值得商榷的三次函数零点的一组重要结论

雷波

[摘 要] 陕西省西安铁一中刘康宁老师在《中学数学教学参考》2014年第4期（上旬）上发表的《三次函数零点的一组重要结论》一文，文中提出了三次函数零点的13个结论和1个推论，但其中的部分结论值得商榷，本文对值得商榷的部分结论给出了剖析和修正.

[关键词] 三次函数；结论；商榷；剖析；修正

陕西省西安铁一中刘康宁老师的《三次函数零点的一组重要结论》一文中，针对函数f（x）=x3+ax2+bx+c的零点提出了13个结论和1个推论，笔者通过对这些结论和推论的反复研读，认为该文中的结论2、结论3、推论、结论4、结论5、结论6的必要性成立，而充分性都不成立.

由于篇幅的原因，现只对该文中的结论2、结论3的证明给予剖析并对这些结论给出修正，而对于推论、结论4、结论5、结论6的剖析和修正可参照本文剖析和修正.

为了行文方便，先列出原文中的说明和结论1.

若不加说明，系数a，b，c均为实数.

结论1：函数f（x）=x3+ax2+bx+c至少有一个零点.

结论2：函数f（x）=x3+ax2+bx+c有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.

原文证明：由结论1知f（x）至少有一个零点，不妨设x0是函数f（x）的零点，则

f（x）=（x-x3）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b].

从而，函数f（x）有三个零点的充要条件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有两个实根，则关于x的二次方程的判别式Δx=（x0+a）2-4（x+ax0+b）≥0.

即3x+2ax0-a2+4b≤0.①

关于x0的二次不等式①有实数解的充要条件是Δ=4a2-12（-a2+4b）≥0，即a2-3b≥0.

故函數f（x）有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.

剖析：当a=b=0时，显然满足a2-3b≥0，但此时函数f（x）=x3+c只有一个零点；

当a=c=0，b=-1时，显然满足a2-3b≥0，但此时函数f（x）=x3-x2=x2（x-1）只有两个零点.

那么问题出在什么地方？在上述原文的证明过程中，我们不难发现：

“函数f（x）有三个零点的充要条件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有两个实根”是不成立的.现举特例说明如下：

设a=-x0，b=-x，则方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0变为方程x2-x=0，

而方程x2-x=0有两个实根都是x0和-x0.

所以方程（x-x0）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b]=0有三个实根，但有两个实根都是x0，另一个实根是-x0.

所以，此时的函数f（x）=（x-x0）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b]只有两个零点x0和-x0.

所以“函数f（x）有三个零点的充要条件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有两个实根”是不成立的.

从上面证明可以看出，方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有两个实根只能是函数f（x）有三个零点的必要条件，而非充分条件.

修正：函数f（x）=x3+ax2+bx+c有三个零点的必要条件是a2-3b>0.

结论3：若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有三个零点，则这三个零点均为正数的充要条件是a<0，b>0，c<0，且a2-3b≥0.

原文证明：由结论2知函数f（x）有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.

设函数f（x）的三个零点为x1，x2，x3，则

x1+x2+x3=-a，

x1x2+x2x3+x3x1=b，

x1x2x3=-c.②

下面证明x1，x2，x3>0的充要条件是a<0，b>0，c<0.

由②知，必要性是显然的，下面用反证法证明其充性.

假设x1，x2，x3不全大于0，则由x1x2x3=-c>0知x1，x2，x3必为一正两负. 不妨设x1>0，x2<0，x3<0，由x1+x2+x3=-a>0，得x1>-（x2+x3）>0. 于是

b=x2x3+x1（x2+x3）

这与b>0矛盾，故充分性得证. 综上所述，结论成立.

剖析：首先其证明的第一步就使用了充分性不成立的结论2：函数f（x）有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.

由上对结论2的修正知，a2-3b>0只能是函数f（x）有三个零点的必要条件. 因此在此条件下，函数f（x）不一定有三个零点. 所以证明过程中：“x1，x2，x3>0的充要条件是a<0，b>0，c<0”也是不成立的.其证明也是错误的.我们用特例说明如下：

取a=-4<0，b=5>0，c=-6<0，则函数f（x）=x3-4x2+5x-6，

即f（x）=（x-3）（x2-x+2），显然函数f（x）=x3-4x2+5x-6只有一个零点，

其方程（x-3）（x2-x+2）=0也只有一个实根，另两根是虚根.

因为虚根是没有正负，也不能比较大小的，所以原文用反证法证明其充分性中，假设x1，x2，x3不全大于0，以及由x1x2x3=-c>0知x1，x2，x3必为一正两负. 不妨设x1>0，x2<0，x3<0，都是不成立的.

修正：若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有三个零点，则这三个零点均为正数的必要条件是a<0，b>0，c<0，且a2-3b≥0.