向量数量积解法的比较研究

[摘 要] 关于向量数量积的处理一般思路是转化和建系，而这两种处理方式也是高考常见的考点. 但在处理一类与线段中点相关的向量数量积时，又能以另外一种叫极化恒等式方式来处理. 这种新的处理方式与一般思路比较起来具有思路清晰的特点，同时又兼具简化计算的功能.

[关键词] 向量；数量积；极化恒等式

教研组活动是学校内同学科内为研究共同的教学问题而开展的活动，它不仅是教师展现专业能力的场所，更是促进教师专业能力发展的场所. 在教研组的活动过程中教师们通过讨论，交流而产生思维的火花，往往能够产生意想不到的结果. 本文所得即拜一次组内教研活动所赐，在对2016年江苏高考试题研读的过程中第13道填空题引起了大家对解法的讨论. 下文就交流的过程，几种处理方式的比较及个人的反思做一个简要的说明.

[?] 一道向量高考题解法的交流讨论

（2016江苏高考第13题）如图1在三角形ABC中，D是BC中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，·=-1，则·的值是多少？

教师1：对于这种问题通常是将待求量向已知量转化，由于待求的一组向量与已知的两组向量之间可以相互表示所以可以选择其中一组作为基底来表示其他两组.·=（+）（+）=·+32=-1+32，所以问题就转化成求解2.·=（+）（+）=·+22. 又FA=2FE，所以·=-1+82=4，所以2=，故而·=.

[F][A][B][C][D][E][y][x]

图2

教师2：转化除了可以选择已知向量作基底，亦可选择与已知向量、待求向量均相关的向量作基底，以这组基底作为桥梁解决问题，本题中可选和作为基底. 因为=3，=2，=-，所以·=（+）（+）=-2+42，同理·=-2+92=4记为①式，·=-2+2=-1记作②式，两式联立可得2=，2=，因此·=.

教师3：不知道有没有哪位老师考虑建系能做吗？

教师2：这可能不可以吧？建系得有特殊角或对称特性才能用啊？

教师1：未必，如果以D为原点建系，由于存在等分关系，故只设出A和C的坐标即可表示所有坐标. 若设A（3a，3b），C（c，0），则E（2a，2b），F（a，b），B（-c，0）.所以待求数量积为·=4a2+4b2-c2. 由已知数量积可知：·=a2+b2-c2=-1，·=9a2+9b2-c2=4，可得a2+b2=，c2=. 所以·=.

教师4：这道题存在中点符合极化恒等式的三角形模型，可以利用三次极化恒等式求解.

·=[（+）2-（-）2]=42-2，同理·=92-2，·=2-2，结合已知条件可得2=，2=，所以·=.

[?] 关于向量数量积解法的比较研究

向量的数量积一直是高考命题的重点，常作为填空的压轴出现. 根据上述处理过程不难发现处理向量数量积的问题大致可归结到三个方向：其一，转化，即将待求向量数量积转化成已知向量的数量积来表示；其二，建系，即利用坐标表示待求向量，再进行向量数量积的坐标运算；其三，利用极化恒等式这一技巧将向量数量积转化成向量长度解决. 透过上述解题过程大致可以从解法的本质、思维和计算的复杂程度两个方面对其进行比较.

首先，从解法的本质上看，转化在本质上是几何方法，而建系和极化恒等式在本质上应当属于代数方法. 需要明确的是向量虽然有代数特性，但本质上是几何量，所以向量数量积的定义解法应当是几何解法. 转化利用基底作为桥梁，其最终的表达形式是将待求一组向量数量积变成另外一组能求解的向量数量积，起核心作用的仍然是向量数量积的定义表达式，所以转化的解法的本质是几何法. 转化建系通过建坐标系，将所有的几何元素代数化，从而将待求向量数量积转变为坐标乘积的代数问题，所以建系做法的本质是代数法. 极化恒等式是代数法的另一种表现，透过极化恒等式的公式a·b=[（a+b）2-（a-b）2]不难发现，利用这一中介可以将数量积这个既具长度又具角度元素的问题变成仅具长度的问题，所以其本质也是代数法.

其次，从思维和计算的复杂程度看，极化恒等式无论是思维还是计算均有一定的优势. 直观上看来，极化恒等式的思维程度是最浅的，因为极化恒等式的表达很直白就是寻找待求数量积的两个向量的和、差向量；而转化方法的思维运算应当是最复杂的，因为基底的选择是多样的，往往不是那么直白，这就带来哪组基底才能解决困境的选择，这是需要学生动脑思考的；同样建系也需要学生考虑将坐标原点建在哪个位置才能更好地描写坐标. 在计算的复杂程度可以从计算涉及的运算元素窥见，极化恒等式涉及的计算元素仅是和、差向量的模长；转化涉及的运算元素不仅包含模长，更有三角函数的计算；而建系法的运算元素主要是坐标，而坐标的确定是一个运算较多的内容. 透過上面的比较不难发现，极化恒等式相对于转化和建系，无论是在思维还是在计算上均有一定的优势. 当然这种优势也并非绝对的，因为利用极化恒等式是需要平行四边形模型或三角型模型的，若问题情境中不存在这样的条件，需要学生创造时，其思维的难度就加大了.

[?] 关于向量数量积求解的个人反思

转化、建系和极化恒等式均可作为解决向量数量积的手段. 每一个方法均有其本质，转化的本质即将待求向量基底化；建系的本质是将待求向量坐标化；而极化恒等式的本质是将待求向量数量积长度化.

通常利用转化求解向量数量积有2个可供思考的方向：其一，将待求向量数量积向已知向量去转化；其二，将待求向量和已知向量均向与它们有共同联系的一组基底转化，以这组公共基底作为桥梁解决问题. 正如2016年的这道高考题一样，笔者可将待求的和向已知的，或，转化，亦可将已知的和待求的向量均向，这一与它们均有联系的基底转化. 但无论哪个方向，它们均有一个共同的本质，即将待求向量基底化，所不同的是转化时所选取的具体基底不同而已.

对于建系解决向量数量积，一般情况下人们都认为只有在问题情境中存在着特殊角度或存在对称图形时才可以利用建系来解决，因为有特殊角度时有利于各个点的坐标计算. 但是通过这道高考题可以打破这个思维的习惯，即不必再死抱着特殊角度这一观念，当存着等分点时亦可大胆地利用构建坐标系的方法解决. 同样的无论是哪一种情况下利用建系来处理数量积问题，它总是借助坐标系将待求向量坐标化，所不同的是在特殊角度的情境下书写坐标是借助角度的数量关系，而在等分点的问题情境下书写坐标是借助线段比例.

对于极化恒等式而言，有些教师认为这种技巧性的解法必须满足①共起点②存在中点或等分点这样的前提条件. 他们认为这是由极化恒等式的平行四边形或三角形模型所决定的，并且很多问题情境中的确存在着这样的特点. 笔者认为这样的看法似乎有些保守. 就江苏这道高考题而言，我们三次利用极化恒等式均未满足共起点这个条件. 因为就向量的可平移性而言任意两个不共起点的向量均可通过平移后共起点. 而对于第二问题就更不必担心了，当我们需要中点时完全可以根据问题的要求来构造中点，以达到辅助解题的目的，更何况有些情境下根本就不需要中点. 笔者认为问题的关键不在于是否存在中点或共起点，而是让学生关注极化恒等式的本质，即将向量数量积用线段的长度来表示.