如何解决有关一次函数的信息图像问题

摘要：一次函数在初中数学中是相对重要的知识点，读者在行程与一次函数相结合的问题上理解浅薄，解题困难.笔者基于历年解题经验，将一元一次方程与一次函数图像之间的相互转化与利用详细解答出来.

关键词：一元一次方程；一次函数；信息图像

回顾一次函数的学习过程，读者能够熟练地将文字信息转化为直角坐标系里的一次函数，但是如何从一次函数里面提取出有效信息却成为一个难点.下面笔者从行程问题出发，进行详细的过程梳理，谈谈如何利用一次函数和方程之间的转化来解决信息图像问题，希望对读者有一定帮助.

一、一次函数转化为方程

例1、（2017重庆市初中毕业生学业考试A卷）A、B两地之间的路程为2380米，甲乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发五分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇.相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行，甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行驶，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲距离A的路程为 米.

解析 结合文字叙述和函数图像进行分析，

在第0分钟时，甲、乙两人相距2380米，即A、B两地相距2380米；

在第5分钟时，甲、乙两地相距2080，由于这5分钟内只有甲移动300米，可得 米/分钟；

在第14分钟时，甲、乙相距910米，此时甲出发了14钟，乙出发了9分钟，可得 ，得 米/分钟；

甲、乙相遇，甲、乙的距离为0米，假设在第x分钟相遇，可得 ，从而x=21分钟； 在第21分钟时，甲只改变运动方向，和乙同向驶向A地，甲到达A地用时21分钟，路程为1260米，因此乙到达A地时间为18分鐘；

由此可以可知甲比乙慢3分钟到达，故相距A地180米.

审题时注意理解y的含义，把复杂的问题慢慢解剖，细细分析，转化为一元一次方程问题，一道看似困难的题目就轻松解决了.

二、方程转化为一次函数

例2、甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图像.

（1）求甲车离出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）它们出发 小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶过程中的相遇时间.

解析

（1）由图知，甲是一元一次函数，但需分段表达，该处利用待定系数法求解，解得 .

（2）图中y的含义是各自离出发地的距离，当在 小时时， 和 相等，即两函数相交于一点，利用（1）中的函数关系，求出 ，从而得出乙的函数关系，解得 ， 的取值范围需要注意乙到达 地所用时间， .

（3）甲、乙两车相遇时，甲离 地的距离与乙离 地的距离和为 两地的距离，即 .由于甲是分段函数，所以我们分段考察.当 时， ，解得 ；当 时，解得 .综上，第一次相遇时间为第 小时，第二次相遇时间为第6小时.

比较上述两题我们发现，对于行程问题，要在冗长的题干中抓住要点，同向或相向，同时出发或一前一后出发，以及 的不同实际意义.此外，解决函数的信息图像题一般分为两个方法.第一种，把关键信息联系到函数图像上，理解函数的实际意义，将复杂的函数关系转化为逻辑简单的方程来解决.第二种，利用函数图像的直观性简单快捷地解决复杂的方程问题.读者要在平时解题过程中注意总结方法，找寻规律.

作者简介：高晶晶，女，1993.11，汉族，江苏扬州 扬州大学研究生，研究方向：数学 动力系统。