由一道高考题谈平面向量问题的通性通法

曹东方��

摘要：为探讨2017年江苏高考理科数学第12题的多种解法，本文通过分析平面向量的本质，阐述了从数和形的角度来解决本例的几何法和代数法，总结了平面向量问题的通性通法。

关键词：平面向量；通性通法；几何法；代数法

首先看一道高考题：

2017江苏，理12.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°。若OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m+n=。

下面来看本题给出的标准解答：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根据向量的分解，

易得ncos45°+mcosα=2

nsin45°-msinα=0，即

22n+210m=2

22n-7210m=0，即5n+m=105n-7m=0。即得m=54，n=74，所以m+n=3。

对本题的再回顾本题考查的知识点是平面向量的表示。平面向量既有“数”的特征又有“形”的特征，是“数”与“形”的完美结合。因此，能否从“数”与“形”的角度来思考本题呢？也就是说，解决平面向量问题的通性通法是什么呢？如果理清了这个问题，那么所有有关平面向量的一类问题都可以寻找到一个突破口，进而得到解答。下面以这一道高考题为例，笔者谈一谈这个通性通法。

在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。笔者认为包含两个方面的含义：第一是从某一个知识出发引出的若干思考；其次是解决一类问题的一般思维出发点。理解通性通法的本质，其实就是吃透知识点的本质。题目仅仅是知识点的载体，就像我们说平面向量是数和形的载体一样，平面向量的本质就是数和形。从数的角度看，解决平面向量的方法就是建立平面直角坐标系，用坐标表示有关向量，进而进行坐标运算，从而解决问题；从形的角度看，平面向量沟通了平面几何，可以用解决平面几何问题的方法解决它。

从形的角度看本题条件，OC=mOA+nOB（m，n∈R），这个条件可以理解为向量的加法，自然就可以考虑到平行四边形法则，从而产生了该题的几何法：

作平行四边形OMCN，其中OM=mOA，ON=nOB

易得|OM|=|NC|=m，|ON|=n

∵OC=2，则在△OCN中，由正弦定理

2sin∠ONC=nsinα=msin45°

即2sinα+45°=nsinα=msin45°

又tanα=7，∴α为锐角

∴sinα=750，cosα=150

∴sinα+45°=45

可得m=54，n=74，∴m+n=3

从数的角度看本题条件，OC=mOA+nOB（m，n∈R），这个条件可以理解为向量的基底表示，而基底又产生了坐标，所以可以建立平面直角坐标系来表示OA，OB，OC的坐标，然后用坐标运算解决，这就是这道题目的代数法：以O為原点，以OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易得

A（1，0），B（cos（α+45°），sin（α+45°）），C（2cosα，2sinα）

即B-35，45，C15，75

由OC=mOA+nOB

∴15，75=m1，0+n-35，45

∴m=54

n=74∴m+n=3

另外，考虑到本题条件有向量的模和夹角，所以还可以考虑用向量的数量积，得到另外的解法：

由OC=mOA+nOB，将该式两边同时乘OA和OB

得

OC·OA=mOA·OA+nOB·OA

OC·OB=mOA·OB+nOB·OB

∴2cosα=m+ncos（α+45°）

2cos45°=mcos（α+45°）+n

∴15=m-35n

1=-35m+n∴m=54

n=74∴m+n=3

由此可见，平面向量作为数和形的载体，处理这一类问题的通性通法无外乎几何法（基底表示）和代数法（坐标法）。

参考文献：

[1]黄耿跃.向量思想方法及其应用研究[D].福建师范大学，2008.

[2]曹金明.高中数学课程中向量教学研究[D].西北师范大学，2004.

作者简介：

曹东方，福建省泉州市第七中学。endprint