三面出击，点亮高三数学复习百日星光

☉云南省大理第一中学 王永生

在整个高三复习的过程中，总有一些时间结点被赋予了特殊的意义.在离高考还有一百天时，许多学校都会召开“高考百日冲刺誓师大会”.其意在高考复习的最困难时期，给予学生精神上的鼓励.

事实上，此时间结点到高考前一般含有三、四、五三个月，数学基本上已完成第一轮的基础复习，正好准备进入二、三轮的复习.于是此时间段通常被称为后期复习时间.而此时间段同时又肩负着提高学生考试成绩的艰巨任务，那么应如何有效开展好高三数学的后期复习呢？

影响数学考试成绩的因素主要有数学知识、心理素质和考试技术三个方面，其关系如图1所示.可见，数学高考不仅是数学知识的较量，而且还是心理素质和考试技术的较量.

图1

在距离高考还有一百天时，高考复习已经吹响了冲锋的号角.那何不借此时机，三面出击，点亮高三数学复习的百日星光.

一、完善知识结构

通过第一轮的基础复习，实现了考试大纲所要求的基本知识和基本方法的全覆盖.学生渐渐地形成了一个个“知识点”和“方法点”，但这些“点”却是离散的，需要二轮复习时将之“连成线”“形成面”“合成体”.［1］从而进一步构成稳固的“双基”平台.［2］

高考数学复习的基本追求应该是：帮助学生在学习的过程中重构并完善其知识网络和方法体系.［3］如果说一轮复习是把书读“厚”的过程，那么后期复习的首要任务就是逐步把书读“薄”.为此，不妨做好以下三个方面的工作.

1.进行经典回放

一轮复习过程中，不论是选用一本复习用书，还是自编资料，都可归纳出一些经典知识和方法.由于复习时间过长，在即将忘记时，有必要再对这些经典内容进行回放，从而进一步实现这些知识与方法从短时记忆向长时记忆转化.

回放时最好仍按复习的顺序依次进行.分知识回忆和方法回顾两部分当天布置，学生课外完成.下面以笔者第一轮复习时所使用的复习用书为基本素材，给出其中一天的案例.

案例1 直线的方程经典回放.

知识回忆：（1）直线倾斜角的定义和范围；（2）斜率的定义和计算公式；（3）直线方程的五种形式.

方法回顾：

（1）经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）.

（2）已知点A（3，4），则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为______.

（3）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）.

①证明：直线l过定点；

②若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

③若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.

以上知识回忆和方法回顾不仅突出了基础，还体现了能力，更重要的是还表现出了一定的综合性.如方法回顾（1）与三角函数结合，方法回顾（3）与不等式结合.在高考的要求中，这些知识和方法需要达到熟练.于是在后期复习时，有必要再熟悉一下这些知识和方法.

后期复习仍应重视基础工作.结合高考题的特点，回归教材已是大家的共识.可在复习过程中应如何回归教材才能更好地提高复习的效率呢？经典回放是笔者所采用的一条途径.在确定知识回忆和方法回顾时应尽可能地将复习用书和教材有机整合，方法回顾（2）和（3）就是源于教材的例习题.如此无缝衔接能让学生有一种亲切感，从而能够更好地掌握知识和方法.

2.绘制思维导图

经典回放工作一般历时两个月左右，经此过程，学生将高考所要求的知识和方法又都全面回顾了一遍.此时急需再将其结构化后方能使其更加稳定.

查询百度百科可知：“思维导图又叫心智图，是表达发散性思维的有效的图形思维工具.”在完成经典回放工作后，结合笔者在复习过程中已对学生进行过使用思维导图进行学习的指导.在考前最后一个月，笔者让学生完成一份十分特殊的作业，即绘制一张“高中数学公式”的思维导图.这样做主要出于两个目的.

一方面，使学生将所学知识网络化.基于学生对所学知识的理解的不同，通过思维导图的绘制过程，可以弥补学生学习上的不足，并最终实现极具个人特色的知识结构.

另一方面，强化学生的学习兴趣.考前一个月，一般称为高考复习的高原期.思维导图具有一定的创造性和观赏性，利用思维导图把作业作品化可引起学生的新异刺激，从而极大地激发学生的学习兴趣.

最后交作业的学生有一半以上，其中不乏一些优秀作品，图2和图3极具代表性.

图2

图3

由图可以看出，学生已基本熟悉高中数学的主要公式，并已将知识结构化，在脑海里已形成良好的知识结构，而且作品极具观赏性，这对学生掌握这些公式具有很大的帮助.此外，在经典回放的基础上，通过学生自身的努力，又再一次将书读“薄”了.

3.命制模拟试题

有了知识的准备，更需要方法的明确与熟练.近几年来，高考要考查的题型相对固定，只是需要的知识和方法有些不同，同时部分题目还具有一定的创新性.

通过经典回放后，学生基本上又将高考所要求的知识和方法重新熟悉了一遍.加上经历过多次的模拟考试后，学生已对高考试题的类型十分熟悉.一些常考的知识和方法也有所了解，而且所考过的模拟题中也会有一些经典的问题需要再进一步进行巩固.于是在高考复习的过程中，针对高考试题的不同类型，结合所整理过的模拟试题和自身存在的不足，笔者要求学生命制高考模拟试题.如笔者所在省份考查的是课标全国卷.众所周知，由于第17题可能考查解三角形，也可能考查数列，于是试卷自然也就会有两种不同的模型.为此，上学期结束前，笔者便要求学生只选定一种模型，以上学期所考过的几次典型考试的试题为素材，自己命制一份模拟试题，这份试题主要突出学生自己存在的不足；考前最后一个月，结合下学期所进行的几次考试，要求学生以另一种模型再命制一份模拟试题，此份试题应具有个人猜题的成份.当然，每份试题除选定题目外，自然要求学生还要写出详细的标准解答.

应当说，通过命制高考试题，一方面，可以让学生熟悉高考试题的类型，规范学生的答题过程，明确高考的要求和自身存在的不足；另一方面，还可以将高考所考查的核心知识和方法系统化，为进一步熟练这些知识和方法打下了坚实的基础.

著名数学家华罗庚认为：“要真正打好基础，有两个必经的过程：即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程.‘由薄到厚’是学习接受的过程，‘由厚到薄’是消化、提炼的过程.”前面三个方面的工作实际上就是逐渐实现“由厚到薄”的过程，在考前一周学生只需将所绘的思维导图和所命制的两份试题再次熟悉一遍即可迎接高考的挑战.

当然，所有要求都离不开教师的指导，特别是经典回放的内容，需要教师进行大胆的取舍，这当然也对教师提出了较高的要求.但是绘制思维导图和命制高考模拟试题却对学生提出了个性化的要求，同时也是对学生的整个复习过程进行了一次较高要求的检查.

二、提高应试技能

“我国现行普通高等学校招生全国统一考试是由合格高中毕业生参加的大学入学考试，其主要目的是为高校选拔新生提供有效的成绩，以便高校全面考核，择优录取.”［4］高考的这一目的决定了数学高考具有以下性质：（1）数学高考是常模参照性考试；（2）数学高考是考查数学基础的考试；（3）数学高考是注重能力考查的考试；（4）数学高考是难度和速度兼有的考试.［4］

由数学高考的目的和所具有的性质可以看出，高考是一门技术.要想通过考试取得好成绩，就必须掌握一定的技能.

1.高考指导

既然高考是一门技术，那么有必要对学生进行一定的考试指导.当然，这需要涉及诸多方面，但可按表1所示的四个方面进行.［5］

表1 ：高考数学考试指导的内容与顺序设置

表1所示的四个方面应以专题的形式有针对性地展开教学，不必过于深入，但应有所侧重.如选择题和填空题应强化数形结合、特殊化法的应用；解答题应突出解法的探求和规范答题的要求；应考策略应突出答题程序的确定和基本应试技巧的掌握等.

2.限时训练

众所周知，高考需要学生在两个小时内完成一份具有选拔功能的数学试题.课标全国卷一般有22道题，含12道选择题、4道填空题和6道解答题.通常情况下，多数学生都很难按时答完所有试题，这就是高考数学试题的最大特点.

那么如何在两个小时内取得最好的成绩呢？马拉松世界冠军山田本一“凭智慧战胜对手”的故事告诉我们，目标是需要分解的.只要在限定时间内逐一实现分目标，就一定能最终达到总目标.

于是，为了提高学生的应试技能，可将整份试卷化整为零，以题型为主线，知识和思想方法为辅线对学生进行有针对性的训练.

刚开始，笔者结合前面的考试指导，将整份试卷按题型分为四个专项，并对每个专项限定时间，提出目标后再进行训练.

第一专项：选择题专项训练，含1至12题，四十分钟内完成，得分为50分左右；

第二专项：填空题专项训练，含13至16题，十分钟内完成，得分为15分左右；

第三专项：基本解答题专项训练，含17、18、19题和选考题，四十分钟内完成，得分为40分左右；

第四专项：压轴解答题专项训练，含20和21题，半小时内完成，得分为16分左右.

通过训练，学生若都能达到目标，则两个小时内整份试卷可得120分左右，这对于多数学生来说，已经是一个非常理想的成绩了.

当然，如此分类，时间的限制和所确定的目标也并非绝对，应根据题目的难度和学生的实际水平进行调整.实际上，这也是学生需要具备的一种应试技能，即合理分配时间和确定目标.此外，实际操作时还应重视以下几个方面工作.

一是高质量练习的选择.建议先从本省所使用的高考试卷类型前五年的真题开始，然后选择高仿真度的模拟试题进行训练.

二是在相应专项首次进行训练前都先进行应答方略的考试指导.

三是凡练必讲.至于讲评的方式仍应视学生的具体情况而定，在注重通性通法熟练的基础上应突出思维的优化和方法的选择.

四是各专项训练的次数应结合学生的具体情况和所能达到的熟练程度来定.

五是在训练过程中要正视学生存在的差异，辅差培优工作要做细和做实，同时针对学生前期复习中存在的不足，应给予一定的补偿性训练.

这样的训练一般需两个月左右的时间.通过训练，学生基本熟知各类题型的应答方略，在限定的时间内能按规范迅速达到各自的目标.

3.全真模拟

化整为零，各个击破，一定量的全真模拟考试也是必不可少的.这也是高三数学后期复习比较重要的环节.其主要目的是让学生熟悉高考数学试卷的样式，熟练高考应答的方略，弥补自身存在的不足，从而为最后的高考做好充分的准备.

（1）试卷的选择.模拟考试三、四月份每两周考一次，五月份每周考一次，一共进行八次左右.考试所需的八套试题最好是自主命制.要求应与本省所使用的高考试卷类型等值，同时实现考试大纲所要求内容的全覆盖.当然，一份合适的综合练习至少应该在“检测的全面性”和“难度的恰切性”这两个方面有着较为合理的体现.［3］

（2）应答方略指导.在首次进行考试前应先以专题的形式结合限时训练的要求对学生进行应答方略的指导，特别是答题程序的确定和时间的合理分配等.

（3）试卷讲评.此时期的试卷讲评工作极为重要.一般情况下不必每题都讲，可选择学生出错较多的题进行专题突破，在弄清错因后进行一定的补偿性训练，最后要求学生写出整份试卷所有试题的详细解答.

对于重点内容，也可几份试题连续考查，以期让学生适应不同的场景，并逐步达到高考的要求.

案例2 概率与独立性检验综合问题的专题突破.

为了让学生能够熟练掌握概率与独立性检验综合问题的求解方法，可连续考查下面三道题：

试题1 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如表2：（单位：人）

表2

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间是5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间是6～8分钟，现甲、乙同时解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.

试题2 国内某大学男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是［0，3］.若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”，根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到表3所示的2×2列联表.

图3

（1）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；

（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列、数学期望E（X）及方差D（X）.

试题3 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

（1）请列出关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求X的分布列、数学期望E（X）及方差D（X）.

说明：限于篇幅，附表和公式都已略去.其中试题1在考查独立性检验时，已直接给出了2×2列联表，此外还考查了几何概型和超几何分布；试题2在考查独立性检验时，要求学生需根据题目所给信息，先将所给2×2列联表中的数据补充完整，此外还考查了二项分布；试题3则先直接要求学生列出2×2列联表，然后再考查二项分布.

从给出2×2列联表及相关数据，到要求填表，再到自己列表，应当说要求逐渐提高.如果没有试题3，就试题1和试题2，学生基本上都认为已经掌握了独立性检验的方法.可事实证明，试题3的考查结果大出意料之外，多数学生不能直接列出2×2列联表.此外，超几何分布和二项分布的区别与联系一直也是学生未能准确把握，从而成为屡次出错的地方.通过三道题的依次考查，可有效突破以上难点.

先进行基于应试技能提高的应答方略的专题指导，接着合理选择优质试卷，化整为零，以题型为主线，知识和思想方法为辅线进行有针对性的训练，最后命制高仿真度的模拟试题，让学生经过实战演练使应试技能得到真正提高.这应是后期复习的主要工作.

三、强大应试心理

完善了知识结构，提高了应试技能，要使学生在最后的高考中取得好成绩，此时期还得强大学生的应试心理.应当说，这方面的策略会有很多，但结合前面“基于恰宜的综合练习而训练学生的应试技能，可以同时有效地强大学生的应试心理.”［3］

1.利用成绩曲线进行心理疏导

数学高考是难度和速度兼有的常模参照性考试.每次模拟考试，学生都会很受伤.为此，在进行模拟考试的过程中，有必要适时对学生进行心理疏导.而每名学生所表现出的心理特质也是极不相同的，必须共性与个性相结合进行区别对待.

结合目标管理的相关理念，笔者的通常做法是为每名学生设计一张学情分析表，其主要包括高考目标、励志名言、成绩曲线、考试分析和教师指导等五个方面.表4所示的是学生甲的学情分析表：

表4 ：学生甲2015-2016学年高三下学期数学六次模拟考试情况分析表

考试序号 分数 错题 问题及原因一 1137、19（3）、20（2）二 9512、15、16、21三 1175、9、20（2）四 14020（2）、21（2）五 9216、18（2）、21（2）六 10521（2）、24（2）7、审题不认真；19（3）、不知道怎么做；20（2）、方法选择不当.12、没有思路；15、计算错误；16、知识漏洞；21、对而不全.5、推导错误；9、概念不清；20（2）、已算出m＜2，但答成m=3.20（2）、计算错误；21（2）、能想出一些思路，不能做完题.16、没有仔细观察，盲目的做；18（2）、计算错误.21（2）、不能正确认识条件.21（2）、没有仔细思考就盲目做；24（2）、不会证明.教师指导意见优势：知识全面，基本素质较好.主要问题：审题不认真，计算能力稍差，自我监控能力差.高考建议：保持正常心态，正常发挥水平.学科教师（签名）：王永生 2016年6月3日

此表由学生保存，人手一份，在整个模拟考试的过程中，针对每次考试后学生的表现情况，教师有选择地找学生进行谈话，并给予其适当的指导，而且应力争全班每名学生都至少进行一次指导.

事实证明，这样的做法目标明确，有理有据，针对性强，让学生充分感受到复习备考路上教师所给予的极大关怀.

2.通过难题突破升华个性品质

从2004年开始，数学高考在全面考查基础知识、基本能力的基础上，个性品质的考查首次被列入了考试大纲.“个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.”［5］而且，数学高考试题课标全国卷也从一题把关变为多题把关.于是整份试卷就有多个压轴部分，一般是一道选择题，一道填空题和解答题的两到三个小问，这些一般都称为难题.可见，要顺利完成整份试卷，考生需具有良好的个性品质，真正对这些难题形成有效突破.

但事实是，多数学生碰到这些难题时都会很功利地绕过去了，还美其名曰“艺术地放弃”.甚至教师也鼓励学生这样做，并把它当作考试经验进行传授.当然，在高考中确实已无能为力时，这样做也无可厚非.但在平时教学与复习备考过程中不应当提倡这样做，因为在难题的突破中可升华学生的个性品质.

案例3 设F1，F2分别为椭圆左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为

（1）求椭圆C的焦距；

高考中解析几何问题一直以来都是学生最不情愿直面的问题.特别是解答题，多数学生都很难全身而退.每次考试，对解析几何问题的恐惧心理总伴随着考试的始终.

案例3以椭圆为载体，结合平面向量，考查了圆锥曲线的两类基本问题，即已知方程研究性质和已知性质求方程.第（1）问不难求解，第（2）问看似简单，方法易想，可最终却很难形成有效突破，对学生的个性品质提出了较高要求，真正起到了把关的作用.

讲评时不能只要求学生完成第（1）问，放弃第（2）问；也不能只是分析第（2）问的解题思路，而后放手让学生自己完成.而更应该借此机会跟随学生思维的脚步，和学生一起体会求解过程中的酸甜苦辣，共同优化解题路径，并形成最佳解题方案.限于篇幅，具体突破过程笔者不在此论述，相关内容请参看文6.

解数学问题的真正魅力在于碰到困难时，如何利用所学知识和方法，通过分析具体问题，并最终形成有效突破的过程.虽然考试时，由于时间的限制很难允许这样做，但数学高考中这样的困难客观存在，于是在平时的学习和复习过程中需要舍得花一定的时间，增加这样的解题体验，升华学生的个性品质.

3.借助数学写作增加情感体验

高中数学学习是辛苦的，高三的复习工作更为艰苦，最后一百天甚至还有些煎熬.普通高中《数学课程标准（实验）》指出：“数学课程的评价既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化.”［7］在后期复习的过程中，学生的心理变化也是极为复杂的，透过一次次分数的背后也很难发现学生的这些变化，况且每个学生的情况都有所不同，而且有些学生又极不愿意与他人交流.“要播撒数学的种子，就需要开拓一条从学生的‘心灵世界’走向‘数学现实’的通道；要孕育学生的‘数学情感’，就需要开垦一块适宜‘数学个性’成长的土壤.”［8］数学中的写作是以过程为目标的学习活动，指学生将自己对数学概念的理解、对解题方法的体会、对解题过程的回顾、对学习方法的总结等写成文字的活动.［9］为此，笔者在高三数学复习中进行了数学写作的尝试，相关论述请参阅文10.通过数学写作增加了学生的情感体验，从而在一定程度上强大了学生的应试心理.

应当说，影响学生数学考试成绩的因素还有很多.但是，离高考还有一百天时，数学知识，考试技术和应试心理三个方面却显得特别重要.加之此时期的复习工作又非常关键，时间紧迫，资料缺乏.因此，应及早进行顶层设计，围绕上述三个方面做好充分准备，利用好百日冲刺这一时间结点，从三面出击，点亮高三数学复习的百日星光.

1.朱占奎.高三数学二轮复习的“点”“线”“面”“体”——《高三数学教学与测试》的教学思考［J］，中学数学月刊，2015（10）.

2.张奠宙.数学“双基”教学的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008（4）.

3.柯跃海，陈清华.高考数学复习目标的确立与实施［J］.数学通报，2015（3）.

4.教育部考试中心.高考数学测量研究与实践［M］.北京：高等教育出版社，2002（12）.

5.教育部考试中心编.2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （理科）［M］.北京：高等教育出版社，2015（12）.

6.王永生.理解、思考、运算、表达——高考解析几何问题求解四部曲［J］.中学数学（上），2014（5）.

7.中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003（3）.

8.张奠宙，马岷兴，陈双,胡庆玲.数学学科德育——新视角、新案例［M］.北京：高等教育出版社，2007（5）.

9.胡耀华.数学写作的价值及若干教学建议［J］.数学教育学报，2007（3）.

10.王永生.数学写作：高三数学书面作业的另类设计［J］.数学通讯（下半月），2015（6）.F