函数的最值求法探究

冒建生

函数的最值主要考查两个方面的问题：一是求解函数在区间上的最值；二是函数最值的综合应用，如实际应用题中最优解、不等式的恒成立问题及数列、解析几何中的最值问题等.

高考对求函数最值（最大值、最小值）的考查一直饶有兴趣，原因是求函数最值往往需要探求函数的定义域、奇偶性、单调性、周期性等，也需要调动各种数学的基本思想和方法，如配方法、换元法、数形结合法等.

一、单调性法

先确定函数的单调性，再利用单调性求最值.如何确定函数的单调性，导数法是主选（见方法五），但不唯一.

例1 （1）若函数f（x）满足对于一切正数t，均有f（x+t）>f（x），且f（2x）=2f（x），f（1）=1，则函数f（x）在[1，22016]上的最大值是 .

解：由对一切正数t均有f（x+t）>f（x），知函数是R上的增函数，

故x=22016时，f（x）取最大值.

f（22016）=2f（22015）=22f（22014）=…=22016f（1）=22016.

评注：函数的单调性有以下几种不同的表现形式，如f（x）是区间[a，b]的增函数

对于任意x1，x2∈[a，b]，x1

对于任意x1，x2∈[a，b]，f（x2）-f（x1）x2-x1>0；

对于一切正数t>0及x+t，x∈[a，b]，均有f（x+t）>f（x）；

有时也可用对于一切正数t>1及tx，x∈[a，b]，均有f（tx）>f（x）（注：追加条件：a>0）.

理解以上几种不同的单调性呈现形式，有利于牢固掌握函数单调性的本质.

（2）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）=-23，则函数f（x）在[-3，3]上的最小值是 .

解：设x1

所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）.

据条件，由x2-x1>0知f（x2-x1）<0，

从而f（x2）-f（x1）<0即f（x2）

所以函数f（x）是R上的减函数，x=3时函数取最小值f（3）.

f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）

=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1）

=3×（-23）=-2.

评注：利用函数的抽象性质，证明函数具有单调性，这样的问题具有一定的难度.突破难点的关键在于发现抽象关系的结构特点，通过对f（x2）的变形，构造f（x2）-f（x1），再通过函数的条件判定其值的符号.尽管抽象函数是高考的“冷点”，但恰当的训练不失为加深理解函数单调性的有效途径.

二、换元法

对于比较复杂的函數，抓住解析式的结构特征，通过恰当的换元，得到简化的、熟悉的结构形式——新函数，从而将问题转化为求新函数的最值.要提醒的是，换元后必须求出新自变量的取值范围.

例2 （1）已知f（x）=4x，将函数f（x）的图象向右平移2个单位，得到函数g（x）的图象.若P为函数g（x）图象上一点，点M为（4，-2），则线段PM长的最小值为 .

解：g（x）=4x-2，任取y=g（x）图象上一点P（x，y），

则PM2=（x-4）2+（4x-2+2）2=（x-4）2+（2xx-2）2.

令x-2=t，则PM2=（t-2）2+4（t+2t）2

=（t2+16t2）-4（t-4t）+8，

又令u=t-4t，则t2+16t2=u2+8，且PM2=（u2+8）-4u+8=（u-2）2+12（u∈R），

当u=2，即t-4t=2，得t=1±5，x=3±5时，PMmin=23.

评注：若对于函数g（x）=（x-4）2+（2xx-2）2求导，则g′（x）=2[x-4-8x（x-2）3]，如果不注意观察，一味通分得到：

g′（x）=2（x4-10x3+36x2-64x2+32）（x-2）3，不难看出，由于g′（x）的分子次数高、系数大，求函数g（x）的极值点就陷入了困境.

为了简化结构，令分母x-2=t，则g′（x）=2（t4-2t3-8t-16）t3=2t[（t2-16t2）-2（t+44）]=2（1+4t2）（t-4t-2），这样就容易找到函数的极值点.由此可见，换元不只起到简化形式的作用，更重要的是改变了函数式结构，有利于判明解决问题的方向.

（2）实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，已知S=x2+y2，设S的最大值为M，最小值为m，则1M+1m= .

解：设x=Scosα，y=Ssinα，则4Scos2α-5Ssinαcosα+4Ssin2α=5，

所以S=54-5sinαcosα=54-52sin2α，

当sin2α=1即2α=2kπ+π2，α=kπ+π4（k∈Z）时，M=103；

当sin2α=-1即2α=2kπ-π2，α=kπ-π4（k∈Z）时，m=1013；

所以1M+1m=85.

评注：如果注意到条件中的系数特点，将原式变形为4（x2+y2）-5xy=5，利用基本不等式：-x2+y22≤xy≤x2+y22，一方面，4（x2+y2）-5·x2+y22≤5x2+y2≤103即M=103；另一方面，4（x2+y2）-5·（-x2+y22）≥5x2+y2≥1013，从而1M+1m=85.

但是若将条件变为：9x2-5xy+4y2=5，其余条件不变，如何求S的最值呢？不难看出，原来的系数特点丧失，基本不等式方法无效，而三角代换的方法仍是奏效的，代换后，S=55cos2α-5sinαcosα+4，进一步可以求出函数的最值.在此，换元法的魅力可见一斑.

评注：换元法是数学的基本方法，如何换元，即设定什么量作为新变元？突破难点的关键是，注意观察解析式的结构特点，分析解析式内部“组合块”之间的关联性，如在例2中注意到：（t-4t）2=t2+16t2-8；在函数y=sinx·cosx+a（sinx+cosx）+a2中，注意到（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx；再如函数在y=22x+2-2x+2a（2x-2-x）中，注意到（2x-2-x）2=22x+2-2x-2等，这样如何换元的问题就迎刃而解了.

三、图象法

由于图形具有直观性，作出函数的图象，观察其最高点、最低点，就不难求出函数的最值.需要注意的是，一方面，这种方法适用于图形关系确定的问题；另一方面，填空题可以图象法直接作答，解答题一般可用图象法探索思路，解题步骤的还需通过数量运算关系来表述.

例3 （1）已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2，若x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，则t的最小值为 .

解：因为f（x）为奇函数，当x<0时，

f（x）=-f（-x）=-（-x）2=-x2，画出f（x）的图象（如图），由图可知，函数f（x）在R上是增函数.又f（x）=x|x|，所以2f（x）=2x|x|=2x|2x|=f（2x），

从而f（x+t）≥2f（x）f（x+t）≥f（2x），利用单调性

得：x+t≥2x，所以t≥（2-1）x，由于x=t+2时，

（2-1）x取最大值，所以t≥（2-1）（t+2），解得：t≥2，tmin=2.

评注：通过画出函数的图象，发现函数具有单调性，为解决问题提供了有力的支撑；系数2拆解后，从函數抽象关系“外部”打入了“内部”，为利用函数的单调性“脱f”扫清了障碍.

上述方法虽巧，但对思维能力要求较高.由于f（x）=x|x|，令x=t（特殊化策略），则原不等式转化为：2t|2t|≥2t|t|，即t|t|≥0，所以t≥0.这样x∈[t，t+2]，一定有f（x）=x2，从而原不等式转化为：（x+t）2≥x2在[t，t+2]上的恒成立，问题就非常容易解决了.

（2）（2010，苏州测试）对于任意实数a，b定义：F（a，b）=12（a+b-|a-b|），如果函数f（x）=x2，

g（x）=52x+32，h（x）=-x+2，那么函数G（x）=F{F[f（x），g（x）]，h（x）}的最大值等于 .

解：依题意可知F（a，b）=12[（a+b）-|a-b|]=b，a≥b，

a，a

从而函数G（x）=F{F[f（x），g（x）]，h（x）}，

即为求函数f（x）=x2，g（x）=52x+32，

h（x）=-x+2中的最小值.在同一坐标系中，

作出三个函数的图象，如图，由图象可知G（x）的最大值为1.

评注：本题的难点在于读懂函数G（x）的符号涵义，这样才能得出G（x）与三个函数f（x），g（x），h（x）图象之间的关系，进而得出

G（x）=52x+32，x≤-12，

x2，-12

-x+2，x>1.因为被表征的对象符号化程度越复杂，对人的抽象概括能力要求越高，结合图象直观，可以降低抽象化程度，有利于分析问题和解决问题.

四、基本不等式

基本不等式是指：a+b≥2ab（a≥0，b≥0）或ab≤（a+b2）2.观察解析式的结构，通过对式子适当的变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件，再利用基本不等式求出最值.

例4 （1）已知ab+bc+ca=1，则a2+b2+c2的最小值为 .

（2）已知a>b>0，则a2+16b（a-b）的最小值是 .

解：（1）将不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca左、右两边分别相加，

得a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1.

当a=b=c=33或a=b=c=-33时，a2+b2+c2取最小值1.

（2）因为a>b>0，所以b（a-b）≤[b+（a-b）2]2=a24，

当且仅当a=2b时等号成立.

所以a2+16b（a-b）≥a2+16a24=a2+64a2

≥2a2·64a2=16.

当且仅当a=2b

a2=64a2即a=22，b=2，a2+16b（a-b）取最小值16.

评注：第（2）小题中，暂时“固定a”，视b为变量，利用基本不等式求出b（a-b）的最大值a24；从而得a2+16b（a-b）≥a2+64a2，再利用基本不等式求出a2+64a2的最小值.让一个基本不等式“嵌套”在另一个基本不等式之中，比（1）小题将几个不等式“叠加”更为灵活，对基本不等式的理解与应用要求更高.

例5 （2014，江苏高考）已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围.

解：由条件知m（ex+e-x-1）≤e-x-1，令ex=t（x>0），则t>1.

m≤-（t-1）t2-t+1=-1（t-1）+1t-1+1对于一切t>1均成立.

因为（t-1）+1t-1+1≥2（t-1）·1t-1+1=3，所以-1（t-1）+1t-1+1≥-13，

当且仅当t=2即x=ln2时等号成立.

因此，实数m的取值范围是（-∞，-13].

评注：含参数问题是我国数学双基教学特色之一，分离参数是常用方法.分离参数后，對于函数式-（t-1）t2-t+1如何处理，一般按“一次式”进行“配凑”，向基本不等式的结构靠拢.

若配凑有困难，可用换元法，令t-1=u（t>1），则t=u+1（u>0），

所以-t-1t2-t+1=-u（u+1）2-（u+1）+1=-uu2+u+1=-1u+1u+1，再用基本不等式求最值.

五、导数法

导数法求解函数最值就是利用导数研究函数的单调性，从而确定函数最值的方法.其基本步骤是：先确定函数在定义域内的导数，求出导函数在定义域内的零点；再研究函数零点附近（左、右）函数的单调性，以确定在导函数零点处原函数取极大值还是极小值.由于导数是中学数学与高等数学的衔接内容，所以导数问题特别受到命题者的青睐.

例6 如图，OA，OB是某地湖泊两条垂直的湖岸，OA=150（米），视OB延伸到无穷远处.曲线EF是防波堤，经测量知曲线EF上任意一点到OA的距离与到OB的距离平方成反比，比例系数为a3（a>0，a为常数）.为观光旅游的需要，拟修建一条与EF相切的栈桥，以连接湖岸OA，OB，设切点为P到OB的距离为t（米），栈桥分别交OA，OB于点C，D，防波堤端点E与湖岸端点A的连线平行于OB，防波堤的另一端视为延伸到无穷远处.（假设湖岸、波堤及栈桥在同一个水平面上，且它们的宽度均忽略不计）.

（1）试将栈桥CD的长度表示为t的函数，并指出函数的定义域；

（2）求使栈桥CD的长度取最小值时点P到OB的距离.

解：（1）设曲线EF：y=a3x2，切点P（t，a3t2）（a>0）.

由y′=-2a3x3知过P的切线方程为：

y-a3t2=-2a3t3（x-t），

令x=0，得：D（0，3a3t2），令y=0，得：C（3t2，0）.

由条件知0

即CD=32t2+4a6t4（0

（2）令f（t）=t2+4a6t4（0

f′（t）=2（t6-8a6）t5

=2（t-2a）（t+2a）（t4+2a2t2+4a4）t5，

由于t+2a>0，t4+2a2t2+4a4=（t2+a2）2+3a4>0，t5>0，

（i）若2a<100即0

当2a0，f（t）在（2a，100）上递增，

所以t=2a时，CD长取最小值.

（ii）若2a≥100即a≥502时，f′（t）≤0，f（t）在（0，100]上递减，所以t=100时，CD长取最小值.

答：若0

若a≥502，P到OB的距离为100米时，CD长取最小值.

评注：（1）实际问题要注意变量的现实意义，这里由点C位于线段OA上，求出函数的定义域为{t|0

（2）为了研究方便起见，从CD的表达式中“析出”函数f（t）=t2+4a6t4（0

评注：利用导数求函数的最值是当下高考的热点，特别对含有参数的“混合型”函数（解析式中含指数函数、对数函数、三角函数、代数函数两类以上的），求导后，确定单调性、极值点、最值大小往往融合在一起，如何分清层次进行有序的讨论（不重不漏），关键是要把握好分类的标准和时机.

本例第（2）小题中，在已知实数a范围为[0，1]基础上，第一层按a是否为零进行分类；第二层在0