例谈初中数学中构图法的应用

祝捷

数学家G·波利亚曾说过：“画一个假设图形，假设它的各个部分都满足题目条件，也许是迈出解题的重要一步。”初中平面几何图形的丰富变化，为我们“图解”各类问题提供了无限可能。把一个具体数学问题图形化，然后借助新的几何模型进行求解的方法，叫做构图法。作为一种特殊的技巧，构图法在初中数学解题中有着广泛的应用。

一、借助数轴构图

例1 求 的最小值

析： 的含义为数轴上表示x的点到表示-2和4两点的距离之和。

解：画出数轴：

为使AP+PB最小，显然点P在线段AB上。

故 时，原式值最小为6。

变式 求 的最小值

解：画出数轴：

即在数轴上求一点P，使2PA+PB+3PC最小。

显然点P在线段AC上。

∴2PA+PB+3PC=2（PA+PC）+PB+PC=2AC+PB+PC=14+PB+PC

为使PB+PC最小，显然点P在线段BC上。

∴2PA+PB+3PC==14+BC=15，即 时，原式值最小为15。

二、借助长方形或梯形构图

例2 利用几何图形证明平方差公式

证明：设正方形ABCD和CGFH的边长分别为a，b。

将图2-1中长方形EBGF剪下，拼到图2-2中DHPQ的位置，

则长方形AEPQ长为 ，宽为 。

由S正方形ABCD-S正方形CGFH=S四边形AEPQ，有 。

也可利用下面的图2-3和2-4进行证明。

三、借助直角三角形构图

例3 求 的最小值

析：显然 时才能有最小值，由根式的形式可联想勾股定理。

解：如图3，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=3，ED=2，连AE交BD于C，作EF∥BD交AB的延长线于F。

由作图得AF=5，EF=BD=12。

∴AE= ，即原式最小值为13。

例4 △PQR中，PQ、PR、QR的长分为 、 、 ，求△PQR面积

析：先画一个4×3的网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出△PQR，利用“割补法”计算面积。

解：由17=42+12，13=32+22，10=32+12，构图如图4。

∴S△PQR=

下面我们以例4为背景，借助构图法来做一次有趣的拓展。

问题（1） 如图5-1，一个六边形被分成7个部分，其中正方形PRBA、RQDC、QPFE的面积分别为13、10、17，求六边形ABCDEF的面积

析：先利用旋转变换证明 。

解：如图5-2，延长QP至点G，使GP=PQ，连GR

∵PRBA、QPFE为正方形

∴AP=RP，PQ=PF，∠GPF=∠APR=90°

∴∠GPF+∠APG=∠APR+∠APG，即∠APF=∠RPG

∵GP=PQ，PQ=PF

∴GP==PF

∴

∴

由GP=PQ，应有

∴ ，同理

∴S六边形ABCDEF=S正方形ABRP+S正方形CRQD+S正方形PQEF+S△APF+S△BRC+S△DQE+S△PQR

=13+10+17+4×5.5=62

问题（2） 在问题（1）的基础上，求六边形中AF的长

析：只要转求RG即可。这里我们可以借助平行四边形构图，利用平行四边形各个边的平方和等于两条对角线的平方和求解。

解：如图6，构造以GR、RQ为一组邻边的平行四边形GRQH。

设RG=x，则有 ，解得

所以AF=RG=

我们可以把问题（2）推广为一般情形：

问题（3） 如图7-1，设一个三角形三边长分别为 、 和 ，分别以 、 和 为边长向外作正方形 、 和 ；连接相应顶点，得线段 ，以 为边长向外作正方形 ；设正方形 、 和 的面积分别为 、 和 ，求正方形 的面积

解：构造平行四边形如图7-2，得 ，

即2（ ）=4 +4 ，解得S4=2S2+2S3-S1。

按照问题（3）的操作一直进行下去，我们可以得到一个“余弦树”（图7-3）。若正方形 的面积 ，则一定有Sn=2Sn-1+2Sn-2-Sn-3，其中 。

通过以上探索，我们可以归纳出图7-1中两个特殊结论。

结论（1） 正方形 、 、 和 所围成的两个三角形面积必相等

结论（2） 设正方形 、 、 和 的面积分别为 、 、 和 ，则必有

接下来我们将尝试应用以上结论。

通过上面的案例，我们不难看出：初中数学中的构图法解题，很好地体现了数形结合思想和转化思想。该方法在使用的广度和深度上，应该还具有很高的研究价值。我们不仅要在课堂外加强理论研修，更应在教学中关注此类方法的运用，让学生经历运用几何模型研究问題的过程，从而有效地把各种数学知识联系起来。