变量代换法求极限及其几点应用在教学中的浅析

【摘 要】变量代换是求函数极限的重要方法，然而在教学中往往一带而过.本文首先阐述这一方法的理论依据及两点补充，然后论述它在应用时的具体方法和详细的推导过程。

【关键词】变量；代换法；求极限

高等数学中变量代换法求极限的理论依据是复合函数的极限运算法则，详见参考文献[1]。

下面给出现有文献中未提及的两种情况。

定理1 设y=f [g（x）]由u=g（x）與y=f（u）复合而成，若，

.且存X0>0，时g（x）≠u0，则

证明：由于，，当0<

|u-u0|<η时，有|f（u）-A|<ε.又由于，对上述η>0，，当|x|>X1时，有|g（x）-u0|<η.由条件，存X0>0，时g（x）≠u0.取X=max（X0，X1），当|x|>X时，有0<|g（x）-u0|<η，从而|f[g（x）]-A|<ε，即

在应用时，要严格考察是否具备定理中所有条件，先看一个简单例子：

例1 求极限

解：设，则，并且u≠0.目标函数为，并且.所以，

定理2：设y=f[g（x）]由n=g（x）与y=f（n）复合而成，其中n∈N +.若，则

证明：因为，所以对，，当n>N时，有|f（n）-a|<ε又，取G=N，，当x>X时，有g（x）>G=N.于是，对上述ε>0，，当x>X时，有|f（n）-a|<ε，即

此定理中，通过变量代换，将函数极限转换成数列极限。下面用定理2证明第二重要极限.虽然文献[1]中已经给出较详细的证明，但在最关键一步逻辑上却不清晰。

例2 证明.

证明：当x→+∞时，由[x] ≤ x ≤ [x]+1得作变量代换n=[x]，这里n∈N +，由定理2，

当x→+∞时，作变量代换u=-x，可得同样的结果.下面用变量代换法证明反函数求导法则和洛必达法则。

例3 若x=f（y）在区间Iy内单调、可导且f?（y）≠0，则y=f -1（x）在区间Ix={x|x=f（y），y∈Iy}内也可导，且

证明：由题设，f -1（x）存在且单调、连续，任取x∈Ix，x取得增量，

待求函数为，作变量代换且?y≠0.?x=f（y+?y）

-f（y），于是

目标函数为，这里所用变量代换虽然抽象但还是可以用题设中函数表示的。

例4 若（1）；（2）在某存在且F?（x）≠0；（3）存在（或为∞）.则（或为∞）。

证明：f（a）=F（a）=0设，则f（x）与F（x）在某U（a）连续。任取，在[x，a]（或[a，x]）上应用柯西中值定理，有（记为（*）式）。此式中ξ介于a与x之间，不妨要求任一x对应唯一的ξ值.则相当于由柯西中值定理定义了x与ξ间的一个一元单值函数关系，设为ξ=g（x），并且.则（*）=，于是，待求函数是目标函数（）与ξ=g（x）的复合函数注释[1]。从而

注释[1]：（1）与（2）不是同一个函数，定义域不同。（1）的定义域包含于U°（a），且不能证明（1）中ξ连续地趋于点a.但定理1的条件按极限的定义，要求（4）式中ξ必须连续地趋于点a.（4）与（3）是同一函数。但既是（1）与ξ=g（x）的复合函数，又是（2）与ξ=g（x）的复合函数。看成后者恰好满足连续地趋于点a这一条件。

因此，教学中证明的关键之一是（*）=.这点在国内高等数学教材中都未作出解释，但作者认为很有必要。

参考文献：

[1]高等数学上册第七版.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社，2014.07.

[2]娄喜娟.关于用变量代换求极限的教学点滴.邯郸：邯郸师专学报，1995.Z1.

作者简介：

李持磊（1978.10～），男，汉族，籍贯：山东章丘，学历：本科，毕业学校：吉林师范大学，职称：助教，单位（学校）： 哈尔滨师范大学，研究方向：基础数学。endprint