“生活经验”与“符号代数”的耦合策略

杨琴

摘 要：发展学生的代数思维，培育学生的“代数素养”是小学数学教学的应有之义。生活经验是学生代数学习的源头活水。教学中，教师可以运用“生活化孕育”“情境性迁移”和“反思式提升”等策略，让学生的生活经验链接、启发、助推学生的准代数式思维，发展学生的“代数素养”。

关键词：生活经验；符号代数；耦合策略

小学生的数学学习内容非常宽泛，主要有“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“综合与实践”活动等，其中“数与代数”是小学数学的主体。因此，加强“数与代数”内容的研究是数学教学研究的应有之义。有学者认为，学生的“代数素养”主要分为“概念理解与简单技能”“联系与应用”“推理与问题解决”三方面。就小学阶段具體学习内容而言，“数与代数”主要体现在数、运算以及数量关系上。“数与代数”的内容是抽象的，但借助学生的生活经验，就能让抽象的代数变得直观、感性、具体，就能让学生对代数产生亲近感。

一、生活化孕育：用经验链接学生的代数学习

美国教育家杜威认为，“教育即生活，教育过程就是学生经验连续不断的生长过程”。生活中潜藏着“数与代数”丰富的教学素材，孕育着“数与代数”丰富的原型。教学中，教师要唤醒学生的符号意识，敏锐学生的代数思维，孕育学生的代数思想，让学生的经验与代数匹配链接。只有当学生感受到生活与数学同在，才能引发探究代数的兴趣。

例如对于苏教版小学数学一年级上册《数的认识》，只有当学生积淀了丰厚的感性经验，如1块蛋糕、一支铅笔、一张纸、一枚硬币、一块橡皮等，学生才能抽象出具有基数意义的“1”的概念。反过来，当学生遇到5这个数字时，学生也自然会联想到5朵花、5根手指、5个人、5块糖等。不仅如此，学生对5这个数字的写法也会产生数学联想，比如5像秤钩；学生还会进行数学式的表达，形成☆☆☆☆☆、00000、11111等不同的表征方式。这是学生的符号想象、符号联想，更是学生数学符号思想的萌芽。同样，只有在物体的分与合的过程中，学生才能理解“凑十法”“破十法”等算法。如教学“9加几”，教师在引导学生操作小棒感悟“凑十法”的过程中可以变换另一个加数，如“9+2”“9+3”“9+4”“9+5”……如此，不仅让学生理解了“凑十法”，还发展了学生“变与不变”的思维。学生能够理解“无论另一个数是多少，都必须先凑成10”，能够理解“一个加数不变，另一个加数增加几，和也增加几”等。对于加法算式中“什么数发生了变化”“发生了怎样的变化”“和相应地发生了怎样的变化”等，学生都能心领神会。在这个过程中，学生不仅学会了运用“凑十法”进行计算，而且在数字变化过程中感悟到“等式”的含义，理解了“等号”的意义，对算式初步形成了结构性把握，并且关系思维的种子也悄然植入学生的头脑之中。

生活化的素材是隐蔽的、非标准的，对数学教学发挥着桥梁、纽带和中介作用。生活原型能够在学生代数学习心理上引发积极反应，形成学生代数学习的活的意向，衍生出学生代数学习的丰富表象。在数学教学中，教师应让学生充分经历从“具体直观——个性化符号表示——数学地表达”的发展和提升。这是一个逐步符号化、形式化的过程，能提升学生对数学符号意义的理解和对数学符号的运用、驾驭能力，形成学生使用数学符号的意识、能力和习惯。

二、情境性迁移：用经验启发学生的代数学习

儿童个体的数学经验分为两类：一是直接性数学经验，二是间接性数学经验。对于经验，杜威先生有一段经典的论述：“什么是经验？经验既指一种学习结果，也指一种学习过程；既指学生经验着的事物，也指学生经验后的一种感受；既指一种直观的体验，也指一种理性的思维和反思。”“教育就是经验的不断改造与重组。”在数学教学中，直接性经验是学生亲身经历的，间接性经验是学生通过比照、类推、想象等方法而获得的经验。教学中，教师要创设情境，助推学生的经验迁移，让学生的经验与代数移植嫁接。

例如教学《一一列举》（苏教版小学数学教材五年级上册），这是一种借助对具体事物、特定对象从逻辑上进行分析并将其本质内容全面地、有序地罗列出来的方法，要求学生既不遗漏也不重复。“一一列举”的核心思想是“序”与“类”。如对于这样的习题：一个班级40个人，同学聚会后要求每两个人都通一次话，相互问候，一共要通话多少次呢？教学中，教师可以通过“以小见大找规律”的方法启发学生思考。首先用画图、模拟通电话等各种方式让学生进行直观感知。学生展开关系式思维。通过找规律，让学生的经验与代数移植、嫁接：2个人通话1次，3个人通话1+2次，4个人通话1+2+3次，……再次，强化学生的关系思维，让学生类推：5个人通电话呢——1+2+3+4次，6个人通电话呢——1+2+3+4+5次，……40个人通电话呢——1+2+3+…+39次，100个人通电话呢——1+2+3+…+99次。据此，引导学生建构n个人两两不重复相互通话的次数的代数模型：1+2+3+…+n-1=n（n-1）÷2。不仅如此，教师还必须引导学生建构“寄贺卡”的代数模型：n（n-1），并借助学生的经验，引导学生进行比较：通电话你我之间只需要通一次，而寄贺卡你我之间需要相互寄，因此，从次数上看，寄贺卡的次数是通电话次数的2倍。最后，教师让学生彼此之间运用经验相互启发代数思考，“哪些生活现象和通电话现象相似，哪些生活现象和寄贺卡现象相似”，不断丰富学生的数学学习素材。

在“数与代数”教学过程中，教师要让学生借助经验充分理解知识内容。教师创设生活化情境，将代数知识放置于其中，让学生的生活经验与代数知识无缝对接，让生活经验助推学生的数学理解。教师不断优化、提炼、抽象学生的经验原型，使之形成抽象化、概括化、形式化的数学模型。

三、反思式提升：借经验助推学生的代数学习

生活经验与符号代数相互耦合，意味着教师既要直面数学知识，又要重视数学知识与学生生活经验的联系。教师既不能用初中的“代数思想”要求学生，也不能让学生停留在简单的“算术思维”层面上，而应借助学生的经验助推学生的代数学习，培养学生的“准代数意识”“准代数思维”“准代数素养”。教师要引领学生反思代数学习中出现的问题，引导学生对生活经验进行审视、反思、观照、批判，让学生从生活的感性认知上升到代数的理性认知。

例如教学《方程的认识》（苏教版小学数学教材五年级下册），尽管学生能够熟练判断怎样的式子是等式，怎样的等式是方程，但学生在初次书写方程、解方程时总是容易出现这样或者那样的错误，如在方程前面写上“等号”。尽管教师三番五次地纠正，学生还是屡犯不改，许多教师将学生的错误原因归为粗心。其实，如果我们对学生学习心理展开分析，就不难发现这是由于学生的“程序性思维”在发挥作用，“等号”在学生心里的作用就是“指示”、就是“过程操作”、就是“计算”，表示“做某事”。因此，教学中教师有必要强化“等号”的关系性质，可以借助学生经验中的“天平”“跷跷板”等，帮助学生建立等式的概念；借助砝码和物体，帮助学生建构方程的概念。在这个过程中，教师要变换物体在天平上的放置位置，让学生理解：方程中的未知数不仅可以在方程左边，也可以在方程右边，只要天平平衡，就表示等式成立；只要天平平衡，并且有一个物体，就表示方程成立。“等号”的代数意义就在于：让学生从整体上把握结构，将“未知量”与“已知量”放在同等位置。在教学中，教师必须让学生深刻理解、领悟到“方程中的未知量和已知量一样，都可以参与方程的运算”。通过对数量之间的特点、关系的不断探寻，学生能够找寻到解决问题的规律。

“算术思维”是小学生认知发展的现有水平，而“代数思维”是小学生认知发展的可能水平。在教学中，教师要引导学生反思提升，让学生借助经验，循着代数思维的发展轨迹，初步学会分析数量之间的关系，识别数量之间的结构。学生在学习变化、概括、问题解决、建模、验证、证明以及预测过程中，形成“准代数素养”或“代数素养”。

小学阶段的数学教学，教师应当着眼于学生进入中学后的学习中需要发展怎样的数学思维。从这个意义上说，发展学生早期的“代数思维”，培育学生的“代数素养”是小学数学教学的应有之义。生活经验是学生代数学习的源头活水，让学生形成代数素养不仅体现为学生理解算式、符号的关系性质，更体现在学生形成符号化思维、符号化意识、符号化习惯等方面。只有顺应学生早期代数思维的发展需要，关注学生早期代数思维的培养，循着学生从算术思维、程序思维到代数思维、关系思维的发展路径，才能让学生的代数思维向着深刻的方向生长。