例说三角函数解题方法

蒲俊丞

摘 要：三角函数是高中数学重要的学习内容，求解这种题型的方法有很多种，但高中生常常局限于同一种解题思维之中。基于此，通过列举具体的三角函数题型，分析四种求解三角函数的方法，旨在为高中生提供参考，丰富学习的方式，锻炼多种思维能力，提高学习质量。

关键词：三角函数；解题方法；思维能力

一、特殊角法求三角函数

在三角函数的教学中，会学习较多的诱导公式，但是如果求解相对复杂的角，学生很可能会无从下手，加之角度、弧度之间的转化，无形中增加了解题的难度。因此，在学习中需要熟记30度、45度、60度等特殊角度的函数值，以此为基础，更好地学习、掌握、判断任意角象限[1]。

就弧度制角而言，只要分母值为6，就可以将其认作30度角，分母值为4时，其角度为45度，而分母值为3时，其角的度数为60度。另外，角度的正负是由象限决定的。

例1：求sin时，可以依据上述的方式进行求解。由于弧度角的分母为6，因此将其角度认作为30度，而sin30°的值为，由象限决定具体的正负。因为=4π+，便可明确该角度的象限为第三象限，因此角度的正弦值为负数，即sin等于-。

例2：求解tan-的数值，由于该弧度角的分母是3，所以可以认为角度为60度，因此正切值为，正负同样由象限决定。-=-8π+，因此可以知道该弧度角位于第四象限，因此正切值为负数，即tan-等于-。

二、画三角法求三角函数

在学习三角函数的初期，学生虽然將定义能牢牢记住，但是却很难掌握三角的变换，无法准确掌握三角函数的解法。对于这样的现象，学生可以利用定义求解三角函数。如图1所示，在△ABC中，已知∠C为直角，sinA=∠A的对边/斜边，cosA=∠A的邻边/斜边，tanA=∠A的对边/邻边，cotA=∠A的邻边/对边，即sinA=，cosA=，tanA=，cotA=。

例3：当tanα=3时，求sinαcosα的值。（选择题）

（A）- （B） （C）- （D）

当解这道题时，可以画一个三角形，将∠A作为α，由于，tanα=，假设a等于3，b等于1，结合勾股定理可以得出c==，那么sinα则等于=，conα则等于=，因此sinαcosα的值为×=，数值的正负则由象限决定。根据tanα=3可知，α位于第一象限或者第三象限，因此数值为正数，故此题的答案为D。

三、特殊值法求三角函数

在考试中，使用特殊值的方法求解三角函数比较方便，具有简单易行的特点。如果题目中“暗示”为定值时，就可以使用特殊数值、特殊位置、特殊数列等方式，用具体的数值代替字母。

例4：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边为a、b、c，若a、b、c为等差数列，求的值。

方法一：使用特殊值法，拟定a=3，b=4，c=5，那么cosA等于，cosC=0，因此，=。

方法二：利用特殊角方法，A=B=C=，cosA=cosC=，因此，=。

例5：已知θ是任意角，求sec2θ·sec2θ·的值。如果在解题的过程中，现将公式简化再进行计算，不仅会增加解题的难度，还会浪费大量的时间，因此可以使用题目中说是任意角，换言之，θ是什么角其计算结果都是一致的，因此可以将θ的角度设定为具体的30度，然后将30度带入公式中，即sec230°·sec60°·=×2×=8，因此该题目的答案为8。

如果能够掌握特殊值法求解三角函数，那么能够大大降低解题的难度，提高解题的效率。

四、数形结合法求三角函数

数与形是数学课程中重要的基石，两者之间存在密切的联系，并且在解题的方式上能够相互渗透，并且在特定的条件下能够实现相互转化，由此发展出数形结合的解题方式。在数学选择题中，可以依据题目的具体内容，画出草图，以草图中图形的性质、位置、形状等特征为基础，结合平时学习的理论知识，得出具体的结论。使用数形结合方法求解三角函数的重点在于用数字确定图形、用图形辅助数字，所以需要重视题目中的数值、图形等信息，以此来分析、探究三角函数的解题思路，能够更快地找到恰当的解题方法，提高解题的效率，同时增强结果的准确性[2]。

例6：如果0≤α<2π，sinα>cosα，求α的取值范围。（选择题）

A.， B.，π C.， D.，

如图2所示，因为sinα>cosα，所以sinα-cosα大于0，即2sinα-cosα=2sinα-大于0，又因为0≤α<2π，所以-≤α-<，即0<α-<π，所以答案为C。

综上所述，对于很多高中生来说，求解三角函数具有很大的难度，但是其中蕴含着较多的技巧与方法，虽然其中缺乏严谨性与科学性，但是文中提及的解题方式能够在一定程度上降低解题的难度。以此为基础，在掌握三角函数的概念、理论、公式的基础上，可以运用特殊角法、画三角法、特殊值法等方式求解关于三角函数的习题，在提高解题效率的同时，锻炼自身的思维能力与推理能力。

参考文献：

刘继勇.三角函数中的解题思路和方法[J].泰山乡镇企业职工大学学报，2011（3）：28-29.

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