合理放缩超越函数 巧取零点所在区间

安徽省岳西中学(246600)储百六

1 引言

在近年高考中零点问题已悄然成为了一个热点,这类问题一般利用函数的单调性与零点定理来解决,其理论依据是：

(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的单调函数,则函数f(x)在区间[a,b]上至多一个零点.

(2)零点定理：若函数f(x)在区间[a,b]上是连续函数,且f(a)f(b)＜0,则f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.

所以在解决此类问题时,往往先判断函数的单调性,再由零点定理取点找出零点所在的区间.判断函数单调性对多数学生而言并非难事,取点找零点所在区间总感觉无从下手,很多答案的解答也是有如神助,从天而降.下面笔者针对此类问题结合实例谈谈解决该问题的思路,以期读者从中得到启发.

2 问题思路分析

要确定函数零点所在区间,就是寻找数x0使f(x0)＞0(或f(x0)＜0),从而确定函数零点所在区间的端点.但是对于一些复杂函数依直觉取点,往往行不通,为了找到符合条件的x0可将f(x)适当的放缩到一新函数g(x),使f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x)),再求出g(x)的零点x0,从而找到符合条件的区间端点.

从上述分析可看出解决问题的关键在于找到适当的函数g(x),函数g(x)需满足两个条件：(1)零点存在且易求;(2)不等式f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x))已知或易于证明.那如何找g(x)呢?下面以指对数函数为例,探讨其放缩的方法：

1、利用常见不等式ex≥x+1及其变形

变形1ex＞x(去掉1).

变形2e-x≥-x+1(-x换掉x),特别的当x＜1时有

变形3当x＞0时,

证明由ex≥x可得

变形4ln(x+1)≤x或lnx≤x-1.

变形5

变形6可根据需要调整对a取值如：lnx＜x,lnx等.

变形7或xlnx≥x-1.

利用上述式子可将指对数函数放缩到简单的多项式函数,而多项式函数的零点较容易找到或确定位置,从而容易构造出合适的函数g(x).

2、切线法,以直代曲

(1)对∀x,x0∈R有ex≥ex0(x-x0)+ex0.

注因函数y=ex为下凸函数,所以函数y=ex的图像在x=x0处切线的上方.其他函数也可依照其凹凸性得出类似的不等式,这是不等式证明的常用的“切线法”.

证明令F(x)=ex-ex0(x-x0)-ex0,F′(x)=ex-ex0,所以F(x)在(-∞,x0)为减函数,在(x0,+∞)为增函数,F(x)≥F(x0)=0,所以(1)式成立.

类似有：

(2)∀x,x0∈R有lnx≤证明与上式类似,此处从略.

容易看出(1)和(2)是上述不等式的一般推广,不过用(1)和(2)可将切点选在更合适的位置.下面通过一些例子介绍具体的操作方法.

3 例题选讲

例1求证：当a＞e时,函数f(x)=ex-ax有两个零点.

分析(1)先判断函数的单调性.因为f′(x)=ex-a,由f′(x)＞0得x＞lna,f′(x)＜0得x＜lna,所以f(x)在(lna,+∞)为单调递增函数,在(-∞,lna)上为单调递减函数.

(2)再来取函数零点所在区间.因为a＞e,所以fmin(x)=f(lna)=a(1-lna)＜0,下面要确定零点所在区间,只需在区间(-∞,lna)和(lna,+∞)上分别取两个点x1,x2,使得f(x1),f(x2)都大于0.在区间(-∞,lna)上容易看出0符合题意,f(0)=1＞0,于是f(0)f(lna)＜0,所以f(x)的零点所在区间为(0,lna)上.再在(lna,+∞)取点.

方法一：利用变形3,为了得到足够大的x2,可让放缩后的指数n＞1,不妨取n=2得：于是所以f(4a)＞0,所以f(lna)f(4a)＜0,这样就找到了f(x)的零点所在区间为(lna,4a).

法二：用切线法.为了得到足够大的x2,在切点选择时要使切线的斜率比a大,比如：2a,3a等.在(1)式中取x0=ln(2a)得：ex≥2a(x-ln(2a))+2a,所以f(x)=ex-ax≥2a(x-ln(2a))+2a-ax=ax-2aln2a+2a,由ax-2aln2a+2a＞0得：x＞2ln2a-2,取x2=2ln2a-1,显然x2＞2ln2a-2＞lna,则f(x2)＞0于是f(lna)f(x2)＜0,这样就找到了f(x)的零点所在区间为(lna,x2).

例2求证：当0＜a时,函数f(x)=lnx-ax有两个零点.

分析(1)先判断函数的单调性.因为所以f(x)在为单调递增函数,在上为单调递减函数.

法一：利用变形6,为了得到足够大的x2,可让放缩后的指数a＜1,不妨取所得这样就找到了f(x)的零点所在区间为

法二：用切线法.为了得到足够大的x2,在切点选择时要使切线的斜率比a小,比如：等.在(2)式中取所以f(x)=由取显然则f(x2)＜0,于是这样就找到了f(x)的零点所在区间为

例3求证：当时,函数f(x)=ex-ax2有三个零点.

分析本题若直接讨论单调性比较麻烦,可分离参数后调整为：“当时,函数有三个零点”

(2)再来取函数零点所在区间.在区间(-∞,0)上,因为ex＜e0=1,所以得于是又由ex≥x+1(x/=0),所以g(x)=得是有g(x1)＞0,这样就找到了零点区间在区间(0,2]上,因为g(x2)＞0,可得零点区间(x2,2);在区间[2,+∞)上,为了找到足够大的数x0,使g(x0)＞0,可用变形3将ex放缩到比x2的次数更高的式子,取n=3得所以-a=0得x=27a＞2,所以g(27a)＞0,于是g(2)g(27a)＜0,这样就找到了零点区间(2,27a).

注从例3看出采用分离参数的方法,有时可减小判断单调性的难度,也更容易有图像找出所求参数的范围,但取零点所在区间的方法和不分离时实际是一样的.例1、例2都可用分离参数的方法,读者可自行探究.

例4已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

分析(1)由题设知：

f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).当a≤0时,f′(x)＜0,此时f(x)在R上为减函数.当a＞0时,在区间上f′(x)＞0,所以此时f(x)的减区间为增区间为

(2)由(1)知：当a≤0时,f(x)在R上为减函数,f(x)至多一个零点,不合题意.当a=1时,只有一个零点,不合题意.

当a＞1时,令h(x)=1-x-lnx,显然h(x)为(0,+∞)的减函数.fmin(x)=f(x)无零点.当0＜a＜1时,若x＜0,则ex＜1,于是f(x)=ae2x+(a-2)ex-x＞-2ex-x＞-2-x,所以f(-2)＞0,则f(x)在上有零点,再考虑的零点,由ex＞x得：f(x)=ae2x+(a-2)ex-x1＞ae2x+(a-2)ex-ex=ex(aex+a-3).由aex+a-3=0得x1=则f(x1)＞0,又所以f(x)在上有零点.综上,若f(x)有两个零点,则a的取值范围是(0,1).

4 总结

从上述例题的求解过程可看出,找零点所在区间问题一般过程是：先观察看能否直接选到合适的点;若不行,就对f(x)进行适当的放缩.放缩时先可通过图像观察放缩的方向及其大致的位置,再选用合适的变形放缩,放缩时一定要控制好放缩所得到的多项式函数的次数及其不等式的方向,以便找到合适的点.