评汤若望眼中的中西勾股术

李雨林，邓可卉

（东华大学 人文学院，上海 200050）

中国传统勾股术从《周髀算经》《九章算术》开始，经过魏晋南北朝、隋唐的快速发展，在宋金元时期取得辉煌成就，但随着明末传统数学的衰退和西方数学知识的传入，传统勾股术的弊端逐渐显露。明末徐光启与利玛窦（Matteo Ricci，1552—1610）共译《几何原本》，对传统勾股术发展产生了重要影响。清初德国传教士汤若望（Johann Adam Schall von Bell，1592—1666）在《新法历引》中对中国勾股术进行概括和评述，并与西方三角学进行比较，指出中国传统勾股术的诸多弊端不足，认为西方数学远胜于中国。本文通过探讨中国传统勾股书的发展，并结合当时西学东渐的社会背景，对汤若望关于中西勾股术比较的观点进行评述。

1《新法历引》中汤若望对中国勾股术的认识

《新法历引》[1]是明末清初德国传教士汤若望所著《西洋新法历书》十部增刊之一，介绍了西方天文学的一些概念，并在历法、历算、天文观测、天文仪器等方面，与中国传统天文知识进行对比。本卷开篇题注“敕赐通玄教师加二品通政使司同政使掌钦天监印务事”，应该是刊印时汤若望的官职。据考证，此官职是顺治十六年（1659）六月封赐，在顺治十八年（1661）正月康熙登基，以避圣祖名讳为由，将通玄教师改为“通微教师”[2]。由此可以推断，《新法历引》的刊印时间应该是在顺治十六年到顺治十八年之间。

汤若望在《新法历引》中讲：“句股之术，从来尚矣，古《九章》、《周髀》载之。究不过一三边直角形而已，垂线为股，横线为句，斜线为弦。测量家立表代股，平圭代句，而景为其弦。善斯术者，高深广远无不可求，而测天之为用尤大。”他指出中国传统勾股术起源于立表测影，同时认为“高深广远无不可求，而测天之为用尤大”，这一点直指传统勾股术本质，即数学的实用性特征。明末《几何原本》传入之前，这种特征一直伴随着中国数学的发展，正如李约瑟先生所言：“土地的丈量、谷物容积、水坝和河渠的修建、税收、兑换率……这些似乎都是最重要的实际问题，为数学而数学的场合极少。”[3]从传统数学典籍编写的形式也容易发现，大都采用问题集的形式，尤以《九章算术》“问”“答”“术”的形式最为典型，对后世著作影响也最大。这种以实例推“术”的问题集，一开始就是用来解决实际问题的，这里的“术”也不过是一种数学技巧，仍处于技艺层面，遵守着匠人技艺用进废退的原则[4]。勾股术也是如此，它从立表测影开始，伴随着勾股测望的需要和改进而不断发展。汤若望窥见了中国传统数学的本质，自然也就发现了其内在的弊端，它没有像西方数学那样严密的逻辑推理体系，更不存在公理化的方法。

在与西方传来的几何知识比较时，汤若望认为“然而旧法虽有三元五和五较等用，不过设二求三，且泥于直角一形，若遇斜角、弧角，无以措用矣”，而称赞新法中的三角学知识“变而通之，既名其公曰三角形，又审其平面、球面、曲线、杂线、锐角、钝角之别”，“各形咸备”，“虽天道隐微，象数零杂，未有能遁焉者也”，在三角形的应用上也更加灵活，“即知天为圆体，宜测以弧；宿曜近远诸道互交，宜测以多类之弧，遂生多类之三弧形”，“有三弧三角，互设三以求余三，是谓以圆齐圆，于法为善”。从汤若望的辞藻中可以读出，他对于中国传统勾股术发展所取得的成就并不完全认同，“五和五较”“设二求三”依然局限于对三角形各边问题的计算，而对边与角的关系并未展开探索，况且所有的问题都没有摆脱直角三角形的限制。所谓的“五和五较”不过是在勾股术的基础上将计算进行了系统的整理，勾股术本身并没有取得实质性的进步。而西方三角学的研究已经拓展到一般三角形，懂得区别对待，并将边与角相结合，探索两者的联系，这些东西相对于传统勾股术而言的确是先进的。同时期德国传教士邓玉函（Johann Schreck，1576—1630）所著《大测》是三角学知识传入中国的一部重要著作，所附《割圆八线表》即是三角函数表。汤若望通过对中国勾股术与西方三角学的对比，剖析了中国勾股术的弊端，也引介了西方三角学的成就。但同时也要发现，在这个过程中，汤若望对于中西勾股术的态度是不同的，他批评中国传统勾股术的同时，过分夸大了西方三角学的作用。西方三角学的发现、发展与使用对于基础学科的推动作用固然重大，但称其可以察觉天道就言过其实了。

2中国勾股术的源流与发展

2.1宋金元之前的勾股术

对于勾股术，早在两汉时期就已有相关的记载。《周髀算经》成书于约公元前100年，书中开篇商高与周公对话，“勾广三，股修四，径隅五”，即指勾股定理，而后在陈子求斜至日问题时同样应用了勾股定理。《周髀》创言勾股，在中国数学史上意义重大。东汉时成书的《九章算术》是中国数学史上的一部重要著作。在勾股章中，明确提出勾股术和解勾股形的问题，开始形成了较为完备的理论体系。因受中国实用思想的影响，此时尚未能给出合理的证明。

东汉赵爽（约182—250）注解《周髀算经》时撰写“句股圆方图说”，总结了后汉时期勾股术发展的辉煌成就，对勾股定理及相关恒等式做了严格的证明[5]，并附图6幅。刘徽（约225—295）在注解《九章算术》时利用出入相补原理，得到勾股定理证明，同时还剖析了其中隐含的勾股和、差恒等式。

对唐代数学做出重要贡献的当属李淳风（602—670）。他重注十部算经，在唐初立官学后即被奉为圭臬。李淳风的另一个重要的贡献是关于勾股测望问题，他将刘徽创建的重差理论和方法由平面推及至不同高度的重差测望。同时，在其斜面重差的数理构建中，明确出现了一般相似形问题，将奠基于相似勾股形的中国古代几何学做出了重要的开拓[6]。相似勾股形问题与勾股测望一样，是中国勾股术的重要组成部分。

2.2宋金元时期的勾股发展

宋金元时期中国数学发展达到高峰，以秦九韶、李冶等为代表的数学家进一步发展了勾股学问题。秦九韶（1208—1261）在《数书九章》有关于勾股术的研究，其类型已经接近于一般三角形，在对勾股问题进行解答时，主要运用了“方程论”的思想，涉及了高次方程的数值解法，但这并不妨碍其对于勾股术发展的贡献。

如“尖田求积”问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步。欲知其积几何？”又如“三斜求积”问题：“沙田一段有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，法三百步，欲知为田几何？”

除上述两个问题，《数书九章》中还包括了“计地容民”“斜荡求积”“蕉田求积”“漂田求积”等问题。由这些问题可以发现，秦九韶的研究已不再局限于勾股形这一种形式，出现了锐角、钝角的一般情况，这是前人计算中不曾提及的。虽然他解题的方法依然基于勾股术，但这仍不免是对一般三角形问题研究的一种新的尝试。

李冶（1192—1279）在《测圆海镜》中设通、边、底、黄广、黄长等13率勾股形，罗列其“五和五较”及和较间恒等变换。并利用“五和五较”间联系，着重介绍了“考圆”问题，在“和较”和容圆直径之间建立等式联系。汤若望在《新法历引》中所谓的“五和五较”“设二求三”即来自于此。但《测圆海镜》的中心在于将勾股容圆问题和“五和五较”联系起来，对于任意勾股形，任知勾股弦三边及其“五和五较”中的两者，即可求得容圆直径，从而直接或间接地把已知数和未知数联系起来，以助于天元术的构建。关于《测圆海镜》，有学者认为其建立了完善的公理系统和丰富的公式表[7]；也有学者认为是解题所需的定义、定理和公式，后面各卷问题均可在此基础上依据天元术推导而来[8]。《测圆海镜》虽然出现了些许“公理化”的特征，却不能看作是真正意义上的公理化，李冶的这套方法仍然是代数学方法的范畴，充其量是半符号化的、准公理化的一套系统。尽管如此，这种方法相较于传统数学的具象性特征已经发生了很大的转变，这是宋金元时期中国数学发展的重要成就。

2.3明代勾股发展

中国传统勾股术，甚至是整个中国传统数学，先后经历了先秦两汉、魏晋南北朝和宋金元时期的三次发展高峰，取得了辉煌的成就，遗憾的是到明代未能得到继承和发扬。有学者在研究明代数学发展时将之分为三个阶段：第一阶段——自明初至15世纪中叶,中国古代汉唐《十书》和宋元算书大都处于荒废状态，诸多著作无迹可寻；第二阶段——从十五世纪中叶到十六世纪中叶，算学发展再入低谷，宋元数学取得的成就至此已鲜有人能领会，几成绝学；第三阶段——自十六世纪中叶至1644年明王朝覆灭，商业数学盛行，珠算得到广泛而快速的发展，同时西方数学开始随传教士们输入中国[9]。

伴随着传统数学衰落，勾股术发展也相应受到抑制。勾股术在明代并未得到进一步的发扬，明代数学家对它的研究大多集中于对前人成就的整理，如顾应祥（1483—1565）的《勾股算术》《弧矢算术》，周述学（生卒年不详）的《神道大编历宗算会》等，鲜有超出前人的成就出现。明末西方几何学知识在中国传播，对中国产生了重要影响。

3西方三角学知识在华的传播与影响

3.1明末清初西方三角学知识的传入

明末，耶稣会士进入中国传教，为取得封建统治者的信任，他们借助改历的契机，翻译编著了一批天文学数学著作。在传入的数学中，影响最大的当属1607年利玛窦与徐光启合译的《几何原本》前6卷。翻译所用的底本取自利玛窦在罗马神学院时的老师德国数学家克拉维斯（Clavius C，1537—1612）的十五卷拉丁文评注本，但徐、利二人将卷中前人和克拉维斯的评注全部删去，只译撰了原文[10]。徐光启自言，翻译的方式是“口传，自以笔授焉，反复辗转，求合本书之意。以中夏之文，重复订正，凡三易稿”。[11]也就是说由利玛窦口头翻译，徐光启撰写，再共同斟酌译文，然后徐光启参照中国传统数学的内容，重新修改后成文。这6卷主要论述平面几何学，在公理化的组织下，近180个命题已然构成一个紧密而严谨的体系，这也标志着公理化方法正式在中国的着陆。[12]后徐光启回家丁忧期间，他根据利玛窦早年翻译的关于测量法的一部草稿，用《几何原本》的定义，参照《周髀算经》和《九章算术》进行整理和说明，编撰完成《测量法义》，用《几何原本》的定理对我国古代已有的证明方法加以严密化，创造出一套与我国古代系统完全不同的证明[13]。徐光启又加以引申，编撰了《测量异同》《勾股义》两书。《测量异同》意在对古法九章测量与新法相比较，推求它们之间的区别，是《测量法义》的补充和继续。《勾股义》又是《测量异同》的继续，用《几何原本》和《测量法义》的基本定理来解释和补充中国传统测量方法的“义”。

徐光启对《几何原本》中的逻辑推理体系极为推崇，他开始将这种理论推广到科学技术的其他领域。1629年，徐光启主持历局工作，开始编修《崇祯历书》。徐光启十分重视理论体系的构建，他重用了一大批传教士参与《崇祯历书》的编写，书中涉及了大量西方三角学的知识。邓玉函编《大测》二卷和《割圆八线表》六卷，《大测》主要探讨三角八线的性质，并着重介绍三角函数表的构造和使用。《割圆八线表》是一个有度有分的五位小数三角函数表，八线为正弦、正切线、正割线、余弦、余切线、余割线、正矢、余矢。罗雅谷（Jacques Rho，1593—1638）撰《测量全义》十卷，较为系统地介绍了平面三角学与球面三角学的公式。

3.2对明清数学发展产生的影响

西方三角学知识的涌入，对中国传统勾股术发展产生了冲击。尤以公理化方法的传入最为明显，这使得中国传统数学重实用而轻理论的弊端暴露无遗。徐光启撰《测量异同》时就曾说明了这个问题：“《九章》算法勾股篇中，故有用表、用矩尺测量数条，与今译《测量法义》相较，其法略同，其义全阙。”[14]但《几何原本》这样一部抽象的、演绎式的逻辑体系著作，对于许多深受中国传统文化熏陶的学者而言是不可能顺利接受的。同时，自明末改历开始的中西之争一直持续，为了弄清孰优孰劣，从而对它们进行比较，这就出现了一个会通中西天文学、数学的时期。

清代数学家梅文鼎（1633—1721）是中西数学会通发展影响下的重要代表。他的著作《勾股举隅》《几何摘要》《几何通解》中都出现了探讨点、线、面以及一些数学基本概念的定义，这些东西无疑是受到《几何原本》传入的影响。但他推崇“西学中源”的思想，认为传统的勾股数学就是西方的几何学，这一观点在他的数学著作中屡次出现：“几何不言勾股，然其理并勾股也”，“故其最难通者，以勾股释之则明”，“勾股之用于是乎神，言测量至西术详矣，究不能外勾股以立算，故三角即勾股之通变，八线即勾股之立成也”，“西法用三角，犹古法用勾股也”[10]。至清中期《数理精蕴》出版刊行，这种“三角测量不出勾股”的观点仍是中国数学界的主流思想。

梅文鼎最重要的贡献在于，其所著《勾股举隅》《几何通解》中建立了一套独特的证明体系，即从勾股定理这一事实出发，利用“圆验法”证明了中国传统勾股术中的绝大多数的和较公式，有利用这些公式推导出平面几何中的有关问题。从他的工作中也可以发现中西数学之争逐步从对立走向会通，在很多清代学者一时无法接受《几何原本》《崇祯历书》中所蕴含的思想时，他们迂回地通过对梅文鼎著作的解读了解了西法几何学，包括三角学。这是西方数学传入中国后，与中国传统数学相融合发展的产物。

4对汤若望认识的评析

汤若望对中国传统勾股术的评价有其合理的一面，他从勾股术出发抓住了中国数学的要害，从纯粹的数学发展的角度，否定了中国传统数学本身的实用性和具象性。事实也是如此，这些特性限制了中国传统勾股术更进一步的发展，也导致了中国数学在近代的落后。尽管西方的公理化思想在传入初期并没有立即被接纳，但它的优越性并没有被否认，对中国传统数学产生了巨大的冲击，使得明清数学家们重新审视传统数学，使中西勾股学在会通中不断发展。

汤若望对传统勾股术的认识也有其欠妥的一面。金元时期包括《数书九章》《测圆海镜》等在内的一些算书，已经将数学方程与勾股问题结合，作为解决一般三角形问题的方法，甚至有些“术文”所描述的方法对于一般三角形也是适用的。所以汤若望在《新法历引》中对于中国传统勾股学“不过泥于直角一形”的评价是有失公允的。对于“五和五较”问题，汤若望给予了一定的认同，但是将“和较”作为中国传统勾股发展的归纳并不聪明。单纯的“和较”问题可以追溯到《周髀算经》,而李冶《测圆海镜》中的“五和五较”显然只是研究“容圆”问题的工具，将之与容圆问题的结合并利用天元术解决问题才是李冶研究的重点。同时“设二求三”作为一种解题条件，并不能看做是中算的弊端，即使是西方数学，其解题的办法也不外乎这种设求关系，只是它把“设”的范围更加扩大。

汤若望对中国勾股术存在的不合理评价，笔者归纳了4个原因：

一是汤若望撰写《新法历引》的意图。前文提到《新法历引》的刊印时间在1659—1661年之间，此时汤若望已将《西洋新法历书》进呈给清廷，在清初改历工作中做出突出贡献，被任命执掌钦天监，彻底掌握了新修历法的编撰和刊行，西历在经历了明末中西历法之争的失败后终于大获全胜。清初再次受到传统势力的压迫，他及时刊行了一些新的篇目，《新法历引》就在其中，希望通过中西历法的对比体现出西历的优越性，从而巩固自身的地位，促进西历在华更广泛的传播，发展传教事业，这也正是他身为传教士的职责所在。

二是汤若望对中国勾股术发展的了解并不透彻。汤若望在《西洋新法历书》的编纂中的确起到了极其重要的作用，但其中由汤若望完成的篇目多集中于天文部分。虽参与译编《恒星历指》《八线表》《比例规解》《测量全义》等书，[15]但几何学知识并不是其专攻。那么对于汤若望这样一个传教士来说，西学尚且如此，中国传统数学更不可能是他学习的重点，他对于中国勾股发展究竟如何并无透彻的了解。

三是明代数学衰微。汤若望进入中国已是明末，即使是明中期，如顾应祥、周述学这样的数学家，尚且对于中国传统数学的一些重要成就不能理解。勾股术发展停滞不前，正是汤若望所见的中国勾股术状况，此时的勾股术与舶来的西方几何学相比，其差距是十分明显的。同时中西数学发展遵循着两条不同的路径，中国传统数学的实用化倾向和西方的公理化方法差异迥然。中国勾股术的发现和发展多是伴随着客观实际的需要，这使得中国勾股术重实用轻理论的特点非常鲜明。这种特点因为没有理论基础作为支撑，极易给人一种根基不稳的错觉。

四是受其他西方传教士对中国传统勾股术评价的影响。当时传教士整个群体对中国勾股术的评价都不高，如邓玉函在《大测》中言：“《九章》算多以三测一，独句股章以二测一，则皆三角形也。其不言句股者，句与股交，必为直角。直角者，正方角也。遇斜角，则句股穷矣。分斜角为两直角，亦句股也。遇或不可得分，又穷矣。三角形之理，非句股可尽，故不名句股也。句股之易测者，直线也，平面也。测天则圜面曲线，非句股所能得也。……历家以句股开方展转商求，累时方成一率，然不能离径一围三之法，即祖率已繁，不复能用。况徽率乎？况万万亿以上乎？是以甚难而实谬。”[16]邓玉函开篇即讲明中国古法割圆术繁且难，所得结果并不精确。而西方三角学内容丰富，函数值精度高，远非传统勾股术所能比，所以西法优于中法。罗雅谷也在《测量全义》中也提到：“古法用弦数推步七政，必须勾股、开平、立、三乘方等术，至繁而易紊，用力多而见功少，今悉置不用。”[17]他再次指出中国传统方法的劣势，认为西方三角术非中国弧矢勾股术可比。这种论调在明末清初传教士群体中是普遍的，汤若望正是顺承了这种观点。

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