高中数学思想方法实践性应用探究

杨利娜

[摘 要] 从高中数学教学的本质这一角度来讲，数学思想的延续与传授应该是比数学知识的传授更为主要和重要的内容，学生的数学素质、高中数学课堂教学的效果以及教学的效率均因为学生对于数学思想方法掌握的程度而左右.笔者结合多年教学实践经验对数学思想方法的含义、实施原则、实践应用以及其教育的价值作了初步探讨.

[关键词] 数学思想方法；简要含义；原则；实践应用；教育价值

[?] 数学思想方法的简要含义

青少年思维发展的重要途径从其心理发展规律这个层面来讲正是数学思想方法的开展. 如果说初中生的思维还处于“形式”向“辩证”转变的过渡阶段，那么“辩证思维”形成与发展的重要时期正好便是学生的高中时期.

人的意识在认知客观事物及其规律的过程中产生的一系列思维活动的产物正是我们通常所说的思想方法. 在数学学科范畴的数学思想方法便是人的意识对于现实世界数量关系及其空间形式的认知而产生的数学理论、数学本质等方面的思维产物. 数学思想方法的教学从学习的认识结构理论来讲，对于数学认知结构、数学思想方法、数学基础知识的建立与发展都有着巨大的心理影响，是学生学习动机、意愿以及认知的生产与促进者，在为学生提供数学思维活动实施具体手段的同时强化了学生的学习意愿. 由此可见，数学思想方法在学生的学习迁移、数学能力及学习效率的发展、提高过程中均具有无法替代的推动作用.

[?] 高中数学思想方法教学需遵循的原则

1. 揭示、渗透与浅显相结合的教学原则

教材中的概念、法则、性质、公式、定理及其所蕴含的数学思想与方法组成了数学教学的内容体系. 大多较高层次的数学思想都是蕴含在教材的表层知识之中的，一般来说它们都处于潜在隐形的状态之中. 教师在教学中应注重揭示深层知识并将其潜在形态转变成学生易于发现并接受的外显形态，学生对于这些数学思想方法才能从朦胧中形成清晰的感受并更加容易理解与掌握，只有这样，教师才能有针对性地采取恰当科学的措施并结合学生数学实际水平状态进行数学思想方法的渗透教学.

2. 反复系统和螺旋推进相结合的教学原则

学生对于逻辑思维范畴内数学思想方法的领会与掌握一般都会经历从个别到一般、具体到抽象、感性到理性、低级到高级的认知过程. 学生对任何知识或方法的认知首先都会在感性认知上建立，然后在此基础上经历多次反复的认知冲突以后才能逐渐概括形成理性认知，并学会在实践中应用和验证.因此，教师在教学中只有注重这一过程的反复渗透才能使学生对数学思想方法的认知逐步深入并达到稳步上升的状态.

[?] 如何发现并挖掘蕴含于教材之中的数学思想方法

数学思想方法与知识内容是数学课程内容这一整体的有机组成部分. 如今的高中数学必修与选修教材知识点中都蕴含着大量的数学思想方法，在其发现与挖掘上，凭借学生有限的数学能力与数学素养基本是不可能的. 因此，教师要善于引导并带领学生以知识教学为载体将教材中的数学思想方法内容挖掘出来，并在学生学习的过程中长期逐步渗透与反复引导，使学生在循序渐进的过程中掌握数学思想方法的具体内容并深化理解.

1. 教师应注重研究数学这门学科对于知识的系统编排，并在此研究中获得数学知识中所蕴含的数学思想方法并加以梳理和歸纳. 以笔者多年的教学实践和总结结合必修模块1、3、5的部分教学内容为例，这几章内容中主要蕴含的数学思想方法整理出如表1.

2. 教师应准确掌握各单元知识中所蕴含的思想方法并将这些数学思想方法的教学列入自身教学计划中. 教师应注重将教学过程的教学代替传统教学中知识结论的教学，使数学这一学科的工具功能与文化功能都能得到体现，教师在教学中要注重课堂教学当前利益与长远效益的体现，使学生在知识学习中能够获得比较长远的学习效益. 例如，数列这一知识点蕴含了诸如归纳、猜想、类比等思想方法以及特殊到一般、函数与方程等思想方法，教师在教学中要注重这些思想方法的教学与应用，而迭加法、相加法以及迭乘法、错位相减法在求和公式的推导中是教师更加需要注重教学的.教师将蕴含于知识发展中的思想方法教给学生，有助于学生形成良好的数学素质.

[?] 数学思想方法在数学问题解决中的实践应用

数学教学的最终目标便是教会学生运用所学的知识及方法能够解决实际问题. 因此，教师应注重以知识教学为载体渗透数学思想方法的教学，使学生能够在掌握表层知识的基础上加深对深层知识的理解与领悟.

1. 函数与方程思想是高中数学的重要且常用思想方法之一

高中数学中很多的实际问题可以运用这一思想方法进行函数关系的建立并运用函数概念及性质进行分析、转化并最终得以解决. 因此，对于学生来说，牢固掌握初等函数的图像与性质是学生应用此数学思想的基础，根据题意准确建立函数关系式是解决此类问题的关键. 当然，在此类思想方法的实践应用中，函数、方程以及不等式之间的相互联系与转化这些要点也是学生必须注意的.

例如，对于任意的实数x来说，a是多少时不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2恒成立？

思路：教师首先引导学生将原不等式尝试运用三角函数知识与换元法转化成一元二次不等式，在二次函数被顺利构造以后，教师再继续引导学生将此问题转化成求该函数的最值使此问题最终得到顺利解决.

具体过程如下：

设t=cosx，则有sin2x=1-t2，t∈[-1，1]，原不等式即可变成t2-2at+a2+2a-3>0在[-1，1]上恒成立这一问题. 令f（t）=t2-2at+a2+2a-3=（t-a）2+2a-3.

当a≤-1时， f（t）min=f（-1）=a2+4a-2；当-1

因此，题中a的取值应为以下不等式的解集：

a≤-1，

a2+4a-2>0，或-1

2a-3>0，或a≥1，

a2-2>0.

求得a<-2-或a>.

2. 数形结合是高中数学重要的解题思想方法之一

将抽象的数学语言和直观的图形语言相结合继而应用于数学问题的思考与解决是该思想方法的应用核心，在此类数学思想方法的应用中，“以形助数”与“以数助形”的应用往往能使问题简单而又具体，解题的优化也易于达成.

例如，有f（x）=-这样一个函数，求该函数的最大值.

分析：该问题的结构特征学生在解题中一般都能注意到，但是由于学生联想意识的欠缺，教师引导学生对题中数形、结构的特征审查与联想还是必须的.教师可以引导学生从根式向距离进行联想继而讨论出解决该问题的关键在于两个根式下的被开方式是否能被转化为平方和的形式. 通过一系列的拆凑，该函数可以转化成f（x）=-，用适当的语言对该函数进行如下表述：有A（3，2）和B（0，1）这样的两个点，请问点P（x，x2）到这两点之间距离之差的最大值是多少？

如果进一步将上述问题进行直观具体化表示，可以如图1所示：

根据A，B两点的位置可以知道，抛物线y=x2跟直线AB必然相交于第二象限的一个点，我们记作C，根据三角形中两边之差小于第三边这一性质我们可以知道，当点P与点C重合时，f（x）才有可能取到最大值AB，因此f（x）max=AB=.

[?] 思想方法教学在高中数学教学中所具备的教育价值

1. 对于学生良好数学认知结构的形成具有积极的助推作用

知识点的数量并不是良好数学知识建构的决定性内容，事实上，知识的内在关联、组织方式以及结构排列的层次及有序才是其更为重要的内容. 数学思想方法对于学生良好数学认知结构的形成以及各部分知识的关联与融合均有积极的助推作用.

2. 对于学生创新能力的培养具有积极的含义

数学思想方法在发现、分析、解决实际问题的过程中为学生的学习、思考、解题提供了策略性的知识和方向，使得学生在獲得知识的同时也体会并掌握知识发生、发展中所蕴含的思想方法，因此，对于学生创新能力的培养来说，数学思想方法具有无法替代的积极含义.

3. 对于学生数学学习能力的提高铺就了基石

学生只有在掌握了一定的数学思想方法以后才能使得自身数学能力的各个方面得以提高，因此，数学思想方法是学生数学能力发展提高的基础，它为学生数学能力提高以及思想方法之间的转化与变形铺就了成功的基石.

[?] 结束语

因此，高中数学教学中，教师积极帮助学生了解与构建数学思想是势在必行的，教师应遵循循序渐进的原则促使学生对于数学学科数学化与形式化特点的理解，并在此基础上形成扎实、科学的数学思维，从而促进学生具有自身思维特色的数学思想得以建立，最终使得学生数学学习的效率以及数学素养得以全面提高.