探究初中数学中一次函数与方程的关系

廖小舟

摘 要：在初中数学教材中，一次函数与方程历来是学习的重点，而在新人教版教材中，也是学生必须要掌握的学习内容。如此才能更好地帮助学生分析数学在生活中遇到的难题，以此运用一次函数与方程的关系进行解决，利用函数图像的变化规律来判断事物发展的态势，从而规避生活中可能出现的风险，这就是引导学生学习一次函数与方程课程的重要目的，引导学生树立此种思维分析

模式。

关键词：初中数学：一次函数与方程的关系；新人教版

一、学生在学习一次函数与方程时出现的问题

很多学生在刚接触一次函数与方程时普遍反应很难，根本不知所云，这已经成为普遍现象。其实单独看待方程学生反而更容易理解，若单独学习函数，学生也能普遍跟上节奏，但是当二者相互抵和时，学生则混沌不清。这说明学生对这些内容的理解相对片面，不能真正掌握其精髓，以至于难度稍微增加，则感觉非常吃力。这部分内容要想彻底学好学通，学生必须要对二者的关系有个深刻的认识，这也是本文内容所要讲述的重点问题。只有在对二者关系清晰理解的情形下，学生才能对所学内容有个清楚的认识，这样在做题时才不会无从下手。

二、简要概述一次函数与方程的关系

1.一次函数与一元一次方程的关系

一次函数的解析式为y=kx+b，其中k和b都表示常量，且k≠0。而在求解直线y=kx+b与x轴的交点时，可使得y=0，同时还要求k≠0，则得到kx+b=0，以此按照方程运算法则进行相应计算，则得出x=-■，即直线y=kx+b交x轴于（-■，0），也就是说

-■就是直线y=kx+b与x轴的交点坐标，这也就是二者的关系所在，可以进行有机转化，互相表示；还可以利用函数图像的方法将方程的结果具体在数轴上表示出来，从而帮助学生进行题目的理解。

2.一次函数与二元一次方程（组）的关系

通过一次函数与一元一次方程的关系不难判断出一次函数与二元一次方程（组）的关系，其二元一次方程（组）的最终结果也可以利用函数图像在数轴上具体表示出来。需要注意的是，一次函数的解析式y=kx+b的本身就是二元一次方程的表示，所以当k≠0时，图像上有好多的点表示y=kx+b的解，也就是说二元一次方程的解有无数个。这是不同于一元一次方程的表示，呈现得更为全面，符合整个解结果的范围，更加能够清晰地表示图像的走势等内容，这也是学生学习的重难点。通过将二者的关系条分理析，学生在做难度稍大的题目时也更容易寻找突破点，从而将其攻破。

三、具体分析一次函数与方程的应用

1.一次函数与一元一次方程的应用

在新人教版的教学中，我们不难发现函数这一内容的例题设置都与方程有紧密的联系，如例题：“已知直线y=（3m+2）x+2和y=-3x+6交于x轴上同一点，则m的值为多少？”在看到此类问题时，好多学生就抓紧时间拿出笔来进行计算，这是笔者所不提倡的。所谓“书读百遍，其义自见”，在做题中也是如此。学生应该就题目做出简要分析，了解题目已知条件中的具体含义再进行计算，以免匆忙中出现错误。此题中交代两条直线同时交于x轴上同一点，则含义为两条直线都是y=0的情形下得出的，知道此含义后则将再进行计算也就更加容易了，即y=（3m+2）x+2=-3x+6=0，解得m=-1。至此这问题得到圆满的解答，由此我们还可以进一步分析，由m=-1代入原式中，得出y=-x+2。在此种情形下则进一步分析出该函数的具体解析式，学生在进行图像表示时也就方便计算了。此题名义是解答函数问题，但其计算过程却是方程计算的应用法则，这也就是数学学科的奥秘之处，彼此能够相互转化相互促进相互利用，学生在学习此内容后有助于思维观念的发散与

开拓。

2.一次函数与二元一次方程的应用

如例题已知方程组y-ax=c，y-kx=b其中a、b、c、k均为常数，且ak≠0的解为x=-2，y=3，则直线y=ax+c和直线y=kx+b的交点坐标为多少。这一类型的题目也是常考的范围，除了运用方程组的相关内容外还涉及一次函数与其的联系，并且进一步升华求所在直线的交点坐标。同理学生在明确题目内容后在进行下手计算，由已知条件出发，将x=-2，y=3直接代入方程组中则化为y=ax+c。y=kx+b，由此再进行计算得出方程组的交点坐标为（-2，3）。值得一提的是，很多学生被题中的字母表示迷惑，感觉无从下手，题目中明确告知其中a、b、c、k均为常数，且ak≠0，则我们就可以认为这些字母是已知的确定的数字，这样再解答题目就非常容易了。很多难题的设置都有其突破口，引导学生学会找寻突破口，是指引学生学习函数与方程关系的重要方法，当学生遇到问题，就能运用自己熟练掌握的知識进行分析、理解。比如可以用解方程的形式来解答，也可以用函数图像的形式来表现，只要将问题理解清楚，让步骤具有条理，这就是做题的意义。能够让学生学会活学活用、灵活变通。

综上所述，初中数学中进行一次函数与方程内容的学习不仅能够拓宽学生的知识理解、解题技巧，还能够帮助学生将所学内容进行灵活转化、随机应变，让学生的数学思维能力更加多元化，富于创造力。

参考文献：

[1]杨文琴.初中一次函数教学的困难与对策[J].中华少年， 2016（27）.

[2]肖霄.初中生函数应用题解题障碍的研究[D].西南大学， 2014.

[3]陈烨.针对初中函数学习困难的教学设计与实践[D].山东师范大学，2013.

编辑 李博宁