任意锐角的三等分

张昭隆+张均琦+沈长斌

【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究.

【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角

任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）.

为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答”，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005年版第2页）.

实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只能以近似的方式来解决.比如，以a为直径作一个圆，会容易做出来；但如果是计算一下周长S，这时候问题就来了，因为我们要使用π值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S≈S计且S≠S计，或表示为S=S计±δ，δ可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道.

本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.

在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是指0°<α≤360°，不包含负角和超过360°的角.另外，角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.

下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角.

题给条件：0<α=∠xOy<90°（参照图1）.

求解：三等分α.

一、作图（参照图2）

（1）在Ox边上任取一点A，然后在Ox边上取OA=AA2=A2A3.

（2）以O为圆心，以OA为半径，作AB，此时OA=OB（同圆半径），

以O为圆心，以OA2为半径，作A2B2，此时OA2=OB2（同圆半径），

以O为圆心，以OA3为半径，作A3B3，此时OA3=OB3（同圆半径）.

（3）作∠α的平分线OP.

① 以A3为圆心，以OA3为半径作弧lA；

② 以B3为圆心，以OA3为半径作弧lB，交lA于P；

③ 连接OP，交AB于C，交A2B2于C2，交A3B3于C3，

此时，∠xOP=∠POy=∠AOC=∠COB=∠A2OC2=∠C2OB2=∠A3OC3=∠C3OB3.

∵同一圆内等角对等弧，

∴AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.

（4）连接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2，连接A3W3，V3B3.

（5）连接OW3，OV3，此时，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3（同圆半径），

则OW3，OV3三等分∠α，即∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3.

二、证明

1.作辅助图（参照图3）.

（1）连接A3V3交OW3于KW.

（2）以OKW为直径作⊙R.

① 以OKW为半径，以O为圆心作弧lO1，lO2，以OKW为半径，以KW为圆心作弧lK1交lO1于M，作弧lK2交lO2于N.

② 连接MN交OKW于R，则MN是OKW的垂直平分线，R是垂足.

∵OW3是OKW所在的直线段，∴OW3⊥MN.

③ 以R为圆心，以RO（=RKW）为半径，作⊙R，

交MN于m，n，交OA3于O，a，

交OW3于O，KW，交OV3于O，E，

交OB3于O，b，交A3V3于KW，KW是A3V3与⊙R的唯一公共点.

2.证明.

（1）根据以上所作辅助图（参照图3）可知：⊙R交A3V3于KW，即KW是A3V3与⊙R的唯一公共点.

根据圆的切线定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，则这条直线叫作这个圆的切线，该公共点叫作切点，可以得出结论：A3V3是⊙R的一条切线；

另根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可以得出结论：A3V3⊥RKW.∵OW3是RKW所在的直線段，∴A3V3⊥OW3，KW是垂足.

（2）在Rt△OKWA3与Rt△OKWV3中，∵A3V3⊥OW3，∴∠OKWA3=∠OKWV3=90°，∵同圆半径，∴OA3=OV3，OKW为共有直角边，

根据HL定理，Rt△OKWA3≌Rt△OKWV3.∵对应边相等，∴A3KW=KWV3.

（3）在Rt△W3KWA3与Rt△W3KWV3中，∵A3V3⊥OW3，∴∠W3KWA3=∠W3KWV3=90°，根据证明（2）结论：A3KW=KWV3，W3KW为共有直角边.

根据SAS定理，Rt△W3KWA3≌Rt△W3KWV3，∵对应边相等，∴A3W3=W3V3.

（4）∵根据证明（3），可知A3W3=W3V3，又根据作图（4）的步骤，可知A3W3=V3B3，

∴A3W3=W3V3=V3B3（等量相等），

∴A3W3=W3V3=V3B3（等弦对等弧），

∴∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3（等弦对等角），

∴∠A3OW3+∠W3OV3+∠V3OB3=∠α得证.

综上，我们已证明：∠α被三等分后，三个分角在A3B3上且只有在A3B3上的对应弦等于A2C2.关于钝角的三等分问题，由于篇幅所限，简单说明如下：可将钝角二等分或四等分，变成相等的两个或四个锐角，再对得到的锐角按上述方法进行三等分后，进行角的合并（二合一或四合一），则可实现钝角的三等分.