构造法在高中数学解题中的应用

贾一鸣

摘 要：通过构造函数、向量、方程、不等式、图形、二项式等，可以把很多原本难以解决的数学题，转化为比较容易解决的问题。构造法在高中数学解题过程中的地位越来越重要，是创新解题的一种重要表现。利用构造法可以创新解题思路，找到困难问题解题的突破口，通过总结做题方法，逐步提升高中数学的解题能力与认知水平。

关键词：构造法；高中数学；解题；应用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）01-0094-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.01.059

一、构造法的定义

所谓构造法，就是根据题设条件、特点，用另外的角度理解，转化为其他易于解题的形式，从而顺利解决原来的问题的方法。一般来讲，原问题的条件之间关系比较隐含，需要转化为新构造的条件比较显化的问题，可以应用构造法进行解题。

二、构造法的来历

我国三世纪的数学家刘徽为了研究球的体积公式，构造了“牟合方盖”，但他当时还没有求出来。二百多年后数学家祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，利用构造法求出了半球的体积公式，从而得出了球的体积公式，这是古代中国数学的辉煌成就。直到1635年，意大利数学家卡发雷利出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为卡发雷利原理，其实他的发现要比我国的祖暅至少晚1100多年。

近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整地从哲学和数学两方面发展了“存在必须被构造”的观点。我国当代数学家吴文俊曾说过“我国传统数学在从问题出发、以解决问题为宗旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对”。

三、构造法的在解题中的应用

（一）构造图形求四面体的体积

例1 求棱长分别为4、5、6的四面体的体积。

分析：直接计算或利用坐标计算都比较困难，改用构造法。

解：构造一个长方体，设棱长分别为，根据题意

构造特值函数的关键是使分散的函数关系、条件集中转化为某个简单函数，向着有利于判断不等式的方向发展。

（四）构造等式求数列的和

例4 已知数列{an}的通项an=n2，求此数列的前n项的和Sn。

解：Sn=12+22+32+…+n2，

构造等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1

作差（n+1）3-n3=3n2+3n+1

n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1

33-23=3·22+3·2+1

23-13=3·12+3·1+1

上述各式相加，得

构造向量的关键是使a与b都是常数。

（六）构造复数二项式求若干项的和

例6 设（x+1）2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017，

那么a1+a5+a9+…+a2017的值为___________。

解：利用复数的特点构造二项式。

令x=i，得（i+1）2017=（a1-a3+a5-a7+…+a2017）+（a0-a2+a4-a6+…+a2016）i

又（i+1）2017=（i+1）4×504+1=[（i+1）4]504·（i+1）=（-4）504·（i+1）=21008+21008i

所以a1-a3+a5-a7+…+a2017= 21008 ①

令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a2017= 22017 ②

令x=-1，得 -a0+a1-a2+a3+…+a2017=0 ③

②+③，得a1+a3+a5+…+a2017= 22016 ④

①+④，得 a1+a5+a9+…+a2017= 22015+21007

所以a1+a5+a9+…+a2017的值為22015+21007。

（七）构造三角恒等式求sin18°的值

例7 求sin18°的值

解：构造恒等式cos 54°=sin36°

即cos36°cos18°-sin36°sin18°=2sin18° cos18°

化简，得4sin218°+2sin18°-1=0

解得， sin18°（另一根为负值，不符合题意，舍去）

参考文献：

[1] 余江兵，严镇军.构造法解题[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1992.

[2] 冯跃峰.研究特例 发现构造[J].中等数学，2009（2）.endprint