泰勒公式的若干典型应用

2018-01-19 21:29刘利平
考试周刊 2018年20期
关键词:微分方程定积分极限

摘 要:高等数学中的一个非常重要的公式就是泰勒公式,本文通过具体实例介绍了泰勒公式的几种不同的典型应用。

关键词:泰勒公式;极限,定积分,微分方程;偏微分方程;行列式

由于某些数值计算和理论分析的需要,对于一些稍微复杂的函数,我们经常需要用一些合适的多项式等相对简单的函数来近似表示,其中泰勒公式是精确度比较高的一种。下面将介绍泰勒公式的几种典型应用。

一、 求函数的极限

例1 求极限limx→0cosx-e-x22x2[x+ln(1-x)]。

根据泰勒公式知cosx=1-x22+x44!+o(x4);

e-x22=1+-x22+12-x222+o(x4)

ln(1-x)=-x-12x2+o(x4),则

原式=1-x22+x44!+o(x4)-1+-x22+12-x222+o(x4)x2

x-x-12x2+o(x4)

=14!-18x4+o(x4)-12x4+o(x4)=16.

二、 求函数的积分

例2 计算∫10arctanxxdx

由泰勒公式得arctanx=x-x33+x55-…+(-1)nx2n+12n+1+…

原式=∫101-x23+x45-…+(-1)nx2n2n+1+…dx

=x-x39+x525-x749+…

10

=1-19+125-149+…

三、 求微分方程的解

例3 求微分方程(1-x)y′=x2-y的解。

设y=∑∞n=0anxn是方程的解,代入方程得(1-x)∑∞n=1nanxn-1=x2-∑∞n=0anxn

整理得∑∞n=0[(n+1)an+1+(1-n)an]xn=x2

比较系数得a1=-a0;a2=0;a3=13;…;an=2n(n-1)(n≥4)

于是y=a0-a0x+13x3+16x4+110x5+…+2n(n-1)xn+…

四、 求解偏微分方程

例4 设u(x,y)对x和y的高阶偏导数存在,求解变系数微分方程

yvxx+vyy=2x,

v(x,0)=3x2,

vy(x,0)=x.假设方程的解属于C∞。

解:由方程yvxx+vyy=2x,知vyy=-yvxx+2x,令y=0,得vyy(x,0)=2x。

由v(x,0)=x2关于x求二阶偏导得vxx(x,0)=6

再对方程yvxx+vyy=2x两边关于y求偏导得vyyy=-vxx-yvxxy,也令y=0,有vyyy(x,0)=-vxx(x,0)-0=-vxx(x,0)=-6

同理易得vyyyy(x,0)=vyyyyy(x,0)=…=0

然后根据麦克劳林公式的广义表达式可得v(x,y)=v(x,0)+vy(x,0)y+12!vyy(x,0)y2+13!vyyy(x,0)y3+14!vyyyy(x,0)y4+…代入上式得v(x,y)=3x2+xy+xy2-y3

易证求得的解滿足所给方程及其初值条件。

五、 求行列式的值

首先根据行列式的特点构造对应的行列式函数,然后将这个行列式按泰勒公式在具体的点展开,通过求出行列式函数的各阶导数值代入公式即可。

例5 求行列式Dn=acc…c

bac…c

bba…c

……………

bbb…a

解:假设Dn(x)=xcc…c

bxc…c

bbx…c

……………

bbb…x,则Dn=Dn(a),将行列式函数Dn(x)按泰勒公式在x=c展开得

Dn(x)=Dn(c)+Dn′(c)(x-c)+Dn″(c)2!(x-c)+…+Dn(n)(c)n!(x-c)n

其中Dn(c)=ccc…c

bcc…c

bbc…c

……………

bbb…c=c(c-b)n-1。

接下来求出Dn(x)在的x=c各阶导数:

Dn′(c)=nc(c-b)n-2,Dn″(c)=n(n-1)c(c-b)n-3,…D(n)n(c)=n!

然后代入泰勒展开式得:

Dn(x)=c(c-b)n-1+nc(c-b)n-2(x-c)+

n(n-1)c(c-b)n-32!(x-c)2+…+n(n-1)…2c(n-1)!(x-c)n-1+(x-c)n

特别当b=c,易得Dn(x)=nc(x-c)n-1+(x-c)n。

最后令行列式函数中的x=a就能求出行列式Dn的值。

参考文献:

[1]同济大学数学系.高等数学:上册[M].北京:高等教育出版社,2014:143.

[2]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[J].高等数学研究,2010,13(3):11-12.

[3]庄万.常微分方程习题解[M].济南:山东科学技术出版社,2004:342.

[4]周蜀林.偏微分方程[M].北京:北京大学出版社,2005:206.

[5]欧伯群.泰勒公式巧解行列式[J].广西梧州师范高等专科学校学报,2000,16(2):67-68.

作者简介:刘利平,甘肃省兰州市,甘肃政法学院网络空间安全学院。endprint

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