基本的数学活动核心经验新探索

王喜清

【摘 要】作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》“四基”内容之一的“基本数学活动经验”已提出多年。但目前诸文献对“基本数学活动经验”的概念解释不统一，致使一线教师对其概念理解出现困惑。从众家共同认识中找出基本的数学活动经验的核心成分，并从经验的感性和理性层面的视角入手，厘清“基本的数学活动核心经验”概念并与“四基”其他内容进行辨析，以利于教师教学中抓住基本的数学活动经验教学的核心目标。

【关键词】感性认识 理性认识 核心经验 基本的数学活动 迁移

基本数学活动经验已提出多年，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）将其列入“四基”内容之一。但目前对“基本的数学活动经验”的概念的解释却不统一，主要体现在对“经验”的内涵及外延的不同侧面的理解上。众人对经验的解释不统一，导致一些教师理不清基本的数学活动经验的本质特征以及和“四基”中其他内容的联系与区分，不能准确地把握对应的教学目标。本文试图从多数人对经验的共同认识中找出基本的数学活动经验的核心成分，从知识经验的感性及理性层面的视角入手，给出“基本的数学活动核心经验”概念，为一线教师对“基本的数学活动经验教学核心目标”的把握找到一个突破口。

一、个体的知识、经验及核心经验

知识，其一指个体大脑贮存的内容；其二指社会上流通的“知识”，即人类的知识。教师教学更关心的是学生如何建构出自身脑内知识的。本文谈的知识、经验等等，不指外在客观世界的内容，而指经过个体感知、体会或加工等贮存于个体脑内的内容。知识有广义和狭义之分，本文中个体的知识主要是指个体获得的狭义的知识，即陈述性知识。

（一）与经验相关的感性认识和理性认识

知识含感性知识（感性认识）和理性知识（理性认识）。感性认识含感觉、知觉和表象三种基本形式，看到的是事物的某些外部特征、外在联系或表面现象，看不到同类事物的共有的一般因素，看不到事物内在的本质特征或内在联系，人们常常将其称为感性经验。理性认识是揭示事物一般因素、本质因素的认识。所谓一般因素，指一类事物所共有的特征或联系等因素，但该因素也可能是与其他类事物共有的因素。如“内角是直角”是所有正方形具有的一般因素，但该因素所有矩形也都具有。所谓本质因素，指决定事物性质，建立与其他类事物的联系与区分的因素。如“矩形是内角为直角的平行四边形”，这是矩形的本质因素，其他平行四边形不具备。又如认识了圆的面积公式，而能将其与圆周长公式等其他公式严格区分，则认识了圆的面积公式的本质。

1.直观中获得的感性认识

从认识活动角度看，直观是不经过中间环节而直接接触实际事物的感性认识（感觉、知觉、日常概念、观念等）过程。直观是在刺激物（实物、模像和语言等）直接作用下发生的，获得的感性认识与实际事物联系较为直接。直观活动中，除含感知成分外，还含想象、初步的思维和记忆成分，但没经过进一步的理性思维加工。直观活动是直接认识事物的外部表征与外在联系的活动，它一般是领会抽象的科学知识的起点。直观主要含实物直观、模像直观与言语直观。如看到一个现象，听到一个人说话，看到面前事物间的表面关系等，这些都属于人们常说的“感性经验”层面。

2.对直观感性认识的感性概括

在感性认识中，不仅含直观获得的感性经验，还含对这些直观的感性经验的感性概括。所谓感性概括，是大脑对直观事物的直觉概括，是对事物的外部联系的概括，是对事物的表面特征的概括。该概括没经历理性思考的过程，不能认识事物的内在联系、内在规律和独自的本质特征。比如，幼儿通过观察生活中的各种具体的长方形，概括出“方形”概念，但说不清“确定方形的标准到底是什么”。这种感性概括的结果，也隶属于我们生活中常说的“经验”，由于它是概括而得，故与直观相比，强化了迁移因素。

感性概括有时会得到错误结论。其一，有时所概括出的特征不具一般性。如学生看到的矩形相邻的边都是一长一短，就认为这是所有矩形共有的一般性特征，从而将正方形排除在矩形之外。其二，有时所概括的不是本质特征。如学生看到所有正方形的对角线相等，故概括出对角线相等的方形是正方形。但这不是正方形区分其他图形的本质特征。尽管感性认识并没有真正认识到事物的本质及内在规律，所获得的经验可能是正确的，也可能是错误的，但感性认识是理性认识的窗口，没有感性认识，理性认识一般无法开始。

3.没经过严格推理过程的初步的理性认识

以感性认识为基础，主体可透过表面认识，进入初步的理性认识阶段，发现事物一般性的特征及内在的本质性联系。但此时认识只处于简单说理或感悟层面，只是经历了类比推理或不完全归纳推理或不严谨的演绎推理的过程，其认识不一定严谨。生活中所说的“经验”，大多指这些。如一些学生认识到所有正方形共有的一般性特征和内在本质特征：邻边相等的长方形，對角线相互垂直且相等，四角是直角且邻边相等……但这些往往是不完全归纳概括得到的对其本质的感悟，至于为何这些结论是正确的，没经历完全归纳或严格的演绎推理证明过程。与“感性概括相比”“初步的理性认识”迁移因素更强，它是通向严谨层面的理性认识的中介。特别是学生解题实践中总结出的解题策略，大多属于该层面的认识。

4.经历严格推理验证得到的理性认识

此时获得的本质认识或是通过严格的演绎推理得到证明的，或是通过完全归纳推理等得到证明的。如小学生通过将圆形纸片剪裁开拼补成近似长方形，由此得到圆面积公式。这里对圆面积公式的认识，经历了演绎推理证明过程，在该过程中厘清了圆面积公式是对所有圆都适用的公式，厘清了圆面积公式的内在本质特征及与长方形面积公式的联系（该证明虽然不是标准规范的逻辑证明，但对小学生来说，确实经历了严谨的演绎推理的理性思考）。此时获得的已经不是浅层的理性认识了，而是深层的理性知识经验了。

（二）核心经验的概念endprint

人们日常生活中常说的“经验”，大多指已经获得的没经过严格证明的且能在以后不同情境运用的具有模式化的认识。本文以前面知识经验的不同层面的讨论为基础，给出中小学生核心经验的概念：

中小学生对直观的感性概括形成的感性认识和没经过严格的推理过程形成的理性认识，如果这些认识具有模式化和迁移性，则统称为“中小学生核心经验”，简称“核心经验”。

这里的核心经验，第一，是个体大脑储存的认识；第二，是感性概括化认识和仅仅处于感悟、说理层面的初步的理性认识；第三，这种认识基本可用自己的语言表述，主要隶属于陈述性知识；第四，这种认识具有模式化和迁移性，能应用于不同情境。

核心经验是对客观事物的浅层概括化认识，且是广义经验的核心部分。尽管众人对经验的解释不同，但笔者给出的“核心经验”，是大多数人的共同认识的核心内容。核心经验是形成深层知识的基础，对核心经验进行进一步理性加工后，则形成深层的知识经验。

从经验的内容不同，核心经验可划分为思维方法模式化认识和非思维方法模式化认识。所谓思维方法模式化认识，即数学思想方法中的具体方法认识的经验层面。如面对具体问题，能找到具体的、可陈述的解题方法或技巧，则获得了思维方法模式类核心经验。而像对概念、公式、命题等认识及辨析等经验，属于非思维方法性认识。如学生知道了0.1元代表1角，0.2元代表2角（还不知道其原理），则是获得了非思维方法模式化核心经验。这两类经验都是和学生日常学习息息相关的。

二、基本的数学活动核心经验

（一）中小学生基本的数学活动

中小学生的基本数学活动，是中小学生水平下的数学实践活动。《课标》中与经验配套的基本的数学活动，是对中小学生学习专门提出的。关于基本的数学活动，张奠宙、史宁中等专家均有精辟论述（详细见参考文献[1][2]）。根据个人的理解，其特征摘要如下。

（1）基本的数学活动必须是以探究数学问题为目标的活动。如果一个活动仅仅是和数学相关但不作为目标，通过活动获得的经验是不含数学内容的生活经验，则不属于基本数学活动。

（2）基本的数学活动是以中小学数学知识学习为背景，与学生生活或生活经验直接联系的数学学习实践活动。活动内容不是多次抽象得到的远离生活的数学内容。活动中，学生亲历外部世界，从生活中抽象出数学，进而形式化；或用抽象的数学解决生活中的具体问题。

（3）基本的数学活动操作对象或是和数学相关的生活中的具体形象的事物，或是对生活中具体形象的模拟，或是与生活直接联系的数学对象，或是在纯数学学习中形成的贴近生活的数学现实（如，学生在纸上画三角形，测量三角形内角和。三角形图形虽然不是日常生活中的具体原型，但是学生数学生活中常常看到的图形，已经成为学生数学生活现实）。

（二）基本的数学活动核心经验的概念

受张奠宙、史宁中等各位专家对基本数学活动经验的界定的启迪，并调查一线教师的认识，今在“基本的数学活动”及“核心经验”概念讨论的基础上，给出基本的数学活动核心经验的概念：

基本的数学活动核心经验，是指在数学目标指引下、通过对具体事物进行实际操作，考察或思考，所产生的感性认识以及没经过严格推理证明的初步理性认识，且这个认识具有模式化和迁移性。

中小学生在基本的数学活动中，体验获得的有关数学的核心经验，其实就是基本的数学活动核心经验。基本的数学活动核心经验，不含基本的数学活动经验的所有内容，但它是中小学生基本的数学活动经验的主要部分。

（三）基本的数学活动核心经验与其他“三基”内容的辨析

1.基本的数学活动核心经验与数学基础知识的辨析

《课标》中的数学基础知识主要指中小学生获得的最基本的数学概念、公式、法则、典型固定的数学方法或命题等基本知识内容。基础知识不全是在基本活动实践中直接获得的（特别含在被告知中获得），而数学基本活动核心经验必须在基本活动中获得。数学基础知识含一些基本的数学活动核心经验，也含更严谨深层的理性认识；数学基本活动核心经验不含更严谨深层的理性认识。基本的数学活动核心经验特别强调获得的可以迁移的内容，但基础知识却不一定都能迁移。如一个学生学习了数学概念、命题等，但有时尚不能将其灵活运用于具体情境，则此时他还没获得相应的数学基本活动核心经验。数学基础知识有的是意义学习中获得的，有的机械记忆比例偏大；而基本的数学活动核心经验是意义学习中偏重自身体验获得的，不易遗忘，更容易迁移。

2.基本的数学活动核心经验与数学基本思想的辨析

《课标》中的数学基本思想是面对中小学生学习提出的：其一，主含关于数学的抽象、推理、建模等方面的思考策略及观念，它不是具体固定的方法和模式；其二，这些思考策略及观念有些是在数学基本活动中执行或获得的，有些不是在数学基本活动中执行或获得的。数学基本活动核心经验，其一，是在数学基本活动中获得的；其二，获得的不是思想观念，而是在体验中提炼出的固定具体的模式。如学生面对问题，能想到用数形结合策略分析问题，则说明学生具有了数形结合这个数学思想觀念；而学生能将这种具体思考路径作为固定思考模式直接运用，有了具体操作程序模式，则说明他此时获得了数形结合的经验。

3.基本的数学活动核心经验与数学基本技能的辨析

数学基本技能是大脑作用外在客观世界的操作程序或形式，熟练的技能具有无意识输出的自动化特征。基本的数学活动核心经验是基本的数学活动经验中的特定内容，不同于其他基本的数学活动经验，其核心成分是有意识输出的知识；相对数学基本技能而言，基本的数学活动核心经验对其操作程序的认识较强，自动化成分相对弱。一个人获得了技能，但他不一定获得了核心经验，因为此时个体可能说不出这个技能活动具体的程序是什么，在什么情境运用为好；而有了核心经验，则会说出其程序的含义，能有意识地在不同情境去运用。一个人会熟练打字，则说明他有了打字技能；而该人能将打字操作规则程序说出，则说明他掌握了打字核心经验。即便有些核心经验有内隐性，但这个内隐性仅仅是表述清楚的程度不够而已，绝不是技能中的自动化程序。技能可从训练中获得，而基本活动经验主要是在活动中感悟获得。endprint

三、“把握基本的数学活动核心经验”的意义分析

（1）《课标》提出的“四基”之间既有联系 ，又有其各自的特殊性。从宏观看，“四基”中，基础知识主含数学概念、公式、命题等；基本技能主含数学学习中作用于外在客观世界的心智技能和动作技能；基本思想主含数学学习中的认知策略及观念；基本的数学活动经验主含数学学习中的直观、感性认识向理性认识的飞跃、具体方法和思维模式。虽然众家对基本的数学活动经验的外延和内涵的解释有区分，但基本的数学活动核心经验汇总了众家认识的共同内容，厘清了基本的数学活动经验核心内容与其他“三基”间的逻辑关系，符合《课标》提出基本的数学活动经验的初衷。基本的数学活动核心经验和平时我们生活中常常说的“经验”吻合，且是中小学生基本的数学活动中获得的经验中最主要部分；把握它有利于抓住基本的数学活动经验教学的本质与核心。

（2）张奠宙教授指出，基本数学活动经验主要指活动中从感性认识向理性认识飞跃时形成的认识。史宁中教授指出，基本数学活动经验主要指活动中感悟归纳推理和演绎推理过程中积淀的思维模式和直觉。本文提出的基本的数学活动核心经验，基本遵循并融合了两位教授精辟论述中的核心内容，也是和中小学数学教学联系最多的内容。

（3）基本的数学活动核心经验是基本的数学活动经验中容易捕捉和摸到的内容，明确了基本的数学活动核心经验，有助于理解数学基本活动经验的维度和层面特征，以此找到培养基本的数学活动经验的主要操作步骤。培养学生基本的数学活动核心经验，一般要首先思考让学生经历直观中的感性认识；对经验已经达到相应直观层面的学生，可思考对直观中获得的感性经验进行感性概括；对已经达到感性概括经验水平的学生，可考慮经历初步的理性认识过程。通过直观观察、归纳猜想、初步验证等，逐层获得初步的理性经验，进而获得较高层面的理性知识。总之明确了学生基本的数学活动核心经验的特征和通向深层知识学习的桥梁作用，我们就会找到“基本的数学活动经验”教学的主要目标和突破口。

参考文献：

[1]冯忠良.智育心理学[M].北京：教育科学出版社，1981.

[2]张奠宙，竺仕芬，林永伟.“基本数学经验”的界定与分类[J].数学通报，2008（6）.

[3]史宁中，郭玉峰.“数学基本活动经验” 研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012（10）.

[4]李光树.小学数学学习论[M].北京：人民教育出版社，2014.

（黑龙江省七台河市教育研究院 154600）endprint