探寻“变与不变”中的数学规律
——“分数的基本性质”教学案例及反思

江苏南京市江宁科学园小学 张 伟

“分数的基本性质”是一节经常被教师们选来进行公开课执教的课例，通常来说总会遵循以下几个流程展开教学：先看图写出分数，找到一些分子分母不同但大小相等的分数，初步感知分数间的相等关系；再通过操作活动寻找与1/2相等的分数，并写出一组分数相等的式子；接着组织学生观察每个分数的分子、分母的变化情况，以及分数大小不变的事实，感受规律的客观存在；最后引导学生结合探究感受，归纳出分数的基本性质。

如上所述，学生确实能经历观察、操作、思考、归纳等数学活动，但在探索“分数的基本性质”这一规律时，学生几乎都在教师主导下进行着线性的学习，原本可以自然生长、思维开放的过程被严重束缚，而学生的主动发现、自我建构显得十分不足。为此，笔者重新进行了教学设计，力求让学生在“变与不变”中探寻分数中藏着的特有规律，在观察操作中获得探究乐趣，在猜想验证中完成自我建构，收到了良好的效果。现选择其中片段加以整理，与大家交流。

一、案例呈现

（一）谈话引入

师：想一想，你们能找到两个形式不同但大小相等的整数吗？

生：找不到，每个整数的大小都各不相等。

师：是的，任何两个形式不同的整数，它们的大小都不可能相等。那能找到两个形式不同但大小相等的小数吗？

生：可以的，比如0.2与0.20。

师：依据是什么？

生：小数的性质。

师：我们最近学习了分数，它可能有什么性质呢？能找出两个形式不同但大小相等的分数例子来吗？

（二）教学新知

1.揭示分数相等的例子

师：看屏幕，从这个小故事中，你能发现哪两个分数相等？

（课件出示猴妈妈分饼图，两只完全相同的饼，第一只小猴分得这块饼的1/4，第二只小猴分得另一块饼的2/8）

生：1/4=2/8。

师：接着看下面的涂色卡，能用分数表示出涂色部分吗？你又发现了什么？

生：2/6=3/9。

师：最后看这两条数轴图，能在数轴上描点表示出分数3/4和6/8吗？能想到什么呢？

（课件出示数轴图，并依据学生发言标出相应分数）

生：3/4=6/8。

师：根据上面三组分数相等的例子，我们发现大小相同的分数确实存在。

2.引导学生深入思考

师：是不是每个分数都有和它相等的分数呢？和它相等的分数到底有多少个呢？咱们以1/2为例，找出与1/2相等的分数。好吗？

生（齐）：好！

提供学习研究材料（若干张相同大小的正方形纸片、数轴图），并出示活动要求：

①找与1/2相等的分数。

②想办法说明找到的分数与1/2是相等的。

③小组里交流想法，选出代表准备汇报。

师：你们找到哪些分数与1/2相等呢？

生：2/4，4/8，8/16……有不少呢！

师：请小组派代表来汇报，是怎样找到这些分数的。

生1：我们是用两张相同大小的正方形纸片，通过折出1/2与2/4，发现表示1/2和表示2/4的部分是一样大的，说明1/2与2/4相等，并且用同样的方法，我们还发现4/8和1/2、2/4都是相等的。

生2：在数轴图上，1/2、2/4、4/8、8/16的位置是相同的，所以它们都是相等的。

生3：利用分数与除法的关系，我们可以得出1/2=1÷2=0.5、2/4=2÷4=0.5、4/8=4÷8=0.5、8/16=8÷16=0.5。

3.探索变化中的规律

（黑板上板书：1/2=2/4，1/2=4/8，1/2=8/16）

师：仔细观察，每组等式中分数的分子、分母变了吗？是怎样变化的？

生：1/2的分子和分母同时乘2，得到2/4。1/2的分子和分母同时乘4，得到4/8。1/2的分子和分母同时乘8，得到8/16。

师：从上面的例子，你能发现什么？

生：分数的分子、分母同时乘相同的数，分数的大小不变。

师：是的，从刚才1/2的例子中，确实有这样的发现。那是不是所有的分数，当分子分母同时乘相同的数，分数的大小都不变呢？

生1：是的！

生2：我觉得刚才只是以1/2为例有这样的规律，其他分数还不一定呢！

师：确实，在数学上仅凭一个特例就得出结论不够严谨，也不科学。但我们可以将这个发现当作一个猜想（在之前的结论后面打上一个“？”），下面我们来一起——

生：验证！

师：怎么验证呢？

生：我们可以举任意一个分数，将它的分子、分母同时乘相同的数，看看大小变了没有。

师：以“任意”分数为例是不是更有代表性，更加有说服力了？

生：嗯，我们举的例子应该尽量全，将所有类型的分数都包括进来。

师：好，那我们就试着举出些典型的分数例子来！

（学生独立举例，有真分数、假分数）

师：谁来交流一下你的例子？

生1：我写的是2/5，将分子和分母同时乘以2后，得到4/10，通过画图，发现表示2/5的涂色部分和表示4/10的涂色部分一样大，这两个分数的大小应是相等的，符合我们的猜想。

师：通过动手操作，观察涂色部分，发现了两个分数相等，很好。

生2：我举的例子是9/8，将分数分子分母同时乘以125，得到1125/1000，用分子除以分母，发现这两个分数都等于1.125。

师：你还想到了假分数，并且用上了分数与除法的关系，比较起来也很方便。

生3：我举的例子是4/4，分子分母同时乘以2后得到8/8，它们的大小没变，都是1。并且分子分母同时乘以3，4，5……得到的分数大小都是1！

师：谢谢同学们展示了这么多例子，我想知道有没有找出例子不符合上面的猜想的？

生1：没有！

生2：但是我要补充一点，分子分母同时乘的数不能是0，因为如果同时乘以0，乘了之后分母变成0了，就没有意义了，0要排除在外。

师：讲得真棒！现在我们能得出结论了吗？

生：可以了。

4.完善分数基本性质

师：回顾刚才的探索过程，我们从一组等式出发，探寻出其中的规律，并据此提出猜想，加以验证，得出了一个科学的结论。其实这个结论换个视角来看（借助手势比画），也可以说分数的分子、分母同时——

生：除以相同的数，分数的大小不变。

师：对的，从这样的视角来看待这个规律也是有价值的！当然，这儿相同的数仍然要将0排除在外，你们同意吗？

生：同意！

（三）联系提升

1.回顾商不变的规律，沟通新旧知识间联系

师：今天我们共同探究出了分数的基本性质。大家轻声读一读，和我们以前学过的什么规律很相似呢？

生：商不变的规律！

（屏幕出示商不变的规律）

师：其实，运用商不变规律，不计算也可以帮助我们进行验证这两个分数是相等的！同意吗？

生：同意！

2.提前孕伏，引发学生对学习的好奇心

师：其实，数学就是这么神奇，很多知识间本身有着千丝万缕的联系，等到我们上六年级的时候，又会学习一个新知识，这个知识跟咱们今天所研究的分数基本性质也有着奇妙的关系哦！

……

（四）巩固练习（略）

二、案例反思

一节课的时间总是有限的，在这有限的时间里，如何让学生更好地达成学习目标应该是进行教学设计时最要考虑的。因此，在教学中瞄准重点、合理取舍，就显得特别重要。本课教学固然要关注结果（分数的基本性质是什么？），但更要关注过程（分数的基本性质是怎么发现的？），在有限的课堂学习时间里应充分激发学生主动探索的求知欲，组织学生动手操作、合作交流，有意识地渗透“猜想验证”的研究方法，让学生经历知识发生、形成、发展的全过程，感悟数学严谨理性的科学精神，这样的教学才会更自然、更深刻！

（一）在“变了”与“不变”中激发探究

从学生认知规律出发，教材先后安排了整数、小数及分数的学习。每一类型的数其实都有着比较特殊的性质，比如：为了清楚区分表示数量多少，整数有着比较明显的唯一性，即两个不同的整数有大小之分。小数里却有着大小相等，但计数单位不同的若干等值小数，这也就是小数的性质。那分数有什么样的性质呢？也具有和小数类似的等值变形的特点吗？从学生已有认知的经验出发，点燃学生学习和探究未知领域的好奇心。

在数次教学实践尝试后，笔者发现学生对分数形式不同但大小相等的分数有过接触，只是没有系统地研究，认识上比较模糊，更缺乏对分子、分母变化的观察。所以在教学初始，笔者利用“小故事”“涂色卡”“数轴图”等环节，直观引出“形式不同，但大小相同的分数确实存在”这一客观现实（如：1/4=2/8，2/6=3/9，3/4=6/8），接着又引导学生继续深入思考：“是不是每个分数都有和它相等的分数呢？和它相等的分数到底有多少个呢？”最后以1/2为例展开探究，学生参与度高，并能充分利用到刚才获得的经验（观察折纸涂色部分，数轴，联系除法等），来帮助说明找出的分数与1/2相等。在得出几组分数相等的等式后，组织学生观察分子、分母是怎样变化的，在变化的同时什么又是不变的，学生在经历观察、思考、归纳后，探究出了对“什么在变，什么不变”的规律性认识，“分数的基本性质”的雏形也就水到渠成了。

（二）于“猜想”与“验证”中自我建构

数学上如“分数的基本性质”一类的知识，由于本身的抽象性，通常造成学生经历的学习过程比较干瘪，期间仅仅收到静态的结论，至于数学思想方法、活动经验往往都无从谈起，这也造成了学生自我建构的缺失。其实，诸多数学知识都应是经过“同化”与“顺应”的方式纳入原有认知结构的，这其中既包括知识技能层面的内在联系，也有思想方法层面的触类旁通。

比如本课，学生初步以1/2为例探究出“分数的分子、分母同时乘以相同的数，分数大小不变”，显然结论下得为时过早，笔者将学生思考的方向及时进行了疏导：仅凭一个特例是不足以当作一个科学结论的。组织学生在更大范围内进行验证，从而将学生的“一个特例”推广到“任意分数”，而这个过程就是让学生充分经历运用“普遍的科学方法”来研究数学问题的过程，即“提出猜想”“进行验证”“得出结论”。正是因为“猜想—验证”，学生经历了从特殊到一般的思考研究过程，对于新知的建构才会自然发生，不断完善。接着，通过回顾商不变的规律，沟通商不变规律与分数基本性质之间的内在联系，学生的认知结构再次得到了提升，能尝试从数学演绎推理的高度去理解分数基本性质了。这些活动的开展也为后续进行其他研究积累了基本经验，相信学生的思维经过长期类似的磨砺，他们思考问题会越来越严谨、理性。♪