条件极值的求解及其应用

2017-08-29 22:37陈飞翔
都市家教·上半月 2017年8期
关键词:驻点极值

陈飞翔

【摘 要】本文主要讨论了多元极值的求解方法及其应用。

【关键词】驻点;极值;条件极值

函数极值是有关函数的一个重要的研究课题,它对于掌握函数有着重要的作用。求条件极值是高等数学中经常遇到的一种问题,拉格朗日乘数法是一种较为普遍、简单的方法。本课题主要探讨求函数极值的方法,有关函数极值在不同情况下的求值问题,特别是当函数是一元、二元或者多元时的极值求解条件,并讨论了多元函数条件极值的几种解法,以及条件极值在生活中的应用。

一、基本概念

定义1[1]、求函数在满足函数方程组(限制条件)

二、条件极值的求解

求解步骤:(1)由拉格朗日乘数法,做辅助函数,

(2)求的稳定点,即求方程组(n+m个方程):

(3)由问题的实际意义,如果函数存在条件极值,通常方程组又只有唯一一个稳定点,则该点必为所求的极值点。

例1、求旋转抛物面与平面

三、条件极值的应用

1.利用条件极值证明不等式

例2、证明不等式其中,

证明:设函数再求条件下的最小值

2.利用条件极值求最值

例3、将长度为l的铁丝分为三段,用此三段分别做成圆,正方形,等边三角形,问如何分法,才能使这三个图形的面积之和最小。

解;法一:取x,y,z,分别表示圆之半径,正方形的边长,等边三角形的边长,于是总面积(目标函数) (1)

从而按上述比例分割铁丝,所围的面积极小,也是最小。

无论在理论上还是在实践中,函数的极值和最值具有广泛的应用,极值和最值是数学分析的重要组成部分之一,研究求函數的极值和最值的方法具有重要意义和现实必要性。

参考文献:

[1]刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第四版)上册[M].北京:高等教育出版社,2003

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