对课堂上落实初中数学核心素养的初步研究*

广东省广州市第十七中学(510050) 王杰航

一、核心素养落实的真正挑战在课堂

(一)对初中数学核心素养的初步理解

什么是初中数学核心素养?目前还没有一个标准的界定.本人的初步理解是:所谓初中数学核心素养,就是中学数学核心素养在初中数学学习中的体现,主要包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面,相关研究认为,这六个方面的内涵,与课标倡导的十个核心词数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识,总体上是一致的、互通的.从通俗的角度讲,数学核心素养就是假设学生把所学的数学知识都或忘掉后,剩下的看不见摸不到的东西,这个看不见摸不着的东西,一句话概括,就是“用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言描述世界”.

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的,数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性,这种思维方式是数学外在的表现.数学核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念,它们综合体现了对数学知识理解、对数学技能方法的掌握、对数学思想的感悟、对数学活动经验的积累.

历次数学课程改革的经验提醒我们:目前理论界对数学核心素养的研究成果,最终还得通过数学课堂来实施,那些与学生每天每时都在直接接触的教师,通过他们的行为、态度、教学决策及各种认识过程,决定了数学核心素养落实的成败.

因此,学生核心素养的培养能否落实,真正的挑战在课堂.

(二)从2012年PISA研究获得的启示

相关国外研究,也为我们研究在教学中培养学生数学素养的策略提供了启示.

2012年国际学生评估项目PISA测试的主项为数学素养(MathematicalLiteracy),和2003年相同.2012年PISA数学测评框架依然是三个分析维度(即数学情境、数学内容、数学过程),在数学素养概念界定和分析框架方面略有调整.

数学素养定义:2012年PISA数学素养的定义如下:个体能够在不同情境中形成、运用、解释数学的能力,包括数学地推理、运用数学概念、程序、事实和工具来描述、解释、预测,帮助个体理解数学在社会生活中的作用,并且能够作出好的决策和判断,成为一个具有建设性、参与性、反思能力的公民.从PISA研究获得的启示是,数学素养是学生以先天遗传因素为基体,在从事数学学习与应用活动的过程中,通过主体自身的不断认识和实践的影响下,使数学文化知识和数学能力在主体发展中内化,逐渐形成和发展起来的“数学化”思维意识与“数学化”地观察世界、处理和解决问题的能力.它是一种综合素质,它主要表现在观念、能力、语言、思维、心理等方面.一个人的数学素养好,与说一个人有数学头脑的意思差不多,归根到底是指他从数学的角度来思考问题.

二、对落实核心素养课堂教学策略的初步认识

国内外对数学核心素养的研究成果表述虽有不同,但都从内容、情境、能力等维度完善了数学素养评价分析框架.本文尝试结合广州市教育科学“十二五”规划(第一批)面上课题《〈评价标准〉指导下初中数学方程模块教与学策略研究》(11C190),所倡导的三个层次十种教学策略,与初中学生数学素养培养,借助PISA分析框架中数学过程与数学基本能力这一维度的特点,探讨以下几个方面.

(一)学习方法层面的学习策略有利于培养逻辑推理和数学运算素养

数学学习方法,是指学生在认知过程中的方式或技能.它是构成学习策略的基本要素,也是初中学生比较熟悉的学习要求,为学习策略提供了重要的知识基础和技能基础.如预习、听课、理解、复习、笔记、做记号等具体方法.以下三种策略是数学学习方法在数学学习中的初步提升.

1.后推法策略

因为所有的数学问题,都是先提供一些已知条件,然后提出一个未知条件(问题),要求学生利用已知条件,来求解未知条件的数量,或证明未知条件的成立.这一过程主要是采取顺向的逻辑推理的方法,而顺向方法的缺点是若思维方向不明确,容易使学生一旦走向不正确的思维方向时,尤其当训练不足尚未形成技能时,就会迷失方向.而后推法是从问题出发,向已知方法推导.当从未知向已知的联系建立起来时,问题往往变得比较容易解决.

例1 如图1,等边△ABC内接于⊙O,D是BC弧上一点,连结AD、CD、BD,并在AD上截取AE=CD,连结BE,求证:

图1

(1)△ABE△CBD;

(2)AD=BD+CD.

策略阐释若从已知条件等边△ABC内接于⊙O,去考虑解题,是顺向的方法,但对解题技能训练还不充分的学生,可能会感觉“抓不住”线索.但从未知(问题)△ABE△CBD出发,就是后推法.引导学生分析,△ABE△CBD需要什么条件?等边△ABC已经给出了哪些条件?还要补齐哪些条件.这条思路,相对容易把握,问题的关键,是利用“同弧所对的圆周角相等”,推导出∠BAD=∠BCD.由此,问题迎刃而解.

2.尝试错误策略

这是指当解题者缺乏现成的解题方法时,会试图通过试探某种想法或思路,针对解决问题的有效性,而使问题获得解决的一种策略.通过一步步的尝试,逼近问题的答案,或探明解决问题的正确途径.一般提倡有目的的尝试而不是盲目的尝试.例如,初中学生在刚开始学习二元一次方程组时,会反复去“试”符合二元一次方程组的解,如果学生能进行一定的分析或推理,初步判断适合的数,那么他的尝试就是一个有目的的尝试;相反,如果一开始就随便乱填,靠碰运气来解决问题,那就是一种盲目尝试.

3.寻找规律策略

一般说来,比较容易的问题,学生都能很快解决.但对于比较复杂的数学问题,其教学过程往往要经过多种方式的观察、思考、探索,这也是学生认识的主动建构过程,学生通过个体与群体的活动和主动参与观察、思考、探索,在教师指导下凭籍原有的认识结构对来自客体的信息进行选择和加工处理.循序渐进,不断地寻根问底,步步逼近概念的核心,使学生经历由感性直观出发,逐步沿着逻辑顺序找特点、想办法,或借助字母代替数字,或实现常量到变量的转化.这就是寻找规律.

(二)元认知层面的学习策略有利于培养数学抽象和数据分析素养

元认知是认知主体对自身心理状态、能力、任务、目标、认知策略等方面的知识,同时也是认知主体对自身各种认知活动的计划、监控和调节.学习策略的自我发现与不断完善同样也离不开元认知体验和监控.数学元认知的实质就是学生的数学观念或数学素养,是学生用学思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识和习惯.表现在学生根据数学活动的要求,选择适宜的认知操作方法,去进行认知活动,并监控认知活动进行的全过程,同时,还不断地分析反馈信息,及时调节自己的认知过程和策略,理解体验并掌握数学学习策略,达到高效率学习的目的.例如,初中学生在方程学习中,最基本的元认知是会懂得概念的重要性,会逐步习惯于方程模块的、函数模块的、四边形模块的数学思维,而不是一直停滞在用小学的综合算式思考方程问题等.以下四种数学学习策略是对最基本元认知在数学学习中的归纳和提升.

1.图表策略

心理学家把这一策略称为可视化表征策略,是指在理解问题时,利用画线、图形、表格或其他形象化的符号来表示问题中涉及到的对象以及对象间的关系的一种策略.心理学的研究表明,把思考对象用图示化或形象化的符号表示出来,对人们的思维有着非常重要的促进作用.因为图示化的东西至少有两种功能:一是它能突出对象结构的基本特征,排除无关细节的干扰;二是图形能使学生用眼睛观察,充分发挥对学生来说非常容易的知觉推理.例如“行程问题”,如果学生能在草稿纸上画出线状示意图,就很容易得到问题的正确答案.

例2 如图2,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形,EF与GH交于点P.

图2

(1)若AG=AE,证明:AF=AH;

(2)若∠FAH=45°,证明:AG+AE=FH;

(3)若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD的面积.

策略阐释本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念.第(1)问可以用全等也可以用勾股定理解决,为第(2)(3)问作铺垫,

第(2)解决过程,以图3可视化的形式,形象化地将DH+BF=FH转化为线段的和的关系,再利用三角形的旋转,形象地第二次转化成H′F=HF,最后凸显出两个三角形全等的证明.

图3

2.起点探究策略

探究性课堂教学强调知识的过程性,希望学生能够从模糊性、非标准性和矛盾性,产生对问题的质疑,激发学生提出新的问题,进行探索研究.最简单的情况就是各类方程概念的学习.教师在教室中的作用,是帮助学生利用这种混淆作为提出问题和数据分析的起点,通过不断辨别,达到正确理解.

3.穷举可能策略

这是指充分考察问题所涉及的各种情形或尝试所有可能奏效的解题思路和方法的一种策略.那些让人感到棘手的、复杂的问题,常常是包含着许多不确定因素的问题,或涉及各种情形和状况的问题,人们只有将这些不确定因素或各种可能情形列出,然后一一进行考察和检验,才能找到问题的答案或发现正确的解题途径.例如,考虑需要分类讨论的较复杂问题,先列出所有的可能,达到不重不漏.

4.参照简单策略

这是指在解决问题时,试图去判断问题的类型及其相应的解题模式,以便应用自己已掌握的解题方法来解决问题的一种策略.心理学家的研究发现,大多数学生在解题时都采用过这种策略.因为人们总是希望能用已掌握的解题模式和方式,来解决当前面临的问题.所以,模式识别常常是分析问题的开端.从这个意义上讲,模式识别是人们应用算法策略解题的前提和基础.

(三)从属于学习过程调节和控制的具体学习策略有利于培养数学建模和直观想象素养

学习的调节和控制实际上就是元认知监控.是主动的学习者在一个连续不断的学习过程中,使用的调节和控制学习的行为,特别是对学习方法的选择和使用的技能.在具体的学习过程中,学习者主要通过分析与计划,激活与维持,监视与控制,调节与修正等途径去实现对学习的调节和控制.就学生的数学学习而言,要从事数学学习,学生在了解和掌握学习任务的基础上,首先得激活并维持良好的注意、情绪和动机状态,使自己的注意和思维始终处于高度集中和充分活跃的觉醒状态.其次对面临的数学学习任务和内容以及学习情境进行深入分析,激活同当前学习活动有关的所有因素与学习方法的关系意识,从中找出完成学习任务的主要途径及可供选择的主要方法,并制定出相适应的数学学习计划.同时,初中学生在数学学习中,要有意识地监控自己的学习过程,审视自己对学习计划的执行情况,评价学习计划和所选用的学习方法的有效性,并根据学习的任务、目标及学习的效果,修正调节自己的学习计划和学习方法.以下三种策略是学习的调节和控制在数学学习中的归纳和提升.

1.尝试特殊策

这种学习策略体现了以退求进的思想,从一般退到特殊,从复杂退到简单,从整体退到部分,从较强的结论退到较弱的结论,退到保持原问题特征的最简单情况,退到最小独立完全系的情形.

例3如图4,在平面直角坐标系xOy中,直线y=−x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点点D的坐标为(0,1).

(1)求直线AD的解析式;(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当△BOD与△BCE相似时,求点E的坐标

图4

图5

图6

策略阐释本题是中等难度题,主要是用到一次函数、相似的知识,第(1)问,先设出一次函数解析式,将点A,D代入即可求出一次函数解析式.第(2)问,先求出OB,OD,BC的长度,然后分两种情况讨论:△BOD∽△BCE,△BOD∽△BEC,是过点C作CE⊥AB交直线AB于E,是过点E作EF⊥BC于F点.这样,从一般退到特殊,比较不好把握的问题,变成了两对比较简单的相似三角形的相关计算.

2.猜测策略

这是指当模式或算法不确定的情况下对问题的答案或解决办法作出猜测的一种策略.让学生“猜猜看”是数学教学过程中经常进行的活动,所以学生对这一策略是熟悉的.但是,猜测并不是目的,而只是解决问题的手段,它只是为解题者进一步思考问题提供目标、参照物或基本途径(路线).猜想时,不能只“猜”不“想”,“猜”是为了进一步的思考和探索.

3.算法策略

它能指明具体的解题步骤,直至获得问题的最终答案.本策略主要运用于较复杂的方程综合题.这里的“算法”就是指解题的一套规则和步骤.如果一个问题有算法,那么只要按照其规则进行操作,就能获得问题的解.

三个层面十种策略,依学生学习水平由低到高的顺序排列,从初中学生最熟悉的学习方法起步,教学过程中注重策略意识的提升,逐步过渡到元认知层面的学习策略的养成,既提高培养数学抽象和数据分析的素养,最后达到对数学学习过程调节和控制,就是能比较经常地运用数学建模解决问题.

数学教学正是为学生提供方法、启发思维、形成能力、发展素养的重要途径.抽象的数学学习、抽象的核心概念的培养,通过教师适当的策略指导,就会多了一层色彩和温度,在学生的眼睛里就不再神秘,就不再深不可测.只有这样,在课堂教学中不断尝试从教学策略的角度,不断深入和优化,才能真正帮助学生形成必要的数学素养.适应当前新的课程教学改革,教师要转变观念,做一个身体力行者,在教学中积极尝试多种方法、多种渠道激励学生在基本数学活动、数学思想方法体验和学习过程中领悟数学核心素养.

三、课堂落实核心素养的微观分析

以2017年6月23日广州市越秀区教育科研成果推广会上,王杰航执教的成果推广课《因式分解法解一元二次方程》为例作微观分析.在这一节课上,执教教师将策略渗透体现在三次归纳、三次变式、三次最近发展区题组、三次大数据技术运用上.

(一)三次归纳分析

第一次归纳,以直观的代数式的变化为线索,体现了从属于学习方法的寻找规律的策略:因式分解法:先因式分解,使方程化为两个一次式的____等于____的形式,再使这两个一次式分别等于___,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

第二次归纳,以比较抽象的数学文字语言,整理出一般步骤,也还是从属于学习方法的寻找规律的策略.

第三次归纳,引导判断问题的类型及其相应的解题模式,以便应用自己已掌握的解题方法来解决问题,特意将各种方法的缺点留空,让学生自主发挥.

(二)课堂其他特色分析

在这一节公开课上,课堂上的特色还体现在三次变式、三次最近发展区题组、三次大数据技术运用上.三次变式,依次是等式左边简单的一步到位的代数式分解、可一次使用公式的因式分解、两次变形后的因式分解.与三次变式想匹配的,是三次最近发展区题组,运用智慧课堂系统,依次布置到学生使用的IPAD上,借助大数据技术,学生解答在IPAD上作业,即时反馈到大屏幕上.并通过相应信息技术直播,第二天重播.

三次归纳、三次变式、三次最近发展区、三次大数据技术运用,是这一节成果推广课比较有特色的四条主线,整节课四条主线交替有序呈现,借助先进的技术平台,引导学生在方法层面和元认知层面,作较多的思考.

[1]马云鹏,关于数学核心素养的几个问题[J],课程教材教法,2015(9):36-39.

[2]李星云,论小学数学核心素养的构建— —基于PISA2012的视角[J],课程教材教法,2016(5):72-78.

[3]王杰航,初中数学方程模块学习应有的策略阐释[J],中学数学研究,2012(11):8-12.

[4]张青,怎样培养初中学生的数学素养和能力,教学研究,2015第9期.