算法思想和方法的西传及对近代微积分的影响

蒋 谦

(湖北省社会科学院哲学所,湖北 武汉 430077)

一、引言

在以往的观点中,通常认为近代微积分的产生得益于工业革命和资本主义生产方式的发展以及求解实际问题的需要。这自然是有道理的,但是并不全面。这样的观点忽视了思想文化的独特性,忽视了历史上不同文化之间的相互影响作用,包括非西方的科学思想文化对近代微积分所产生的积极影响。对此,一些学者已有所认识。我国著名数学家吴文俊先生早在20世纪70年代中期就指出:“到西欧17世纪以后才出现的解析几何与微积分,乃是通向所谓近代数学的主要的两大创造,一般认为这些创造纯粹是西欧数学的成就。但是中国的古代数学决不是不起着重大作用(甚至还是决定性的作用)的。”[1](P6)他甚至断言:“微积分的发明乃是中国式数学战胜了希腊数学的产物。”[1](P8)但客观上讲,吴文俊先生的观点似乎在学界并没有引起足够的重视,相关的研究并没有全面展开。特别是中国式数学到底有哪些本质特征,到底是它的哪些方面并以什么样的方式对近代微积分的形成产生了决定性的影响,而这种数学又是怎样或通过什么途径传播到西方并被西方所接纳的,等等,这些都是需要进行深入研究的。在本文中,笔者未有宏大之构想,仅尝试将中国古典数学纳入到包括印度、阿拉伯数学在内的东方数学“板块”当中,从东方数学(包括处理微积分问题)的基本特性入手,在梳理东方数学(文化)西传欧洲的基本脉络的基础上,重点探讨东方算法思想和方法对近代微积分理论形成的某些影响,从而论证恩格斯关于微积分的发明是“人类精神的卓越胜利”这一基本判断[2](P158)。

二、东方算法数学处理微积分问题方面的独特性

提起古代巴比伦、印度、中国的数学,人们普遍认为,它们的一个显著特征就是长于数量的计算。早在古巴比伦时期,“巴比伦人用一种位数权值体系的重要技巧,对所有的数、包括整数和分数进行运算。他们开创了非常方便的六十进制,我们在度、分、秒的角度计量和时间划分上仍然保持来自他们的传统”[3]。印度的数学同样表现在算术计算方面。他们称数学为ganita,意思就是“(计)算(科)学”。公元5至12世纪是印度数学的全盛时期。这期间,印度人能够毫无困难地接受负数和无理数,其不定方程方面的成就超过了亚历山大时期的丟番图所达到的水准。大约公元6世纪,印度产生了十进位制数码;在公元628年左右,数学家婆罗摩及多给出了正负数的四则运算法则。可以说,“古代印度对现代科学的最大贡献是我们现在用的记数法,以及一般代数演算方法”[4]。其实,印度的记数法大大晚于中国的十进位记数法。中国早在战国时代(公元前4世纪)就已经使用空位来表示0号;早在汉代,中国数学已经有了明确的负数概念及其计算法则。这种算法体系的成就集中体现在《九章算术》当中,其地位和影响正如德国数学家福格(K.Vogel)在其德文译本《九章算术》序文中所说:“《九章算术》所含246道算题,就其丰富内容来说,其他任何传世的古代数学教科书,埃及也好,巴比伦也好,是无与伦比的”[5](P320-321)。

值得注意的是,东方数学的算法特性使得它们能较早并且有效地面对和处理微积分现象和问题。以中国古代数学为例。首先,以十进制小数为核心的实数系统,实际上已经形成极限概念,而极限概念是微积分的基础。从这个意义上说,中国古代数学的十进位制为微积分的形成奠定了基础[6]。其次,中国古代数学很早就面对和处理无理数这样的问题,而无理数的确立又是建立实数系最关键的一步。运用这套实数系统解题,本身就是一种极限概念的具体应用,而且依靠古代人的智慧,他们具有了逼近的思想和技巧。如在《九章算术注》的“割圆术”中,刘徽秉承了中国古代数学特别注重“率”的算法技巧,通过“偏差率”的计算逐步逼近所求数值[7]。为此学者们认为,刘徽的思想建立了通向微积分的主要步骤,比古希腊学者更接近于现代微积分思想。甚至认为,刘徽在其“割圆术”中成功地将极限的观念运用到数学中,这在世界上尚属首次[8]。类似地,在圆锥和球的体积的“证明”中,刘徽的“阳马术”同样娴熟地运用了算法的技巧。受刘徽关于体积计算的启示,祖冲之、祖暅父子借助于“牟合方盖”计算球体体积的方法解决了球体体积的计算问题。对此,李约瑟认为,在求得圆周率数值过程中,为达到更为精确的目的,祖冲之、祖暅父子运用“密率”方法以求逼近,是一个非凡的成就[9](P226)。吴文俊也指出,近代欧洲数学家卡瓦列里(B.Kavalierl)的原理实际上在他们父子的工作中就已经表现出来,而时间上后者早了1 100年[1](P8)！此外,李约瑟还列举了沈括的“造微之术”以及周述学在《神道大编历宗算全》(1558年)中给出的在角锥内把球累成十层的图解说明等,认为中国人“有一些关于无穷小、穷竭法和微分的概念的基础”[9](P316)。

再来看印度数学,其处理微积分的方法同样是算法的。首先,印度的数字和位值制计数法在微积分思想形成中具有重要的作用。正如美国数学史家卡尔·波耶(Karl B.Boyer)所说:“印度数学家对这门学科的数字方面的强调,以及印度的数码和位置记数法的原理(后者亦曾为巴比伦人所采用)的运用,自然更有利于代数的发展,从而也有利于以后微积分运算方法的发展。”[10](P68-69)例如,印度数学家善于将曲面转化为直线型物体,将弯曲的曲面分解形成无数个小曲面。由于分解的个数无限多,所以小曲面可以直观地看作是平面图形而加以计算。基于此,数学史家斯瑞尼瓦森格(C.N.Srinivasiengar)认为,印度数学家在求解球的问题时使用了极限的思想。他甚至认为12世纪印度最杰出的数学家和天文学家婆什迦罗才是发明微积分的先驱[11]。公元8世纪,印度耆那教徒维拉圣奴(Virasena)在其数学著作中给出圆台体积准确公式。其中的计算过程类似于刘徽在求鳖臑体积公式所采用的无限分割方法,即把所要给出的立体体积归结为一系列由体积构成的无穷数列之和,把空心圆台体积视为其部分和的极限[12](P292)。在近年的研究当中,印度理工学院(孟买)的Krishnamurthi Ramasubramanian在《印度数学中的无限》论文中证明,在婆罗摩笈多和巴斯卡拉(12世纪)等人的著作中,已使用零的运算来定义无限算法[13]。

还有,印度数字体系中的“0”,与微积分的关系十分密切。正如婆什迦罗在他的《根的计算》中所计算的,以“0”作为分母可以得到无穷大的量,而无穷大的量就像不变的上帝一样[12](P366-367)。很显然,无穷大的概念就兴起于某数除以“0”的思考当中。关于“0”的概念和数字符号的至关重要性,法国大数学家拉普拉斯给予高度评价:“如果我们记住,古代两位伟大的天才阿基米德和阿波罗尼奥斯竟然忽视了‘0’的概念,我们就充分认识到这一成就是多么伟大了”[14](P115-116)。德国哲学家、辩证法大师黑格尔也说,“微分可以当作真正的零来看待和对待”[15](P220)。美国著名科普作家阿西莫夫甚至不无遗憾地说,如果若干世纪后,哪位慈善家能够通过“时空隧道”把阿拉伯数字赠送给阿基米德的话,也许他会在牛顿之前两千年就发明出微积分[16]。

最后要指出的是,东方数学中的算法(包括微积分的解法)不只是孤零零的一种方法,它实际上与东方诸民族的文化传统、思想观念、认知方式等有着密切的“连带”关系。首先,作为一种文化,算法倾向与东方人关注日常经济生活、强调“经世致用”的价值取向有关(尤其是在中国)。根据汉语字源学,“算”字的古体字“筭”中含有“弄”(摆弄某物)之意。其次,算法倾向与一定的思想观念互为依存、相互作用。具体到微积分领域,这些思想观念蕴含着某种“微积分的形而上学”[10](P6)。研究表明,刘徽的数学思想受到了《周易》、名家、道家等思想家和流派有关运动变化、连续、无限可分、极限等观念的影响。其“割圆术”很可能受到名家“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的影响[17]。按照前苏联著名印度学和佛教学家舍尔巴茨基(Fědor Ippolitovich Stcherbatsky)的解释,印度佛教的“刹那”这种“非连续的、唯一的、分离的东西是一切持续性的极限并且被当做某种绝对的数学的点刹那的最终存在”[18](P128)。因此,“数学的极限应该是印度学者们熟悉的”[18](P127)。与之相反,古希腊学者以静止的眼光看世界,对无限、极限等概念缺乏一以贯之的、明确的认识,甚至对“无限”充满恐惧。正如美国数学史家C.H.爱德华所说:“希腊人总是谨慎地避免明显地‘取极限’,这种精神上‘对无限的恐惧’,或许是使得穷竭法逻辑不甚清晰的原因。”[19]如从理论上说,希腊人发明的“穷竭法”可以使分割无限进行下去。然而,在将其引入数学证明时却从未使用过无穷小量和极限思想。他们的分割总要有一个剩余,分割到某一步后必须采用双重归谬法来证明已知命题。最后,算法倾向体现了非逻辑的认知方式。如对于《九章算术》“勾股章”葛缠问中求葛长的问题,刘徽就是通过笔管缠青线的类比方法,获得了由“曲”到“直”的认识[20]。这种 “凡物类形象,不圆则方”及“推理以辞,解体用图”的认知方式,没有希腊人那种脱离实际的纯逻辑的形式主义弊病。而希腊人由于过度注重定义的明晰性、公理的自明性和推理的严密性,注重问题的逻辑前提,“成了自己逻辑那种线性的非此即彼取向的奴隶。结果,他们的想象力受到拘束,这就使他们难以构想‘0’的概念”[14](P116)。

三、算法思想和方法的西传

数学的历史表明,东方算法思想和方法传入西方是一个漫长而持续的过程。早在埃及文明、巴比伦文明时期,一种比较原始的算法思想就已经形成。这构成了东、西方算法思想的某些最早的传统。但是,近代微积分的形成恰恰是在这一传统中断的地方重新开始的。因此对于中世纪的欧洲数学来说,中国、印度和阿拉伯算法思想的西传,其影响价值显得非常重要。

早在公元8世纪哈里发曼苏尔在位的时期中,许多印度学者前往巴格达,在他们所带的书籍中就有关于数学和天文学的著作。这些书籍对阿拉伯世界的数学和天文学①发展影响极大。其中印度数字也随之传入阿拉伯,这一点从词源上就可以看出。阿拉伯人把这些数字叫做“印度数字”(Figures of Hind)。阿拉伯文字中的数字是“兴德萨”(Hindsah),意思就是“从印度来的”(From Hind)[21]。虽然9世纪后半期的西班牙穆斯林也发展了一套数字,被称为“尘土字母”(huruf al-ghubar),形状与印度数字略有不同(原来是应用于某种沙土算盘上的),但大多数学者认为这种数字像印度数字一样,也是导源于印度的[22](P686)。大约在公元1000年,巴格达的数学家完全采用了印度人的数字系统。他们把印度的数字“sunya”(0)翻译成阿拉伯语的“sifr”(空白)。起初,“cipher”只表示数字系统里独特元素“0”,后来整个阿拉伯数字系统都成了“cipher”系统。这也就成为后来我们称之为印度—阿拉伯数字的最初来源[23]。著名历史学家希提指出:“如果继续使用旧式的数字,而要数学沿着某些路线前进,那是不可能的。计算的科学能有今日的进步,应该归功于零号和阿拉伯数字。”[22](P687)

这里要特别提到的是中世纪阿拉伯伟大的数学家花拉子米(al-Khowarizmi Mohammed ibn Musa)。他著有《印度算术书》和《代数学》两部重要数学著作。前者被认为是以印度数码表示的十进位值制记数及其运算方法传入欧洲的开端,后者则讨论一、二次方程的解法,被西方认为是代数学的始创。花拉子米还著有《积分方程计算法》,这本书一直是中世纪欧洲各大学主要的教科书,并沿用到16世纪。从历史贡献的角度来看,花拉子米的工作恢复了巴比伦和印度的传统。因为他把“量”作为纯粹的数而不是作为几何量来进行研究,并且把解题议程归结为一些运算程序即算法。我们今天讲到的“算法”(algerithm)一词就是由这位作者的名字演变而来的。

必须看到,更具特色的中国算法数学首先对印度、阿拉伯产生了直接的影响,然后又通过它们对西方世界产生了深远的影响。它包括十进位值制体系和一些重要的算法,如“盈不足术”“百鸡问题”“贾宪—杨辉三角”等。李约瑟早就明确指出:“代数学是在十三、十四世纪从阿拉伯传入中国的,但有更多证据说明,它在更早的时候从中国传入印度和欧洲。”[9](P117)例如,“赵君卿在2世纪(3、4?)注释《周髀》时所用的勾股定理证明,在印度婆什迦罗(1150)的著作中再次出现。1世纪《九章算术》中的弓形面积计算法,也在9世纪摩诃毗罗的著作中再次出现。3世纪《孙子算经》中的不定方程问题,可在婆罗摩芨多(7世纪)的著作中找到。而阿耶波多(5世纪)著作中的几何测量问题,则和3世纪刘徽著作中的问题很相似。”[24](P221)由于花拉子米在842-847年曾出使波斯以北并充当东西方商业要冲的西突厥可萨国,而可萨国通中国语、行中国礼仪,李约瑟认为花拉子米可能是最先接触到“中国算法”(hisab al-Kata’in)的阿拉伯数学家。当代的研究证明,印度的十进制实际上是从中国传过去的。阿拉伯数学家萨马瓦尔(al-Samaw’al)在1172年用阿拉伯文写的算法书中已经接受了中国的十进制。至15世纪,阿拉伯世界已经正式命名并系统发展十进位值制。同样,《九章算术》中的“盈不足术”于9世纪传入阿拉伯帝国。后来的阿拉伯数学家,例如黎巴嫩人库斯塔·伊本·卢卡就引用花拉子米的《中国算法书》,并予以证明,写出了《对中国算法证明之书》。而花拉子米、卢卡所说的“中国算法”就包括了《九章算术》中的“盈不足术”[25]。对于欧洲数学来说,中世纪意大利杰出的数学家斐波那契(Leonardo of Pisa)的《算盘书》中,存在许多与中国古代数学中相近的算法,如分数算法、衰分算法、盈不足术等[26]。正如美国数学史家卡尔宾斯基(L.C.Karpinski)在其《算数史》一书中说:“Fibonacci巨著中所出现的许多算术问题,其东方源泉不容否认。不只是问题的类型与早期中国及印度相同,有时甚至所用的数字也相同。因此其东方根源是显然的。”[27]德国数学家福格(K.Vogel)在其德文译本《九章算术》序文中说:“好多欧洲中世纪的算术教科书中的算题都可以在《九章算术》中找到。”[5](P320-321)

总之,正如日本数学史家佐佐木力(Sasaki Chikara)所指出的,伴随着这一漫长的历史进程,到17世纪时,一个巨大的“欧亚数学”(Eurasian mathematics)板块已经形成[28]。

四、对近代微积分产生的若干影响

从本质上来说,近代微积分的形成源于寻找到一种有效的算法,而西方近代以前的数学传统并不能直接提供这样一种算法;另一方面,从历史比较的角度看,东方的算法正处在一个繁荣时期,有些方面即使在今天看来也已达到了很高的水准。即便如此,我们似乎也不能在东方算法与近代微积分之间作简单的、机械的关联(似乎难以寻求直接的“触发点”)。那种体现在数学家个体身上的创造性闪光点在东方算法思想背景上的投影,许多时候并不那么清晰和分明。但是总的来说,从长时段、大范围的角度来看,东方算法思想和数学方法的西传对近代微积分的影响,是不容忽视的。笔者认为,这种影响是深沉的、持久的、关键性的和启发性的,具体表现为以下四个方面。

第一,确立了“拟经验”的数学范式,为微积分的产生提供了新的“土壤”。数学范式的转换决定了数学研究对象、问题集、研究方法、范例和基本手段的整体性变更。它虽然并不提供某一具体数学难题的最终解决方案,但却为这种解决提供“土壤”和“背景”,创造有利条件。具体到微积分来说,算法思想和方法的传入使得欧洲原有的“理论型”数学范式向“拟经验”(quasi-empirical)②的范式转折或转换,即在欧洲人的数学范式中加进了经验的内容,以填补其逻辑范式的空疏状态。用匈牙利科学哲学家、数学家拉卡托斯的话来说,是用一种“经验论纲领”代替“欧几里得纲领”(广义的知识演绎系统),或者更进一步地说,是根据经验和归纳方法从知识(理论)体系的“底部”向上“注入”其“真值”内涵。这样,整个数学体系就不再是传统意义上的封闭的演绎体系,而成为有内容(inhaltlich)的数学。正是在这个意义上我们认为东方算法思想的影响是“深沉的”。

恩格斯很早就将“经验论”与用“数学计算的形式来思维”联系在一起[2](P222)。他说:“数学演算适合于物质的证明,适合于检验,因为它们是建立在物质直观(尽管是抽象的)的基础上的;而纯逻辑演算只适合于推理证明,因此没有数学演算所具有的实证的可靠性——而且其中许多还是错误的！”[15](P229)英国哲学家、数理逻辑学家怀特海也认为,“初等数学是近代思想最具有代表性的创造之一——它的特点是通过直接的途径把理论与实践联系起来了。”[9](P336-337)如前所述,到了1100年左右,新的思潮开始影响当时的学术氛围,同时欧洲人通过贸易、旅游以及战争,同地中海和近东的阿拉伯人等发生接触,并从后者那里学到了具有阿拉伯特点的经验性和实用性的各种知识,从而促使欧洲人的兴趣转入物理世界。具体到微积分来说,“蛰伏”于经验认识活动当中的多样性、连续性和可变性与积分和导数发生关联。“运动和离散性的感觉导致微积分的抽象概念,因此感性经验可以继续为数学家提供问题,而数学家又可以自由地把这些问题化为有关的基本的形式逻辑关系”[10](P326)。从这个意义上可以说,16、17世纪欧洲数学中发生的变化,“是由于对早在十三世纪就已经从阿拉伯传入,后来在意大利得到了进一步发展的代数不那么审慎而更侧重于实用的结果”[10](P2)。例如,希腊传统的几何被改变为应用型的几何(practical geometry)。

数学家J.格瑞宾勒(Judith V.Grabiner)指出,“数学革命”(mathematical revolution)在历史上曾经多次发生过。例如,古希腊的几何学曾为来自经验科学的数学所改变,后来又被非欧几何和代数学所改变,特别是在18、19世纪,它们主要聚焦于数学的计算方面[29]。佐佐木力基于近代计算数学的发展指出,近代数学实际上是伴随着经验的增长而产生的。在题为《数学中发生了革命吗?》的演讲中,他进一步用库恩的范式理论和拉卡托斯的“准经验”概念分析了近代欧洲代数思想方法(manner of algebraic thinking)的形成和发展过程,认为到17世纪时,一种新的数学范式或数学革命已经形成。这就是“拟经验”的数学范式。这其中,莱布尼茨使用了新的微分符号(symbolic calculation),而这个符号可能又与花拉子米的算法有关。因此可以认为,中世纪阿拉伯算法数学通过莱布尼茨实现了一次数学革命或者说是一次数学范式的转换[30]。

第二,形成了新的“微积分形而上学”,为微积分理论提供了某些概念“母体”。这种新的“微积分形而上学”包括量的观念、运动与变化的观念、极限的观念、连续的观念等的形成。以量的观念为例。算法思想促使欧洲人开始从“量”而不是“质”的方面思考数学问题。例如,被称为“计算大师”的数学家苏依塞思(Richard Suiseth)在《算书》(成书于1328年以后)一书中,运用算术的工具,通过对时间区间的一个无限分割得到了一个无穷级数的等价物。这个无穷级数相当于1/2+2/4+3/8+4/16+…+n/2n+… 的和等于2。而在无限的量和无穷级数这两者之间,他特别对前者感兴趣[10](P83)。他的研究提示人们,通过算法将变量和导数引进数学是有可能的。从此以后,西方数学家转而开始对变化和运动进行定量研究。关于数以及数量的变化(数的计算)对改变数学观念方面的作用,莱布尼茨有过一个很好的论证。他说:“在数方面的观念,是比在广延方面的观念既更精确又更恰当地彼此区别开的,在广延方面,我们不能和在数方面一样容易地来观察大小的每一相等和每一超过量,这是因为在空间方面,我们不能在思想上达到某种确定的最小,在此之外不能再前进的,如同在数方面的单位那样”,“因为要清楚地认识大小就得求助于整数或其它靠用整数知道的(量度),因此就要对大小有一清楚的认识就得从连续量又再来借助于分离量”[31]。这里的“分离量”就是以整数表示的量,它具有离散的特征,能够表示几何连续量所不能表示的量的关系。“主要由于这样的缘故,牛顿和莱布尼茨都力求将这个新分析学用量的生成的感觉观念去解释。”[10](P189)

又如,印度—阿拉伯数字“0”背后承载着东方人关于“空”或“非存在”的哲学意蕴。以德国历史哲学家斯宾格勒为代表的一些学者认为,“0”的概念与印度宗教中的“空”或“非存在”思想有关。这种精神“才能够产生出虚无作为一个真正的数即零的伟大概念,甚至在那时,这个零对于印度人之所以是零,是因为存在与非存在同样是外在的”[32]。不过,就数学认识而言,“空”或“非存在”与数学上的“0”并不能直接划等号。正如美国学者卡普兰(Robert Kplan)所指出的,如果像斯宾格勒那样将“空”或“非存在”理解为什么也没有的“空白”(void)或者“空的”(empty),那也是错误的[33]。事实上,当印度数学家把“0”看作某一数而进行乘除加减时,或以一量来除以“0”被看作是无穷大(通往涅槃的道路)时,实际上他们并没有把“0”看作是绝对的空白或虚无。③但这种观念确实容易带来矛盾性的理解。例如在牛顿的公式中,他用来表示瞬的“o”显然不能被归结为毫无意义的“0”的运算,用牛顿自己的话来说,“o”只是一个具有流动性的“消失增量”。但是,在实际的推导过程中,它又是作为无限小的“0”而使用的。这个过程在马克思看来,是一个类似于“暴力的镇压”或一次“政变”的过程,因为它武断地去掉了含有“o”的项,即承认它什么也没有！尽管它后来的计算结果是正确的。这样,在逻辑上,这就产生了一个矛盾:无穷小究竟是“0”还是非“0”呢?如果它是“0”,怎么能用它去作除法呢?如果它不是“0”,又怎么能把包含它的那些项去掉呢?显然,要对数学“0”的概念有真正的理解和认知,微积分概念的发展需要不断重新认识印度佛教的否定性辩证思维以及后来的辩证法。当然,要形成这样一个辩证方法,需要一个漫长而持久的过程。

第三,刺激了数学新学科的产生,为解决微积分问题提供了新的方法。首先,东方算术和初等代数的传入将算术和代数提高到几乎和几何并驾齐驱的地位,激发了西方人的“算术兴趣”(arithmetical interest),重新引起欧洲人对代数的重视。“科学史之父”萨顿称斐波那契的《算盘书》在公元1202年的出版是“新的数字传统的主要里程碑,它标志着欧洲数学的开始”[34]。确实,在《算盘书》中,斐波那契已经按照阿拉伯人的样子讲述了一次和二次确定或不确定方程以及某些三次方程,尽管是用的文字而不是记号。而他的数学著作连同其它一些著作,在几个世纪以后“为欧洲后来在代数学方面的独立发展奠定了基础”[35]。可以说,代数在欧洲的发展,至少在开头的发展,是阿拉伯活动路线的继续。或者说,欧洲代数的发展首先是建立在算术基础之上的。正如数学史家M.克莱因所指出的:“新的欧洲数学的第一个重大进展是在算术和代数方面。印度人和阿拉伯人的工作把实用的算术计算放在数学的首位,并把代数建立在算术的而不是几何的基础上。”[36]由此可看出,东方算术和代数为后来欧洲诞生的代数学起到了关键性、基础性的作用。

同样,在解析几何方面也是如此。以中国为例,中国传统数学擅长于将几何问题数值化、代数化,客观上为几何的代数化提供了方法论资源。这种代数化的几何方法传到阿拉伯,显然会对欧洲产生间接的影响。正如吴文俊指出的,花拉子米《代数学》中处理几何的方式与中国古时几何问题中常用的“切割术”或所谓“出入相补”方法不无类似之处,即将几何问题代数化,再转变为方程问题来求解。事实上,斐波那契本人正是第一个认识到把代数学同几何联系起来具有重要价值的数学家。虽然相比较后来笛卡尔的解析几何,其间相隔了几百年,但我们不能忽视它们之间的某种联系。研究表明,作为解析几何的重要创立者之一,笛卡尔与阿拉伯的神秘主义哲学与数学确实有直接的联系。如笛卡尔曾受到流行于当时欧洲的“蔷薇十字会”的影响,热衷于追寻隐藏在图形(几何)及数字(算术)背后的含义[37]。这表明笛卡尔解析几何是有东方文化渊源的。随着解析几何在整个欧洲数学中获得普遍承认,人们能够像进行普通的代数表达式(即多项式)的计算那样来处理无穷级数,能够在代数的帮助下迅速地证明关于曲线的任何事实。正是在这个意义上,恩格斯指出,“笛卡尔的变数是数学中的转折点。因此运动和辩证法便进入了数学,因此微积分也就立刻成为必要的了”[2](P149)。

从另一方面来看,17世纪的数学一度沉迷于在传统几何的框架下寻求微积分的概念基础与方法的做法当中,使微积分的工作淹没在细节里,没有去利用或者探索新的代数和解析几何中蕴含的东西。其结果,“作用不大的细微末节的推理使他们精疲力竭了”[38]。在这种情况下,一些敏锐的数学家如帕斯卡、J.沃利斯等,试图突破这种困局,寻求算法和代数范式。而这些数学家对牛顿产生了重要影响。正如牛顿在其《普遍算术》中所说的:“人们或者像在通常算术中那样用数字进行计算,或者像分析数学家习惯的那样借助普遍变量(species,直译‘类’)来进行计算。这两种运算都依赖于同样的基础并服务于同样的目标,算术采用确定的和特殊的方法,而代数则采用不定的和普遍的方法,以致由这种运算得到的所有结论几乎都可以称作为定理。”[39]在牛顿看来,虽然代数具有算术所没有的许多优越性,但算术运算对代数来说又必不可少。两者似应相互结合而形成统一的完善的计算科学。这一点正是牛顿所谓“普遍数学”的真谛。为了验证二项级数,牛顿提出了人们熟知的数的长除法和开方法的代数形式。正是在这个意义上,牛顿认为微积分是代数的扩展,是“无穷”的代数,或者是具有无穷个项的代数。

第四,实现了认知方式的转变,为创造微积分的重大突破提供了手段。从历史上看,数学史上那些重大的突破往往是在超越演绎主义的逻辑框架的情况下最先实现的。由于算法思想(包括算术和代数)的独特认知方式,对于扭转建立在欧氏几何基础上的演绎主义的认知方式是有帮助的。例如,在笛卡尔看来,希腊人的几何存在过于抽象且过多地依赖于图形的不足,而“某种算术正日趋兴盛,它叫做代数,它使用数字的成就相当于古人使用的图形”[40]。基于此,他认为,算术像几何一样,是同样可确信的学科。从解析几何的创立过程中可看出,笛卡尔虽然采用符合现代标准的符号代数表示法,但他强调的是计算方法而不是逻辑证明。同时,算法思想和方法中所蕴含的算术直观、想象和类比等思维形式能够帮助数学家形成一些新的想法而不为逻辑的“抽象性”“严密性”所困。例如,自从引进求速度、切线、最大值和最小值等新方法以来,对这些概念的证明都被认为是不可靠的、是“可证伪的”,整个过程非常类似于拉卡托斯所描述的从问题开始,接着是大胆猜测、解决问题,然后是严格的检验、反驳的过程[41]。如果坐等逻辑上都非常清晰以后讨论这些问题,微积分是难以取得实质性突破的。正如数学家皮卡(Emile Picard)在1905年所说的那样:“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导,微积分将无以产生。”[42]我们看到,近代微积分形成过程中的认知方式与东方人的思维方式和认知方式非常切近,虽然不能说这些方式都是东方算法影响的结果,但确实不能完全排除这种影响的存在。

[注释]

① 科学史家常有“阿拉伯科学”“伊斯兰科学”两种提法。这里采用前一种提法,并在相应的意义上将“阿拉伯数学”和“阿拉伯天文学”作为“阿拉伯科学”的一个部分。

② 由于这种数学起因于算术直觉、猜测和被证伪,但又不是物理性的感觉经验,并且包含算术形式在内,因而称之为“拟经验”。参见[匈]拉卡托斯:《数学、科学和认识论》[M].林夏水,等,译.北京:商务印书馆,2010年版第一章和第二章。

③ 亚里士多德认为,“空白是一个碰巧没有物体存在的地方”。这意思与印度的“sunya”含义相近,但是亚里士多德又证明它是不存在的,因而根本放弃了这一概念。与之不同,柏拉图表达空间使用的词含有容器的意思。在希腊语中,“Theca”的意思就是一个容器。

[1]吴文俊.吴文俊文集[M].济南:山东教育出版社,1986.

[2][德]恩格斯.自然辩证法[M].于光远,等,译编.北京:人民出版社,1984.

[3][美]D.普赖斯.巴比伦以来的科学[M].任元彪,译.石家庄:河北科学技术出版社,2002:14.

[4][英]斯蒂芬·F.梅森.自然科学史[M].上海外国自然科学哲学著作编译组,译.上海:上海人民出版社,1977:83.

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