解析式y=kx+b与x=my+a的比较研究

杨爱萍

[摘 要] 直线的解析式常以y=kx+b的形式出现，但它不能表示斜率不存在的直线.由它可引申出形如x=my+a的直线解析式，它可以表示斜率不存在的直线，但它不能表示斜率为0的直线. 因此，当我们确定问题情境中的直线斜率不为0时，可用x=my+a来表示直线，避免问题解决过程中的分类讨论、降低计算的复杂程度.

[关键词] 坐

众所周知，解析几何中的直线解析式通常以斜截式y=kx+b的形式出现，在具体运用中一定要考虑到斜率是否存在，因此需要对直线进行分情况讨论. 考察学生的解决过程可以发现学生有这样一种解题惯性：拿到问题就设直线方程为y=kx+b，从不考虑直线斜率是否存在的情况. 从而易造成漏解的情况，在这种情况了诞生了形如x=my+a的直线解析式.

[?] 理论分析：x=my+a的相关内容解析

以斜截式为例，当直线斜率不为0时，可以将y=kx+b作变形处理得到x=y-，令=m，-=a，可得到形如x=my+a的解析式，根据高等数学中极限的内容可知：当k→∞时，即=0，因此x=my+a的解析式可以表示斜率不存在的直线.但同时它也存在着自身的缺点，根据极限可知当k→0时，即→∞，即m→∞，因此它不能表示斜率为0的直线. 在x=my+a的解析中参数m代表着直线斜率的倒数，是斜率的一种表示方式；参数a代表直线在x轴上的截距. 因此，当问题情境中出现“直线在x轴上的截距为a或直线过（a，0）”时，我们可以考虑设直线解析式为x=my+a. 除了斜截式的设法外，此种解析式也有点斜式的设法. 当问题情境中出现“直线过某点A（x0，y0）”时可设直线方程为x-x0=m（y-y0），一种特殊的情形是当某点为（0，y0），直线方程可以表示成x=m（y-y0）的形式.

在實际的解题运用这种特殊设法的过程中可以将普通形式中的相关结论迁移到这种形式上. 例如普通形式中当l1和l2平行时有结论k1=k2，则在特殊形式中有m1=m2；普通形式中当l1和l2垂直时有结论k1k2=-1，在特殊形式中亦有m1m2=-1. 利用这些结论可以在已知直线位置关系时，由一条直线的方程轻松写出另一直线的方程. 再比如普通形式中有弦长公式AB=

x1-x2

=

y1-y2

，而在特殊形式中弦长公式的表示如下：AB=

y1-y2

=

x1-x2

.

[?] 实践操作：x=my+a和y=kx+ b的比较研究

例（大丰区某中学高二期中）在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1（a>b>0）的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. （1）求椭圆标准方程；（2）椭圆C的右焦点为F，过F的两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点，求TF∶PQ的取值范围.

解：（1）略+=1.

（2）法一（设x=my+a）：根据 “直线l2与直线x=4交于T点”可知l2一定不垂直于x轴，所以l1的斜率一定不为0，可设直线l1方程为x=my+1，将其代入椭圆方程+=1，消去x可得关于y的一元二次议程（3m2+4）y2+6my-9=0. 由根与系数关系可知y1+y2=-，y1y2=-，再弦长公式可推导出PQ=

y1-y2

==12；l2方程可表示为y=-m（x-1），令x=4，则y=-3m，所以TF==3，所以=3·=

3+

. 令=t（t≥1），所以=

3t+

，根据函数单调性可知3t+在[1，+∞）上单调增，所以

min=1，即的取值范围为[1，+∞）；

法二（设y=kx+b）：①当l1垂直于x轴时，PQ为椭圆通径其长度为3，此时l2在x轴上TF的长度为3，所以TF∶PQ=1；②当l1不垂直于x轴时，设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为-，所以直线l1的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，整理后可得一元二次方程（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2=，x1x2=. 根据弦长公式可知：PQ=·=，l2的方程为y=-（x-1），令x=4，则y=-，所以TF==3，所以=，化简后可得=·=

+

. 令=t（t>1），换元后原式变为=

3t+

. 由于3t+在（1，+∞）上单调增，所以>1，即的取值范围为（1，+∞），综合①②可知的取值范围为[1，+∞）.

对比以上两种解法可以发现，设形如x=my+a的解析式在计算复杂程度和规避错误风险两个方面有明显的优势. 首先，就计算复杂程度而言，从两者消元后所得方程的复杂度就可窥见哪一种方法的计算难度更大了，因为消元后的方程复杂程度就决定着利用根与系数关系和弦长公式求解弦长表达式的难易. 通过比较不难发现利用x=my+a化简后的表达式（3m2+4）y2+6my-9=0显然更为简洁.因此利用x=my+a求解在计算复杂程度上更胜一筹. 其次，就规避错误而言，在利用y=kx+b解决问题时，学生在思维上存在着一定的惯性，即拿到问题就直接设直线方程为y=k（x-1），他们往往不会去思考斜率不存在的情况，从而造成本题的漏解，而在利用x=my+a时可以避免讨论斜率不存在的情况（当然前提是能确定直线斜率不为0，而在考虑斜率不存在与斜率为0的问题上，学生更易忽略的是斜率不存在的情况）. 综上所述，我们可以认为形如x=my+a的解析式是由y=kx+b通过变形而来，但却有着避免分类讨论和降低计算复杂程度的功用.