保险基金投资管理办法》（以下简称《办法》），《办法》中规定各省、自治区和直辖市计算养老基金结余额，预留一部分作为支付费用，再确定具体投资额度，然后委托给国务院授权的投资管理机构进行投资运营。随着数额庞大的养老基金（包括统筹账户养老金和个人账户养老金）相继入市，个人投资的选择权被提上日程。每个人的风险偏好不同，承担风险的能力有大有小，个人如何选择一个最优投资组合，使退休后的收入有保障且有较高收益，同时最大程度地降低风险，是养老基金入市后需要解决的问题[1]。本文正是以养老基金投资资本市场为背景，借鉴国外养老基金投资管理经验，假设投保人拥有养老基金个人账户的投资选择权，并且遵循《基本养老保险基金投资管理办法》中关于投资比例、投资类型、投资权限等规定，投资管理机构负责管理投保者的个人账户收益，通过理论分析，构建养老基金个人账户多周期条件风险价值偏差（CVaRD）模型，选择最优投资组合，最大程度降低投资风险。

目前金融界测量市场风险的主流方法包括风险价值方法（Value-at-Risk，VaR）和条件风险价值方法（Conditional Value-at-Risk，CVaR）。在国内文献中，林源[2]利用 VaR度量中国养老基金投资中的市场风险、流动性风险和信用风险。吴奇[3]提出VG-GARCH-VaR模型，结合压力测试对养老金入市的风险进行分析和控制。但是VaR模型度量金融资产的风险是有条件的，必须在正常的市场环境下进行。当金融市场出现极端状况，VaR所度量的风险就失去了意义。但很多情况下，正是极端值起到了判断市场风险的决定作用。一些实证研究表明VaR有以下缺点：第一，它在非正态条件下不满足次可加性，故不是一致性风险度量，因为一致性风险度量需具备正齐次性、次可加性、单调性、转移不变性4个性质[4]；第二，VaR尾部损失测量不具有充分性，因为它无法考察超过分位点下方的风险信息；第三，应用VaR的前提条件是股票收益率须服从正态分布，一些实证研究证实，目前中国股票收益率不服从正态分布。基于以上这些缺点，需要改进VaR来估计风险。

学者Artzner P 等[5]提出了条件风险价值的定义，给出CVaR的性质、计算方法及样本逼近等。CVaR的优点是满足资产收益的尖峰厚尾性，且满足一致性风险度量，把VaR在置信区间外的极端分布信息考虑进来。CVaR是近年来研究风险控制的热点，但把 CVaR用于养老基金投资的风险控制的文献不多。Bai等[6]研究养老金负债管理模型时，提出用CVaR控制风险。吴奇[7]讨论了压力测试与条件在险价值（CVaR）在养老金入市的风险控制中的应用。

本文基于养老基金投资管理的规定，结合中国养老基金投资的实际情况，假设个人账户养老金可以投资3种类型，风险资产价值由几何布朗运动产生，以优化 CVaR为目标，构建多周期策略模型，最小化周期财富期望与条件风险价值之差，利用情景树模拟投资周期，用MATLAB求解非线性规划模型，得到每一期的财富期望、条件风险价值偏差和最优投资组合，为养老基金个人账户投资控制风险提供可靠性依据。

2 理论模型

2.1 投资类型及比例

假设个人账户根据《办法》的规定可选择相同的投资产品和类型。养老基金仅限于在境内投资。必须坚持安全第一的原则，严格控制风险。投资产品包括银行活期存款、1年（以内）定期存款、票据、国债、货币型养老金产品，比例≥5%；1年（以上）定期存款、国债、银行债券、金融债、公司债、地方政府债券、固定收益型养老金产品、混合型养老金产品，比例≥135%；股票、股票基金、混合基金、股票型养老产品，比例≥30%；投资国家重大项目和重点企业股权，比例≥20%。

根据上述要求，假设选择3种投资类型，第1种是股票类等风险投资占 30%、债券及银行存款占70%的F1；第2种是股票等风险投资比例稍低占15%、债券及银行存款占85%的F2；第3种是无风险投资，即风险资产比例占0%，债券及银行存款占100%。

2.2 情景树

在金融动态投资决策时，构造关于资产收益的情景树是应用随机规划模型的关键。情景树由节点和连线组成。根节点0位于情景树的第0层，表示投资的初始时刻t＝0，初始时刻的信息已知。根节点的后代位于情景树的第一层，表示在未来某时刻t=t1可能出现的状态，

用s1,s2,s3,...,sk（k≥1）表示，每个状态发生的概率分别为 p1, p2, p3,...,pk。在未来某时刻t= t2，第 1层的节点s1有若干后代sk+1,sk+2,sk+3,...,s2k，它们位于情景树的第2层，每个状态发生的概率分别为 pk+1,pk+2,pk+3,...,p2k。设节点n-对应某时刻ti-1，节点n对应某时刻ti，分支的层数由具体问题来确定。图1是二元情景树的例子。

图1 二元情景树

2.3 变量说明

j( j ∈{1,2, ...J })表示不同的投资类型。本文中假设投资者选择表2中所列的3种方式进行投资，故J=3。

wn是代表时刻ti的工资收入，由时刻ti-1的工资收入 wn-及投资周期[ ti-1,ti]的工资增长率n决定，即 wn= wn-(1 +n)。

2.4 模型假设

（1）时刻ti从工资总收入wn中抽取固定的百分比 投到养老金个人账户中。

2.5 目标函数是终节点财富随机变量，则ˆT的置信水平为1- 的风险价值[11]为

条件风险价值（CVaR）是指在投资组合的损失大于某个给定的风险价值VaR的条件下，该投资组合损失的平均值。置信水平为1- 的平均风险价值为

CVaR满足：平移不变性、正齐次性、单调可加性、某种程度上都具有关于0的对称性、次可加性[7]。它克服了VaR的缺陷，基于CVaR约束的优化问题可转化为随机线性规划问题，是研究风险控制的有力工具。

本文在以 CVaR为基础，定义条件风险价值偏差（Conditional Value-at-Risk Deviation，CVaRD），它是终端节点总财富的期望与终端节点平均风险价值之差，即：

将最小化CVaRD写成线性规划的形式，即：

2.6 模型建立

假设投保者投保期限是40年，需构造长度为40层的情景树，但由于算法复杂度过大，需降低该问题的维度。假设投资决定在时刻调整，对应情景树上的第0层（初始阶段）、第 1层、……、第层（终端阶段）。即在时刻增加投入，额度为年工资收入wn的比例 。

则投资模型为：

（6）表示终极目标财富大于预期目标财富，（7）为初始阶段约束和中间t阶段约束，（8）为终端财富约束，（9）为CVaR约束条件。

3 模型修正

3.1 修正因素

养老金储蓄是一项长期的投资，退休时的储蓄额是投保者最关心的。由于各种原因，不仅要考虑退休时个人账户的财富值，还要考虑投保者个人账户的阶段财富，上面模型只计算出终端节点的财富值。并且上面模型只考虑了投保期40年内的某一阶段调整，实际情形每年投保者都会向个人账户注资，随着工资收入的变化，投入到养老金个人账户中的金额也会随之调整，不可能是固定比例 ，还需要刻画出调整时刻确定的依据。根据以上3个因素调整模型。

令lk表示时期的长度，实际情形下代表lk年，则意味着养老基金储蓄额在时期会增值lk次，并且lk次中的每一次都按照总额k-1分配给 3种投资方式，且每次分配比例是固定不变的，直到这一期结束时刻tk；调整时刻 0,t1,t2,...,tT～ 是年收入变化的拐点，假设在时期内年工资收入增长率为）表示长度为lξ(n)这一时期内每年工资增长幅度；k-1的取值由年收入决定。见下图2。

图2 改进后的投资分配方式

节点n的后代{n+}上的财富随机变量为：

多期平均风险价值偏差定义为财富随机变量

3.2 算法

将目标函数（11）化成线性规划形式，在条件（12）～（16）下计算 3种投资类型下的多期最小化风险价值偏差。条件（16）使目标函数变成非线性规划，用迭代算法求解。迭代算法如下：

步骤 4：重复步骤 2，3，直到达到预先定义的准确度。

停时标准 ε=|c'x -c|是两个连续迭代的目标函数值之差， 是新迭代的结果，x是前面迭代的结果。规定 ≤0.001时停止迭代，此时得最优解。用MATLAB软件编程，MATLAB内置的线性规划函数linprog计算线性最优化问题。

4 实证分析

假设投保者的工资收入随年龄增长，增长幅度与投入到养老金个人账户中的比例，以及时期的长度见下表1。

表1 1～40年工资增长

取沪市股票10种，计算其在2010 —2015年股票价格的回报1μ和标准差1σ，分别为1μ＝0.103 6，1σ＝0.170 5；取中国政府债券价格在2010 —2015年的数据，计算回报和标准差分别为2μ＝0.047 6，2σ＝0.007 9；由历史数据得出股票价格和债券价格的相关系数为-0.114 7。将其代入（20）、（21）。再应用三点离散化分割二维布朗运动，得到股票回报的3个情景和债券回报的3个情景，把它们组合在一起，得到每个非终端节点有9个后代，此时 r(s)(t )、r(b)(t )记作离散化的量r、。

取 cξ(n)=1， ＝0.05，目标财富价值分别为= 4.5、4.75、5，在不同财富目标下，时刻对应情景树上的条件风险价值偏差 CVaRD与E( )通过（11）～（16）计算，结果见表2。

表2 条件风险价值偏差CVaRD与财富期望 E()

表2 条件风险价值偏差CVaRD与财富期望 E()

CVaRD与 (ˆ )n Ey时刻t T～ μ＝4.5 μ＝4.75 μ＝5.0 t T～=10.157 6（32.24）0.180 3（30.80） 0.361 3（31.17）t T～=20.209 8（34.67）0.383 4（30.20） 0.344 0（31.50）t T～=30.585 3（38.35）0.582 3（37.53） 0.667 1（35.43）t T～=40.646 6（39.25）0.710 7（40.35） 0.630 2（39.50）t T～=50.976 3（41.18）0.986 7（41.75） 0.960 8（40.86）

在同一目标财富下，随着投保时间增加，预期养老金储蓄额 E( )也增加，这符合直观想法，即投保时间越长，收益越多。且每一期 E)均大于财富目标 ，满足模型中的条件（12），说明了模型的合理性及求解的正确性。

表3 投到养老金的工资收入比例 的分配方式

投保者每年从个人收入中取比例 投到养老金个人账户中，按照何种分配方式分给F1、F2和F3可参考表3。表3详细给出了时期＝5投资分配方式，可以发现，随着投保者年龄增大，投资风险较大的F1的比例逐渐降低，投资无风险型F3的比例逐渐增大，说明随着年龄增大，追逐风险的意愿下降。

5 结论

本文把投保者的投保终极储蓄额的期望与条件投资风险价值损失之差记作条件风险价值偏差，建立条件风险价值偏差最小化模型，此模型不仅可以计算投保者在退休时的个人养老金账户储蓄额，还可以计算投保期间的账户储蓄额。观察模型结果，发现条件风险价值偏差随投保者年龄增大而增大，并且利用模型可计算投资分配方式。故此模型具有很大的实用价值。

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责任编辑：宗淑萍

Optimal Pension Fund Management Study under the Multi-Period CVaRD

ZHANG Zhen-rong1, MA Li-na2,3, DAI Zheng-ming1
（1. College of Basic Science, Tianjin Agricultural University, Tianjin 300384, China; 2. China Actuarial Research Institute, The Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China; 3. College of Finance, Capital University of Finance and Economics, Beijing 100081, China）

s: The optimal strategy of the individual pension investment in China is constructed by constructing multi-period conditional value-at-risk deviation（CVaRD）model. Based on the basic old-age insurance fund investment management regulations, assume that individual account allows investment three types, aiming at optimizing CVaR. The scenario tree is established. The levels on scenario tree are decided by the change times of pension fund investment. Optimization the difference between the pension savings expectations and the average risk value of pension savings investment is transformed into a nonlinear programming. Using the iterative algorithm, each minimum of the conditional value-at-risk deviation, each issue of pension savings expectations and pension investment choice distribution are soluted. The results show that the minimum value of conditional value-at-risk deviation increases with the increasing of the age of the insured; pension savings expectations are greater than expected wealth; with the increasing of the insured age, the proportion of the investment larger risk F1gradually reduces, investment no risk F3 ratio gradually declines, which indicate that with the increasing of age, chasing a willingness to risk decreases.

multi-period condition value-at-risk deviation; optimal pension fund management; scenario tree; the non-linear program

F832.48

：A

2016-12-06

国家自然科学基金青年项目“基于Markov模型的反向抵押贷款及其连结长期护理保险产品的定价研究”（71401124）；全国统计科学研究重点项目“基于多期风险测度的养老基金最优资产配置策略研究”（2015LZ03）；天津市高等学校科技发展基金计划项目“老龄化背景下反向抵押贷款及其衍生品的定价与实证研究”（20131004）

张振荣（1978-），女，河北正定人，讲师，硕士，研究方向为数理统计应用及高等数学教学。E-mail：zhangzhenrong1@126.com。

1008-5394（2017）02-0085-06