关于分式极限的运算规律的证明及其规律引申应用

饶绍斌

【摘要】本文运用■→0（a为任意实数）的这一性质和极限的四则运算法则以及无穷大与无穷小的关系定理，证明了分式极限■■的运算规律，以及在该规律基础上引申了规律1和在带有根式下的类似于分式极限运算的规律2。

【关键词】分式 极限 倒数 无穷大 无穷小

【中图分类号】O211.4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0126-01

高等教育出版社《微积分基础教程》一书第二章中，有关于无穷小与无穷大的关系定理，以及关于分式极限的运算有这样一个规律，内容总结如下：

定理1（关系定理）在自变量的同一变化过程中，若f（x）为无穷大，则■为无穷小；若f（x）为无穷小，则■为无穷大。

规律1（分式极限的运算规律）若a0≠0，b0≠0，且m，n为非负正数时有

■■=■，m=n0，m>n∞，m

证明：情形一：当m=n时：原极限=.■■

分子分母同时除以xn得：

■■=■■

运用■→0（a为任意实数）的这一性质和极限的四则运算法则可得：当x→∞时，■→0，…，■→0，■→0，…，■→0，所以■■=■。

情形二：当m>n时：原极限分子分母同时除以xm得：■■=■■，因为m>n，所以运用■→0（a为任意实数）的这一性质和极限的四则运算法则可得：当x→∞时，■→0，■→0，…，■→0，■→0，…，■→0故可得：

■■=0

情形三：当m

■■，因為m

规律1（次数比较规律）对于规律1，可以简单的描述成比较分子分母的最高次数，若分母的最高次和分子的最高次数相等时，原极限等于分子分母的最高次项的系数和之比（■）；若分母的最高次数大于分子的最高次数时，原极限等于零（0）；若分母的最高次数小于分子的最高次数时，原极限为无穷（∞）。

规律2（分式极限的运算引申规律）若在规律1中极限的基础上分别对分子和分母任意添加根号，然后观察它分子和分母的最高次数，它仍然是满足规律1。

例1：求■■.

解：由规律1知，该分式的分子和分母的最高次都为4次，所以■■=■.

例2：求■■.

解：由规律2可知，该式子的分子和分母的最高次数为1，注意这里的分母■转化为次数来看的话，最高次是一次对应的系数就应该是■，分子■-x转化成比次数来看的话，最高次也是一次，而且有两项对应的系数分别是■和-1，所以■■=■=■.

例3：求■■.

解：由规律2可知，该式子的分子的最高次数为■次，分母的最高次数为2，所以分母的次数大于分子的次数，该极限为0，即■■=0.

参考文献：

[1]陆永怀.极限运算在有理函数积分中的应用[J].吉首大学学报（自科版）.1992（2）：56-60

[2]侯丽.无穷大与无穷小的比较在极限运算中的应用[J].现代商贸工业.2012（15）：139-139