作立体图形截面的几点心得

刘奕佳

【摘 要】德国著名数学家高斯曾经有言：“数学是科学的皇后”。可见数学学习的必要性。数学中的一重要内容就是立体几何，它对于空间想象力不够充分的同学来说，实在是一块难啃的骨头，特别是其中的平面截立体图形所得截面问题十分棘手。接下来我们就以正方体为例研究其截面的作法。

【关键词】立体图形；截面；心得

一、探索

确定一平面的已知条件：①已知两平行直线；②已知两相交直线；③已知一条直线及直线外一点；④已知三个不共线的点。

形成截面的标志（目标）：形成一封闭的平面图形

结论：需分四种情况讨论

分类讨论：

情况一：已知两平行直线

如图1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与D1C平行，求EF与D1C所确定的平面π截正方体所得的截面。

解：此时的截面十分易作，只须连接ED1与FC即可。

注：此种情况两平行直线必须分别在相对的面上，原因：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

情况二：已知两相交直线

如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与FC相交，求其确定的平面π截正方体的截面。

解：①延长FG交DA与点P（找平面A1ADD1与平面ABCD的交点）。②过点P作EF的平行线交AB于M，DC于N。（注：平行线的作法：①计算法：相似三角形。②因为平行X轴的直线在斜二测画法中也平行X轴，平行Y轴的直线在斜二测画法中也平行Y轴，所以在斜二测画法中一线的平行线可按在平面直角坐标中作平行线的相同方法）；作平行线的原因：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。③得平面π与平面ABB1A1的两交点GM连接GM。得平面π与平面ABCD的两交点MN连接MN。得平面π与平面DD1C1C的两交点EN连接EN。④即得出截面。

所运用的定理：①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过交点的公共直线。②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

情况三：已知一条直线与直线外一点

如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求EF与G所确定的平面π截正方体的截面

解：①延长EF交BB1于点P；②得平面π于平面B1BCC1的两交点PG，连接PG交B1C1与M；得平面π与平面D1A1B1C1的两交点FM，连接FM；③延长FE交BA于N，过点N作FM的平行线交DA于Z，DC于X；④得平面π与平方A1ADD1的两交点EZ连接EZ。得平面π与平面ABCD的两交点ZX，连接ZX。得平方π与平面DD1C1C的两交点XG连接XG；⑤即得出截面，所运用的定理：①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过交点的公共直线。②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

情况四：已知三个不共线的点（因为此种情况很多时候都可转换以上情况，所以在这仅已三点分别在不共面的三条棱上的情况为例）

如图4在正方体ABCD-A1B1C1D1中求E、F、6三点所确定的平面截正方体所得截面。

解：①过点F作点作AD的平行线交DD1于H，连接HC。

②连接F6并延长交HC延长线与I。

③因为H∈平面DD1C1C，C∈平面DD1C1C所以HC?平面DD1C1C上。

因此I∈平面DD1C1C。连接EI，交CC1于J。

④得平面π与平面B1BCC1的两交点JG。连接JG；

⑤延长JG交B1B于点K，得平面π与平面A1ABB1的两交点FK。连接FK交AB于L。得平面π与平面ABCD的两交点LG，连接LG。

⑥延长LF交B1A延长线于M，得平面π与平面A1B1C1D1的两交点ME，连接ME交A1D1与N。得平面π与平面AA1D1D的两交点NF，连接NF。

⑦即得出截面。

所运用的定理：①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过交点的公共直线。②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

二、总结

总结：①最重要的一点：求截面即找交点，即找已确定平面与立体图形表面的公共点。②抓住立体图形的性质。例如正方体两相对的面平行，即若截面的两条直线在正方体相对的面上，这两条直线平行。③活用定理，明确目标。

三、应用

能做出立体图形的截面对我们解题很有帮助，以下以一题为例。

例：如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8cm，点M，N，P，分别是AD，A1B1，B1B的中点。

（1）画出过点M，N，P三点的平面与平面AC的交线以及与平面BC1的交线；

（2）设过点M，N，P三点的平面与BC交于点R，求PR的长。

解：（1）如图，延长NP，AB交于点Q

则Q∈平面MNP，

Q∈平面AC.

又M∈平面MNP，

M∈平面AC

∴平面MNP∩平面AC=MQ

設MQ∩BC=R.则平面MNP∩平面BB1C1C=PR.

（2）∵P为BB1的中点

∴BQ=B1N=1/2 AB，∴BR=1/3AM=4/3cm

∴PR=