图像压缩感知中自适应二维投影梯度重构算法

万成宏 杨春玲 和志杰

(华南理工大学电子与信息学院，广州，510640)

图像压缩感知中自适应二维投影梯度重构算法

万成宏 杨春玲 和志杰

(华南理工大学电子与信息学院，广州，510640)

二维图像的压缩感知及重构大多利用一维信号压缩感知及重构方法实现，导致图像重构效率较低，重构算法复杂度高等缺点。二维随机投影及二维投影梯度重构算法有效地解决了这一问题。但在二维投影梯度重构算法中，不同图像不同采样率的重构中采用相同滤波阈值参数η的方案会降低图像重构质量。本文结合二维图像信号的纹理特性，提出了自适应二维投影梯度重构算法，该算法提出了一种双变量收缩阈值参数η在迭代重构过程中基于图像纹理信息的自适应计算公式。实验结果表明，自适应二维投影梯度重构算法比二维投影梯度重构算法在重构质量和视觉效果上都有所提升。

二维随机投影；纹理特性；双变量收缩；自适应

引 言

21世纪初由Donoho等提出的压缩感知理论[1](Compressive sensing， CS)打破了传统奈奎斯特采样率必须高于两倍信号带宽的限制，从而有效降低了信号采集系统的复杂性。压缩感知理论的核心思想是将高维信号通过不相干的测量矩阵投影到低维空间上，利用信号在变换域上的稀疏性，通过非线性重构算法恢复原信号。压缩感知应用的领域广泛，如图像压缩感知[2]、视频压缩感知[3]和语音压缩感知[4]等。构造鲁棒性能高、恢复效果好的重构算法一直是压缩感知理论研究的核心问题。压缩感知及重构算法的研究始于一维信号压缩感知，CS重构算法主要包括凸优化算法和贪婪迭代算法。凸优化算法通过最小化目标函数的l1范数重构原信号，如基追踪法[5]、梯度投影法[6](Gradient projection for sparse reconstruction，GPSR)等。贪婪算法直接求解l0范数最小化问题来重构原信号，其中包括正交匹配追踪算法[7]、改进的SL0算法[8]等。对二维图像信号压缩感知的研究，一般转化为一维信号的压缩感知来实现。目前基于该思路的最优算法是文献[9, 10]提出的分块压缩感知算法，通过将二维信号分割成若干大小相同的子块进行一维采样和重构。但是基于分块处理的方法破坏了二维图像原有的整体结构信息，降低了重构质量。为了保留图像原有的结构特性，文献[11]提出了二维观测模型，Eftekhari在此基础上进一步阐述了二维随机投影[12]的理念。

二维观测模型下的压缩感知在观测端通过两个独立不相干的测量矩阵对信号行、列同时进行观测，重构端将信号作为一个整体进行处理，在充分保留信号纹理信息的前提下利用系数之间的相关性得到更优的重构信号。基于二维观测的压缩感知重构算法有：二维平滑零范数[13](Modified from smoothed l0，2DSl0)算法，二维正交匹配追踪[14](2D orthogonal matching pursuit，2DOMP)算法，二维子空间追踪[15](2-Dimensional measurement model space pursuit，2DMMSP)算法。2DSl0是一种快速重构的二维压缩感知算法，但是重构质量较差。2DOMP继承了OMP的重构方式通过选取字典中的最优矩阵原子重构原信号，但二维矩阵形式的原子增加了计算机存储的负担，降低了图像重构效率；由一维子空间追踪算法衍生得到的2DMMSP还处于算法研究阶段，并没有应用于实际图像的压缩感知。在二维观测模型下,文献[16]提出的二维投影梯度算法(2-Dimensional projected gradient，2DPG)是目前性能最好的压缩感知图像重构算法。2DPG算法采用全变差的梯度下降和双变量收缩[17- 18]交替迭代求解得到重构信号。与一维压缩感知重构算法相比，2DPG算法更好地保留了图像的细节信息，在快速重构信号的同时保证了图像的高质量重构。研究发现，在2DPG算法双变量收缩过程中，阈值对滤波结果有很大的影响，阈值过大导致图像丢失过多细节信息，阈值过小导致噪声难以滤除。本文基于2DPG算法，结合图像信号的纹理特性，提出了一种自适应二维投影梯度(Adaptive two-dimensional projected gradient，A-2DPG)算法，其中双变量收缩阈值参数在迭代过程中根据图像信号的特征自适应生成，随着迭代过程的深入，最终趋于稳定。

1 图像二维压缩感知与投影重构算法

对图像压缩感知的研究最早是基于一维信号压缩感知实现的，即在测量投影过程中将图像信号进行一维向量化处理，但这一操作会破坏图像块之间原有的结构相关性，不利于高质量重构。2DPG算法基于二维观测的重构算法，即利用两个不相关的测量矩阵对图像信号行和列同时观测，其表示为

Y=AXBT

(1)

式中：X为N1×N2维的图像信号，A和B分别为M1×N1和M2×N2维的测量矩阵，Y为M1×M2的观测信号。2DPG算法的二维观测过程很好地保留了图像信号的结构相关性，有利于提高图像的重构质量。在重构端，2DPG算法解决了一个受约束最优化的问题，则

(2)

在一定条件下式(2)可以转变成求解受约束最小线性二乘的问题，则

(3)

(1)图像的全变差

对于一幅大小为N1×N2的图像，其局部导数定义为

(4)

(5)

式中：Xi,j为图像第i行，第j列对应点的像素值；式(4)和式(5)分别表示图像垂直方向和水平方向上的局部导数。一副自然图像通常包含丰富的纹理信息和复杂的细节，全变差[19]很好地诠释了图像的纹理复杂程度。纹理信息越复杂的图像对应全变差系数值越大，定义为

(6)

(2)图像小波域的双变量收缩

自然图像的小波系数有很强的相关性，利用相邻尺度父子小波的相关性并结合贝叶斯最大后验估计理论得到双变量收缩模型为

(7)

(3)二维投影梯度重构算法

2DPG算法通过全变差梯度下降、双变量阈值收缩和超平面投影3步迭代实现图像信号的重构，过程如下：

(1)初始化。初始化迭代参数λ，η，X0=AΓY(BΓ)T；其中，AΓ=AT(AAT)-1和BΓ=BT(BBT)-1分别表示测量矩阵A、B的伪逆。

(5)迭代更新。检测迭代停止条件‖Xn-Xn-1‖F≤ε0或n>C0，若满足条件则停止迭代，不满足则返回步骤(2)，重复步骤(2)～(5)的过程。上述算法步骤(3)中，图像稀疏化过程是基于双变量收缩完成的，式(7)给出了双变量收缩函数的表达公式。在2DPG算法中阈值参数η取常量的方式忽略了阈值对图像重构质量的影响。在研究中发现，阈值参数η取值过大会导致信号在重构过程损失过多的图像细节信息；阈值参数η取值过小则保留了过多的噪声。基于上述考虑，本文提出了A-2DPG,该算法根据图像的特性，在重构过程中自适应选取双变量收缩阈值参数η，从而进一步提高图像的重构质量。

2 基于高频小波系数的自适应二维投影梯度重构算法

2.1 改进算法依据

对于图像重构质量的评价，通常利用峰值信噪比(Peak signal to noise ratio，PSNR)来表示，其单位为dB，对应公式表达为

(8)

2.2 自适应2DPG

本文在2DPG算法基础上提出一种自适应阈值计算公式，从而得到A-2DPG。A-2DPG算法中阈值计算分为：(1)去噪阶段，使用较大阈值去除信号中噪声，尽快得到低噪声重构图像。(2)平稳阶段，选取较小阈值得到高质量重构图像。在A-2DPG算法中，阈值参数η的计算公式为

(9)

3 仿真结果与分析

3.1 仿真条件

本实验用4副512×512具有不同复杂程度的标准灰度图像作为测试图像，实验图像如图3所示，分别为人物图像Lena和Barbara，动物图像Baboon， 植物图像Peppers。其中Barbara和Baboon图像的纹理信息比Lena和Peppers要丰富。本实验给出的对比算法有：原2DPG算法[16]，基于DDWT的分块压缩感知平滑landweber摄影重构算法(Block-based CS sampling and smoothed-projected landweber reconstruction algorithm based dual-tree discrete waelet transform, BCS-SPL-DDWT)[9]算法以及GPSR[6]算法。观测矩阵采用随机高斯矩阵，除GPSR算法以外其他算法都采用双树复小波基作为稀疏基。在双变量收缩中，使用正负系数共同重构信号，在参数的设置上，2DPG算法和A-2DPG算法迭代停止条件与BSC-SPL-DDWT算法的迭代停止条件一致，即

(10)

图3 标准测试图像Fig.3 Standard test image

参数和文献[16]相同，即ε0取10-5，算法最大迭代次数为200次，λ设置为0.8，η设置为15。在A-2DPG算法中除阈值外，其余参数设置也同文献[16]；GPSR和BCS-SPL-DDWT算法中的分块大小设置为16×16；平滑landweber投影(Smoothed projected landweber, SPL)算法中的最大迭代次数设定200次。结果均为每个算法独立运行5次后的平均值。实验在MATLAB2014a环境下完成，计算机的CPU为Intel core i5 2.80GHz，内存大小为4 GB。

3.2 仿真结果

用3.1节的4幅图像及4种CS重构算法，对比验证本文提出的A-2DPG算法的整体性能。图4展示了Lena，Baboon，Barbara，Peppers 4幅图像在采样率分别为0.3，0.4，0.5和0.6时4种算法的重构质量曲线图。由于采样率变化范围较大，实验还验证了各算法的鲁棒性。由图4可以看出，相比于其他几种重构算法，本文提出的A-2DPG算法获得了最好的重构质量。和原2DPG算法相比，图像的重构质量也有明显的提升。对于纹理复杂的图像，性能改善尤其显著，图4(a)中采样率为0.3时A-2DPG比2DPG算法性能要好2.5 dB左右。对于纹理简单的图像，2DPG和A-2DPG算法的重构质量在低采样时相差不大，但是随着采样率不断提升，A-2DPG算法相比于2DPG算法性能提升逐渐明显。由图4(c)和图4(d)的数据看出，在采样率SR=0.3时重构质量基本相同，但在采样率SR=0.6时A-2DPG比2DPG算法重构质量好0.3～0.5 dB。其主要原因是2DPG算法的阈值参数η随采样率的增大而偏离最优重构阈值参数η，从而导致两个算法重构质量差异逐渐明显。表1给出了4种算法在采样率为0.3,0.5时各自重构图像的PSNR值。对比表1中4种算法重构质量可以看出，相比于2DPG算法，A-2DPG算法在两种采样率下PSNR值都有所提高，对于纹理信息复杂的图像，改善性能更加显著。在采样率SR=0.5时，对于Barbara图像，A-2DPG算法比2DPG算法的PSNR值提高了2.8 dB，Baboon图像PSNR值也提高了1.2 dB，但是对于纹理简单的Lena和Peppers图像，PSNR最多只提高了0.4 dB。图5是Barbara图像在采样率SR=0.5时，各算法重构视觉效果的对比图。A-2DPG算法相比于2DPG算

图4 不同算法重构质量比较Fig.4 Comparison of reconstruction quality by different algorithms

图像重构算法采样率SR=0.3采样率SR=0.5Barbara图像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法25.405725.072926.380128.964328.214528.696830.693833.5378Baboon图像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法21.222223.056522.493022.620523.200925.311624.663025.9067Lena图像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法29.161032.928335.285635.264032.844636.542838.329138.5769Peppers图像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法28.901633.638434.882034.982632.586636.356937.400377808

图5 Barbara图像重构质量对比(采样率为0.5) Fig.5 Comparison of reconstruction quality for Barbara (sampling rate 0.5)

法纹理更清晰，BCS-SPL算法对Barbara中纹理简单的图像块重构质量尚佳，但是对腿脚纹理较复杂部分的重构却存在很多毛刺，而GPSR算法重构的图像在视觉上比较模糊。因此无论从重构的PSNR值还是重构图像的视觉效果，A-2DPG算法都要优于其他3种算法。A-2DPG算法利用阈值参数η的自适应变化策略使图像具有更好的重构质量。

4 结束语

二维观测是一种新的图像压缩感知观测模型，相较于一维观测，二维观测可以很好地保留二维图像的整体结构信息。基于图像的不同纹理复杂度，本文在二维观测模型框架下提出了阈值自适应变化的A-2DPG。在重构过程中，首先使用较大阈值去除信号中噪声，尽快得到低噪声重构图像；然后选取较小阈值精细化重构，得到高质量的重构图像。仿真结果表明，A-2DPG算法比其他3种算法在重构质量上均有所提升，且随着采样率的增大，重构质量的提升更加明显。然而二维观测现今仍处于初步研究阶段，尽管A-2DPG算法相比于其他重构算法在重构质量上有所提高，但仍存在有待深入研究之处，如梯度下降过程中迭代步长对算法的影响等。此外，本文并未对压缩感知中观测矩阵的构造、稀疏字典的选取两个重要问题作更多讨论，然而它们也是决定最终重构质量的关键因素，需要进一步研究。

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Adaptive Two-Dimensional Projected Gradient Algorithm for Compressed Image Sensing

Wan Chenghong, Yang Chunling, He Zhijie

(School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou, 510640, China)

Most of existing two-dimensional compressed sensing and reconstruction methods for images are complemented by utilizing one-dimensional signals compressed sensing and reconstruction algorithms, which is inefficient and increases memory requirements. Two-dimensional random projection theory and two-dimensional projected gradient algorithm can overcome these disadvantages. However, fixed threshold parameter used in two-dimensional projected gradient algorithm for different images at different sampling rate may lead to poor reconstruction quality. Here, we propose an adaptive two-dimensional projected gradient algorithm based on image texture property. The parameterηof bivariate shrinkage is calculated according to image texture information during the iterative reconstruction process. Experimental results show that compared with two-dimensional projected gradient algorithm, the proposed adaptive two-dimension projected gradient algorithm provides superior performance on both the image reconstruction quality and visual effect.

two-dimensional random projection；texture property；bivariate shrinkage；self-adaptation

国家自然科学基金(61471173)资助项目；广东省自然科学基金(2016A030313455)资助项目。

2015-07-01；

2016-06-22

TN911．7

A

万成宏(1991-)，男，硕士研究生，研究方向：图像压缩感知，E-mail：1126258999@qq.com。

杨春玲(1970-)，女，教授，博士生导师，研究方向：图像/视频压缩。

和志杰(1990-)，男，硕士研究生，研究方向：视频压缩感知。