成都市社会消费品零售总额的预测模型对比分析

彭丽霞，赵联文，谢 波，王丽梅

（西南交通大学 数学学院，四川 成都610675）

社会消费品零售总额是指一定时期内国民经济各部门向消费者出售消费品和向农村出售农业生产资料以及农民对非农业居民直接零售的总额。它在国民经济核算中占据了很重要的位置，也表明了消费需求是最终需求占有比例最多的部分[1]。目前，消费需求是经济增长的重要组成部分，构建合适的模型对其作预测，分析成都市社会消费品零售总额的发展趋向，进一步了解成都市的经济增长情况，从而为有关部门做出正确决策提供合理的依据[2]。

本文选用简单季节模型、乘积季节模型和X-12加法模型三种季节时间序列模型对2004—2015年成都市社会消费品零售总额季度数据进行建模分析并预测2016年成都市社会消费品零售总额季度数值，比较在三种模型下2016年季度数据和年度数据真实值与预测值的相对误差大小，并分析成都市社会消费零售总额随时间推移的变化规律。

一、季节时间序列模型

具有季节性的时间序列在一定周期内表现出相似性。具有趋势性的时间序列在较长持续期内其数据依时间而变化，呈现出不断减少或不断增加或在某一常值附近波动的总趋势[3]。呈现季节性又呈现趋势性，即为季节时间序列，往往通过差分运算使序列平稳。一般情况下，呈线性趋势的时间序列通过一阶差分可以将非平稳序列转化为平稳序列；二阶或三阶差分可以将具有曲线趋势效应的序列转化为平稳序列；通过以周期为步长作差分，可以很好地消除具有季节效应序列的季节性[4]。

通过趋势差分和季节差分能完全提取季节时间序列的季节性，使变换后的序列为平稳序列，则通常选用简单季节模型。但一般情况下，季节时间序列受长期趋势、季节波动、随机波动之间的相互作用，趋势差分和季节差分不能完全提取出序列的季节性，则选用乘积季节模型。

上述模型通过差分来消除季节效应，而在季节时间序列中，还有一种观点是对季节性因素做一个评估，然后剔除季节因素，从而正确展示不规则因素或非季节因素的发展规律，也即季节调整理论。加法模型和乘法模型是提取季节因素最常用的模型。本文涉及的模型如下：

（一）简单季节模型

通过趋势差分，季节差分使序列转化为平稳序列，再对差分后的序列构建ARMA模型，称为简单季节模型。简单季节模型的模型常规形式为：

式中，D为周期步长，d为消除趋势性的差分阶数，Θ（B）=1－θ1B－…－θqBq为q阶移动平均系数多项式，Φ（B）=1－θ1B－…－θpBp为 p 阶自回归系数多项式，{εt}为白噪声序列，且 E（εt）=0,Var（εt）=σ2ε。

（二）乘积季节模型

乘积季节模型通常假设序列短期相关性和季节相关性有乘法关系。乘积季节模型的原理是：若序列通过d阶趋势差分和D阶以周期S为步长的季节差分后的序列本身具有短期相关性，则构建ARMA（p,q）模型；若具有季节效应，且季节效应本身具有相关性，则构建以周期为步长的ARMA（P,Q）模型。因此，ARMA（p,q）和ARMA（P,Q）的乘积就代表短期相关性和季节效应之间有乘法关系，乘积季节模型简记为 ARIMA（p,d,q）×（P,D,Q）S。

乘积季节模型的常规形式：

式中，U（Bs）=1-u1Bs-u2B2s-…-upPs，V（Bs）=1-v1Bs-v2B2s-…-vQPs，可以提取对不同周期的同一周期点之间的关联性；Θ（B）=1－θ1B－…－θqBq,Φ（B）=1－θ1B－…－θpBp，用来提取同一周期不同周期点之间的关联性；p和q是剔除同一周期不同周期点之间相关性的自回归阶数和移动平均阶数，P和Q是剔除不同周期的同一周期点之间相关性的自回归阶数和移动平均阶数，s为周期步长，d为差分的阶数，D为季节差分的阶数[5]。

（三）X-12加法模型

1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Department of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上，研发了用于季节调整的最开始程序，便长时间地对经济的时间序列作季节调整。经过几次改进，X-11已成为广泛使用的季节调整方法[3]。

在X-11方法中，假定任何时间序列Xt可以被分解为循环趋势项CTt、季节波动项St和不规则波动项It。则任何时间序列可以做如下分解：

乘法模型：

加法模型：

X-12季节调整方法是X-11方法的扩展。乘法、加法、伪加法和对数加法模型是X-12季节调整方法的四种季节调整的分解形式[3]。本文对成都市社会消费品零售总额序列拟合选用X-12加法模型。

对于序列Xt的分解可以通过软件Eviews8.0的X-12季节调整程序得到循环趋势项、季节波动项和不规则波动项的序列值。然后，对各序列值进行预测分析，具体步骤如下。

1.循环趋势项预测

选用残差自回归模型对循环趋势项预测，即以时间t为解释变量对CTt建立趋势模型，然后对趋势模型产生的残差序列{ωt}建立AR（p）模型，最后通过对AR（p）模型检验以确认模型拟合充分。残差自回归模型的常规形式为：式中，{εt}是白噪声过程，第一个模型是趋势模型，第二个模型是AR（p）模型[6]。

2.季节波动预测

对于季节波动预测有以下几种方法：①对序列St的同期求均值，作为预测期的季节波动值。②对序列St根据时间上的距离远近对历史值的季节波动值给予大小不同的权值并求和，得出的数值即为下一期的季节波动值[7]。③将分离得到序列St的最后一期的季节波动值作为预测期的季节波动值。

3.不规则波动预测

对序列It作白噪声检验，若序列值之间没有任何相关性，即满足γ（k）=0,∀k=0，则认为序列It是白噪声过程。故预测期的不规则波动值使用分离得到序列It的最后一期不规则波动值；若序列之间有相关性，则对序列It建立AR（p）模型并预测得到预测期的不规则波动值[8]。

二、社会消费品零售总额的季节时间序列建模

（一）数据说明

本文选用成都市统计局公布的成都市2004—2016年的季度社会消费品零售总额季度数据，此处选取2004—2015年的季度数据为样本，建立三种时间序列模型，并利用构建模型对2016年季度社会消费品零售总额进行预测分析。由图1可以看出成都市社会消费品零售总额呈现出周期为4的季节效应。通过Eviews 8.0可得到序列自相关图如图2所示，从图2可以看出，序列自相关系数递减到0的速度相当慢，且从大于0的数到0再到小于0的数，呈现出三角对称性，故可认为该序列是具有单调趋势的非平稳序列。要使序列变为平稳序列，就要对序列作季节差分和趋势差分，再对其进行建模分析。因为序列具有季节效应，故采用简单季节模型、乘积季节模型和X12加法模型三种季节时间序列模型对序列进行建模分析，并利用建立的三种模型分别对2016年季度社会消费品零售总额进行预测，与真实值作比较，分析每一种模型的预测精度。

图1 社会消费品零售总额时序图

图2 序列自相关图

（二）模型建立与分析

1.简单季节模型

（a）对原始数据做对数变换，再用一阶差分消除趋势，用四步差分剔除季节效应的影响。使用SAS 9.3软件检验转化后的序列是否平稳。使用图检验法和单位根检验法检验序列的平稳性。图检验法带有主观色彩，仅根据时序图和自相关图呈现的特性来判定序列是不是平稳，而单位根检验是构造检验统计量进行假设检验[9]。这里，采用增广DF检验,即ADF检验判断是否平稳。两种检验结果如表1和图3所示。

表1 增广Dickey-Fuller单位根检验

图3 差分后时序图和自相关图

从图3中的时序图可以看出序列均值在0附近波动，可直观得出序列平稳。再观察自相关图和偏相关图，自相关图呈现出一阶自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关系数在两倍标准差以内，认为序列平稳[10]。从表1的ADF检验结果可以判断当显著性水平a取0.05时，p值均小于0.05，故判定序列平稳。

（a）模型定阶和参数估计。对于模型定阶采用SAS系统提供的相对最优模型定阶，但是提供的模型参数未必都能通过参数检验，故还需调整。经过模型对比得出对差分后的序列建立中心化AR(1)模型，其AIC值为-184.94和SBC值为-183.179相比其他模型较小。故模型最终表达式为：

（b）模型适应性检验与序列预测。利用SAS软件对模型的剩余残差序列做白噪声检验，由于平稳序列具备短期相关性的特性，若序列有明显相关关系，一般只存在延迟时期较短的序列。若平稳序列短期延迟都不存在明显的相关关系，长期延迟之间更不会有明显的相关关系。因此，计算序列延迟6期和延迟12期的QLB统计量来判断剩余残差序列的随机性（a=0.05）。由检验结果可知p值明显大于0.05，得出剩余残差序列是白噪声过程，如表2所示。

表2 简单季节模型的白噪声检验结果

利用建立的简单季节模型（6）对2016年每一季度的社会消费品零售总额进行预测，并与2016年各季度的真实值比较，如表3所示。通过计算可得2016年每一季度的预测值与真实值的相对误差控制在9%以内，平均相对误差是4.378%，该模型拟合效果一般。

表3 2016年各季度社会消费品零售总额的简单季节模型预测值

2.乘积季节模型

（a）对原序列作对数变换，进行一阶4步差分剔除长期趋势和季节波动，进行单位根检验，检验差分后序列是否平稳。对差分后序列ADF的单位根结果表明，ADF统计量为-10.671，显著小于1%临界值-2.621，认为差分后序列为平稳过程。

（b）模型估计。观察平稳序列的相关图，如图5所示，可见序列一阶、二阶偏自相关较高，滞后四阶的自相关值和偏自相关值明显增大。虽然三阶之后都落在置信区间内，但Q检验的p值前9阶均小于0.05，序列存在自相关性。根据自相关检验图尝试使用乘积季节模型拟合序列并分别对其做参数估计。经多次尝试，模型ARIMA((1,3),1,(1,3))×(1,1,0)4的AIC值是-4.455，相对于其他模型要小，且模型参数不能拒绝参数为0的假定，故确定拟合模型为：

（c）模型适应性检验与序列预测。利用Eviews 8.0可得到上述模型的剩余残差图序列的自相关函数图，如图6所示。从图6中可以得出Q检验的p值明显大于0.05，故认为残差序列为白噪声过程，模型通过适应性检验。

图5 差分后自相关图

图6 剩余残差自相关图

利用模型（7）对2016年各季度的社会消费品零售总额进行预测，并将实际值与预测值进行比较，如表4所示。从表4中可以看出预测值与实际值的相对误差控制在10%以内，通过计算得平均相对误差为5.18%。

表4 2016年各季度社会消费品零售总额的乘积季节模型预测

3.X-12加法模型

建立X-12加法模型的基本思想是把序列分解，并对每一个组成部分进行预测分析，再把每个组成部分的预测值分别相加得到最终的序列预测值。

（a）利用Eviews 8.0对原序列做X-12季节调整,得到循环趋势项CTt、季节因子St和不规则波动项It分离得到的每一个组成部分。

（b）循环趋势项预测。由于循环趋势项有曲线趋势，调用SAS软件中Forecast过程，对循环趋势项建立残差自回归模型进行拟合和预测。在这里先使用多项式拟合趋势进行拟合，再对残差序列做自回归拟合，然后通过逐步回归的方法，筛选适合的延迟阶数，得到最优的AR模型。最终模型结果为：

式中，εt～WN(0,7.2434)。模型拟合结果R2=0.99。根据此模型预测循环趋势项结果，如表5所示。

（c）季节波动预测。因季节波动随着时间依次变大，故选用2015年的季节波动值作为2016年的季节波动值。

（d）不规则波动预测。对序列It做白噪声检验。根据序列延迟6期和12期的QLB统计量，确定序列的随机性（a=0.05），如表5所示。

表5 X-12加法模型的白噪声检验结果

由于p值明显大于显著性水平a，所以该序列不能拒绝纯随机性假定，故认为序列It是白噪声过程。则2016年的各期不规则波动值取2015年的各期值。综上已得到各部分预测值，再利用模型（5）得到最终的预测值，如表6所示。通过计算，在X-12加法模型下，2016年季度数据的相对误差控制在7%以内，平均相对误差3.07%。

表6 X-12加法模型结果

（三）模型比较

三种模型对2016年成都市社会消费零售总额的季度数据预测有好有差，但综合来看，X-12加法模型的季度总额平均相对误差较小，且季度总额求和得到的年度总额比实际年度总额的相对误差只有0.11%，如表7所示。故对于成都市消费零售总额的预测分析，选用X-12加法模型更加可信。这些数据能给有关部门提供更加确切的参考，从而指导地区发展。

表7 三种模型结果比较

三、结论

由于社会消费零售总额受到趋势性和季节性的双重影响，选取三种季节时间序列模型对成都市社会消费品零售额进行拟合和预测。虽然简单季节模型和乘积季节模型考虑了序列短期相关性和季节效应的关联性，但是预测效果都不是很好，而采用X-12加法模型对成都市社会消费零售总额进行预测时，预测效果较好。相比其他两种模型，其季度总额平均相对误差和年度总额误差都较小。因此，在实际应用中，可采用X-12加法模型对社会消费品零售总额做预测。这不仅为政府部门制定政策提供了参考依据，也可以引导消费者合理消费，对地方经济的快速发展具有指导意义。

[1]唐功爽.时间序列分析在经济预测中的应用[J].统计与信息论坛，2005（6）:90-94.

[2]刘家琨，徐学荣.福建省社会消费品零售总额的预测[J].福建农林大学学报（哲学社会科学版），2011（3）：54-57.

[3]杜勇宏，王健.季节时间序列理论与应用[M].天津：南开大学出版社，2008.

[4]王沁.时间序列分析及其应用[M].成都：西南交通大学出版社，2008：137-143.

[5]常振海，刘薇.我国铁路客运量的季节时间序列模型[J].统计与决策，2015（7）：73-76.

[6]黄红梅.应用时间序列分析[M].北京：清华大学出版社,2016:121-133.

[7]颜伟，程超，薛斌，等.结合X-12乘法模型和ARIMA模型的月售电量预测方法[J].电力系统与自动化学报，2016（5）：74-80.

[8]张婷.CPI的SARIMA模型与X-12季节调整模型对比预测分析[J].经济问题，2014（12）：37-41.

[9]贾正兴，李伟，刘加军，等.非平稳序列的平稳化及其在隧道变形分析中的应用[J].测绘，2011（3）：128-130.

[10]郑鹏辉，单锐，陈静.时间序列分析在我国财政收入预测中的应用[J].重庆文理学院学报(自然科学版)，2008（2）：15-18.