线性代数教学中的理论联系实际

谭小燕+冯玉玲

摘要：本文主要以向量组的线性组合、n维向量的内积、夹角等内容在实际生活中的应用为基点，探讨了理论联系实际在线性代数教学中的必要性，以及如何开展理论联系实际，从而弥补传统教学中的不足。

关键词：线性代数；理论联系实际；课程

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）03-0238-02

线性代数是代数学的一个分支，是主要处理线性关系问题的一门公共数学基础课程。随着现代科技的迅猛发展，线性代数课程已经在本科院校中的多种专业中普遍开设。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。但由于其课程内容本身的抽象性，学生在线性代数的学习中，对概念、定理、方法不能很好的理解和應用，尤其在理论的实际应用上更是感到迷茫，从而对其学习兴趣不高。如何促进学生主动思考，增加教学的吸引力，提高学生的学习兴趣，活跃课堂气氛一直以来都是教学中需要思考并解决的问题。为此，本文主要论述理论联系实际在线性代数教学中的实践和作用，以在现实生活科技中的直接应用，激发学生的学习兴趣，培养和提高学生学习中进行理论实践的能力。

一、理论联系实际在线性代数教学中的必要性

1.当前线性代数教学中的弊端。由于线性代数是从高中二元一次方程组、三元一次方程组到n元一次方程组求解以及从二元向量、三元向量到n元向量的一步步推广，其中引入了很多新的数学工具：行列式、矩阵等。在传统教学模式中，无论学生来自哪个专业，教师讲授的课程都基本上是以工具教学为主，教给学生大量的知识内容，而很少提及这些数学工具在各个学生所在专业的应用或是在现实生活中的应用，更谈不上线性代数中体现的数学思想的应用。这就造成了学生学习的理论与实践的脱节，也让学生在学习中感到这些知识如在云端，遥不可及，同时也造成了学生在学习过程中渐渐丧失主动性和积极探索的信心，无法提高学习兴趣。

2.理论联系实际的优点。虽然教师在教学中处于主导角色，但通过设计实际问题或联系时事热点问题，让学生能主动思考所学内容的应用，与教师共同讨论解决问题的对策，会从心理上引起学生极大的好奇心并满足其解决问题的成就感。一方面可以激发学生的创造性和积极主动性，另一方面也可以促进学生发散思维、广泛交流、共同学习，培养其优秀的自学能力以及解决问题的能力。

二、线性代数教学中理论联系实际的实例

下面我们就从学生们较难理解的向量组的线性组合、向量的内积与夹角等内容来说明如何理论联系实际。

1.生活中的饮食健康与向量组的线性组合。俗话说“早上吃饱，中午吃好，晚上吃少，零食寥寥”，我们就从数学上给出一定的解释。提出“如何既要吃得好，又要身材好？”这样的问题，从上课开始就初步引起学生的兴趣，给出具体的问题——营养食谱问题。现在假设有一个营养食谱，分为早餐、中餐、晚餐和零食，在营养食谱中我们只看蛋白质、脂肪、膳食纤维、维生素C，其中在一份早餐中含有蛋白质10克、脂肪6克、膳食纤维12克、维生素C10毫克，一份中餐中含有蛋白质15克、脂肪12克、膳食纤维4克、维生素20毫克，一份晚餐中含有蛋白质9克、脂肪7克、膳食纤维2克、维生素20毫克，一份零食中含有蛋白质6克、脂肪5克、膳食纤维2克、维生素0毫克，而为了保持身材，每天需要摄取的营养含量为蛋白质75克、脂肪60克、膳食纤维40克、维生素100毫克，那么每顿应该吃多少呢？带着问题来学习“向量组的线性组合的内容”。学习过理论，关键是如何应用，这时再来解决开头的营养食谱问题。对于这个食谱，早餐、中餐、晚餐和零食各应该吃几份？换言之，应该怎样组合早餐、中餐、晚餐和零食的营养才能达到我们希望的营养？首先将问题数学化。把早餐的营养含量抽象看成一个向量α1（10 6 12 10）T，把中餐、晚餐和零食的营养含量都看成一个向量：β（75 60 40 100），α2（15 12 4 20），α3（9 7 2 20），α4（6 5 2 0），那现在的问题就变成了α1、α2、α3、α4，怎样组合才能得到β，也就是β能否写成他们的线性组合呢？解方程：x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β。解方程组得到线性组合系数为：x1=2，x2=3，x3=1，x4=1。这也说明早餐吃2份，中餐吃3份，晚餐吃1份，零食吃1份，也正好符合了“早上吃好，中午吃饱，晚上吃少，零食寥寥”的饮食常识。

2.手机客户端新闻分类与向量的内积、夹角。由于有直观表示，二维向量、三维向量的内积、夹角容易理解，对于n维向量的内积、夹角，虽然是二维、三维的直接推广，由于不再有直观表示，学生在记忆这些知识时显得有些机械。但结合生活中的实例或各专业中的背景，这将是一目了然的知识。下面我们就从手机的新闻客户端说起。从学生常用的手机软件提出问题，也可直接引起学生的兴趣。大家每天都会用手机或电脑来看新闻，无论是搜狐客户端还是新浪客户端，在主页上新闻都分成了很多类，有头条、娱乐、生活、财经、军事等，在资讯大爆炸的今天，几乎每件事都是新闻。面对铺天盖地的新闻，新闻工作者或者新闻客户端是怎么分类的呢？全靠人工分类显然不可能完成的，那么电脑怎么自动分类呢？在课前抛出这样的问题，让学生带着问题去寻找答案。等学习过向量的内积、夹角等概念后就来解决开头所提的新闻分类问题。

首先，问题数学化。新闻是传递信息的，而词是信息的载体。世界各国无论是哪门语言的“语文课”，教师教授写作时都会强调特定的主题要用特定的描述词。几千年来，人类已经形成了这样的写作习惯，因此同一类新闻一定是某些主题词用的较多，另一些词用的较少。比如金融类的新闻，这些词出现的频率就很高，像“包子、宇宙”就出现的较少；像军事类娱乐类的新闻，都会有一些频率较高的特定词汇。那么如何根据词来判断新闻是否是一类呢？对每个词进行编号，同时每个词就会有一个出现频率比值，也就是说每个词都对应了一个数，这样的话一个新闻根据这些词的数值就对应了一串数字。

其次，用所学知识解决问题。把新闻所对应的一串数字看成一个向量，那么每个新闻都对应了一个向量，现在的问题就转化成了如何来度量两个向量距离的远近。从直观上很容易看到，夹角越小，距离越近，夹角越大，距离越远，所以只需要算下两个向量的夹角，这样就解决了这个问题。同时，这样的方法也可以用来判断两个物种的基因的远近。对这个问题，也可以结合学生不同的专业背景，例如，若是生物专业就从物种的分类提问题，等等。

三、结语

兴趣是最好的老师。如何提高学生的学习兴趣，一直以来都是课程设计的重要内容。一方面，知识是死的，需要用公式和数字去表达；另一方面，知识是活的，都是来源于生活。在生活、科技背景下，到处都体现着知识所蕴含的思想。因此，在教学过程中，适时地应用理论联系实际，既可以引导学生抱着兴趣从实际出发，来学习理论，又能引导学生应用理论知识，培养学生思考问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].第6版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]吴军.数学之美[M].第2版.北京：人民邮电出版社，2014.endprint