巧用圆锥曲线的定义妙求一类最值问题

韩景岗 陈国林

(1.山东省邹平县黄山中学 256200；2.安徽省利率高级中学 236700)

圆锥曲线的定义是其基础知识，解题时必须牢记于心，不可疏忽，很多题目都可以利用定义解答，关于定义的等式通常隐藏在图形中，需要运用平面几何知识才能发现.下面就利用圆锥曲线的定义求最值谈一下个人拙见.

一、巧用椭圆的定义求最值

解析|PM|+|PN|的最小值，则|PM|、|PN|都应该最小，|PM|+|PN|的最小值|PA|-R+|PB|-R=6-2=4；同理，最大值为|PA|+|PB|+2R=8，即最小值和最大值分别为4,8.

二、巧用双曲线的定义求最值

∴|PF|+|PA|=|PA|+|PF′|+4.

当且仅当A,P,F′三点共线时，|PA|+|PF′|取得最小值，且最小值为|AF′|=5．

故(|PF|+|PA|)min=9．

解析双曲线的两个焦点F1(-4,0)、F2(4,0)为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

三、巧用抛物线的定义求最值

典例3 设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C:(x+3)2+(y+3)2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为 .

解析由抛物线的定义，A到准线x=-1的距离等于A到焦点F的距离.

而A到y轴的距离比A到准线x=-1的距离少1，故m=|AF|-1.则m+|AB|=|AF|-1+|AB|≥|AF|-1+|AC|-R≥|CF|-1-R=5-1-2=2.

评注第一步：将点A到y轴的距离m转化为A到准线的距离，再利用“抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相等”转化为A到焦点的距离；第二步：利用“圆外一点A与圆C上的点的最小值等于|AC|-R”将目标转化为|AF|+|AC|-R-1；第三步：利用“两边之和大于第三边”讨论三点共线时取最小值.由于抛物线的定义中隐含线段相等，最容易和平面几何结合，所以抛物线中的性质特别多，利用定义解题最广泛.

变式已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 .

总之圆锥曲线的定义应用广泛而且巧妙简单，在遇到圆锥曲线的题目时，我们应该首先考虑能否利用圆锥曲线的定义去处理，既能简化运算又可以节约时间，从而快速达到目的.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中学. 普通高中课程标准实验教科书( 数学选修2 -1)[M]. 北京:人民教育出版社，2008.