试论高中生数学解题失误的思维定式

潘妙妙

（江苏省苏州市吴江平望中学，江苏 苏州）

思维定式是指如果人在长时间内保持一种方法去思考问题，就会形成习惯，从而形成思维定式，并且思维定式在高中数学课程的分析问题和解决问题双过程当中都是存在的，所以，相对而言，其具有较强的双面性。但是，思维定式也有着优势和劣势，拥有思维定式，高中生才能够在数学解题过程中有章可循，才更容易掌握相关内容和知识，并且，在以后的学习过程当中，就算是学习到了新的知识和内容，应用思维定式也更容易理解。思维定式的劣势就是，高中生不能脱离机械化思考，一味地被动模仿，沿袭旧规，不思革新，就会出现解题失误等现象。因此，高中数学教学过程中，教师应紧密地将高中生数学教学和改革后的实践联系在一起，从分析高中数学课堂活动的现象入手，认识到高中数学课程和教学活动的本质与教育规律。

一、思维定式的概括

1.思维定式

在高中生的数学教学过程中，解题失误总是会伴随着思维定式，高中生之所以会造成解题失误，就是由于长时间地按照自己所积累的数学经验来解决问题，或者是使用自己已经掌握了的规律进行。在这个反复使用的过程中就逐渐形成了思维定式。思维定式具有较强的固定性和定型性。思维定式在感性领域也被称之为刻板印象，人们会在脑海中形成一个固定的倾向，所以当面临问题的时候，都会凭借自己所积累的经验去解决。当高中生在解决数学问题的时候，虽然使用思维定式会有一定的帮助，但是如果长时间地去使用，难免会出现解题失误的现象。如果高中生不能摆脱自己心中的那个固定框架，就会出现学习消极的现象，因为高中生需要面对的是三年高考的艰难任务，所以要想真正地提高自己的数学解题能力，就要先从突破思维定式开始。如：在三棱锥 S－ABC 中，AC＝BC＝a，SC＝b，∠ACB＝120°∠ACS＝∠BCS＝90°，求二面角S－AB的正切值。错解：①过S作AB的垂线，连结CD；②则SC⊥AC，SC⊥BC，由三垂线定理知CD⊥AB③则∠SDC即为二面角S-AB-C。因为关系不明确导致了错误的解题。首先①垂足没指明；②先证SC⊥平面ABC；③二面角与平面角是两个不同概念；④∠CBD＝30°成立的理由不足。

2.思维定式的特点

思维定式的一大特点就是思维模式，通过各种各样的思维内容体现出思维的程序和模式，这种教学模式对于教师的要求相对要高一些，因为它和教学的实际内容有紧密的联系，但是却不能淹没实际内容，它并不是教学的具体内容。其次，思维定式具有强大的惯性和顽固性，它刚开始只是让高中生形成思维的习惯，但是慢慢随着时间的推移，就会逐渐地深入高中生的大脑和潜意识。高中生要想走出思维定式是比较有难度的，很多时候，正是由于高中生被思维定式左右着，所以才会出现解题失误，虽然其具有较强的固定性，但是却不具有通用性。因此，必须要去尽力改善现状，不能让思维定式彻底改变高中生解决问题的思维。高中生具有把问题情境归结为熟悉问题情境的趋向，这样的表现方式被称为思维空间收缩，具有某种集中性的思维趋势。比如，在学习几何的时候，应该强调它的解题思路，从而把空间问题转换成平面问题。又比如在学习因式分解的时候，高中生就要掌握到解决十字相乘法、公式法、提取公因式法等几种较为常规的方法，也有一些比较程序性的方法。

二、思维定式在高中生解题过程中的影响

1.积极影响

思维定式对于高中生解决数学问题有着非常重要的影响，在高中生解决问题的时候，思维定式可以根据学生所面对的问题产生相关的联想。比如当面对一道题的时候，在思维定式的左右下学生会自然而然地联想到曾经解过的该类题型，把新题和旧题的特征进行比较以后，再斟酌两道题的共同点，使用自己已经掌握了的经验和知识对问题建立一个情境，然后再解决问题。这样的方法也是现象教学中的一种，把高中数学教学的实际内容或问题和情境结合在一起，意识到教学的规律，准确地说，在解决数学问题的时候，思维定式包括三个方面的内容：第一是定向地去解决问题，学生要有自己的一个固定方向和目标，要不然就会产生盲目性。第二，定向方法是实现高中生目标的重要工具，比如像知识、理论等，不一样的题目对应的知识理论都是不一样的，所以思维定式不具有通用性，只有学生对各种题型的理论都有所掌握，才会让思维定式产生优势，否则一切都是事倍功半。第三，依靠思维定式来解决问题必须要有一个完整的计划，应有一步一步循序递进、标准化的实施要求。高中生在解题过程当中采用思维定式，会在一定程度上为学生省去思考、探索的时间，因为高中课程本身就比较紧，而思维定式刚好为学生节省了学习的时间。

2.消极影响

在平常的解题过程中，即使思维定式可以帮助高中生解决一些问题，但是却不利于高中生的创新思维发展，还会在一定程度上削弱学生的思维能力，久而久之，高中生就产生了依赖性，不管面对什么问题都会自然地采用思维定式来思考。国外一名心理学家就曾经做出过实验证明思维定式的解题失误事实。将两条绳子悬挂在天花板上，绳子之间的距离比一个成年人两臂的长度还要长一些，假如用一只手抓住其中一根绳子，那么另外一只手怎样都抓不到另外一根绳子。在这种情形下，该专家让一个人把两根绳子套在一起，但是专家在离绳子不远的地方放了一个滑轮，意思是给系绳者提供帮助。但是，系绳者看到滑轮之后，却不知道有什么作用，更没有想到滑轮和系绳的活动有关系，到头来还是没有成功地解决问题。如果说系绳者把滑轮栓在其中一根绳子的尾端，想办法让绳子荡起来，之后再抓住另一根绳子的尾部，当滑轮荡到系绳者能够抓住的地方以后，系绳者再将两根绳子系在一起，问题自然就成功地解决了。在解决数学问题的时候，当一个问题的条件发生了变化，思维定式仍然会使高中生在一个固定的框架当中找到出口，最终造成了解题失误。比如，已知（x+2）2+y2/4=1，求x2+y2的取值范围。很多学生都会由于思维定式而解题失误，比如，他们会这样解：由已知得出y2=4x2-16x-12，因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+8/3）2+28/3，所以当 x=-8/3 时，x2+y2有最大值 28/3，即x2+y2的取值范围为（-∞，28/3）。学生并没有注意到x的取值范围要受到已知条件的限制，所以丢掉了最小值，事实上，由于（x+2）2+y2/4=1→（x+2）2=1-y2/4≤1→-3≤x≤-1，从而当 x=-1 时，x2+y2最小值为 1，所以，x2+y2取值范围为［1，28/3］。

三、高中生数学解题失误思维定式的有效解决方法

1.揭示本质，克服不好状态

对于数学课本中的一些理论概念，不能只是停留在表面上，而应揭示它的本质内涵，而对于一些公式来说，理论概念不能够显露它的真实含义，只能通过本质的揭示去认识它。尤其是一些比较容易搞混的概念或公式以及定理，更是要抓住它们的本质，比如，有这样一道数学题目：已知函数y=（sinx+cosx）+2cosx，求其最大值和最小值。这一道要用到倍角公式，那么就是y=2+sin2x+cos2x。通过这样的公式反复进行联系以后，就会慢慢地掌握到三角遇平方就降幂的规律。

2.多方联想，克服封闭状态

由一个事物联想到另外一个事物，能够在锻炼高中生思维活跃度的同时，解决更多的数学问题，避免解题失误的出现。通过对题目的分析，可对条件和结论当中隐藏的一些内容进行联想，相似的理论、公式、概念等都是可以借鉴的，这就需要高中生进行多方联想。比如高中生在复习函数方程这一章节的时候有这样一道题：求方程Inx-x+1=0的实数根的个数，很多高中生都会先把方程变换成为lnx=x-1，之后再画图象，然后就会依靠数形得出2的结果，但是这个结果却是错误的，这就是解题失误。然而事实上，g（x）=x-1是f（x）=lnx的切线，所以，g（x）=x-1和f（x）=lnx就只有一个交点，即，（1，0）。因此，方程式lnx-x+1=0的实数根就只有一个。但是如果只是一味地给学生讲解，学生也是不能理解的，所以这个时候，教师就需要使用图象教学，根据实际内容设定情境来授课。教师可以在几何板上作出图象。这个方程式也有另外一种解法，就是从方程式的实数根找到函数的零点在什么地方，这样就找到了解决问题的入口。那么就是：令f（x）=lnx-x+1，定义域就是（0，+∞），由f′（x）=-1＞0得0＜x＜1；f′（x）=-1＜0得x＞1，在f（x）上（0，1）为增函数，在（1，+∞）上为减函数，在 x=1上又有着很大的值为f（1）=0，到头来方程式的实数根还是1。

思维定式确实对高中生有着一定的解题益处，但是也不能一味地广泛使用，学生需有自己的独立想法，才能不被其误导，尽量减少解题失误。