学习三角函数 培养建模素养

张多法

三角函数是反映具有周期变化规律问题的一类实际问题的数学模型，而自然界中具有周期变化规律的事情是非常广泛的，如行驶中的汽车，其轮胎上的某个点离地面的高度随时间的变化、日月星辰的变化、大海潮汐的变化等具有周期变化规律的问题都可以考虑建立三角函数模型来解决问题.新课程标准对高考水平数学建模的要求是：

能够在熟悉的情境中，发现问题、转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用.能够选择合适的数学模式表达所要解决的数学问题；理解模式中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题.

能夠在类似的情境中，经历建模的过程，理解建模的意义.能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果.在交流的过程中，能够用模型的思想说明问题.下面举例探究三角函数模型的应用，培养同学们的数学学科素养.

热点一 抽象实际情境 数学视角表达

例1 如图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧（不计阻力），在O点保持速率v0不变，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，当α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？

分析：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.

解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：s=Lcosα=v0tcosθ

-h=-Lsinα=v0tsinθ-12gt2.

由①②，整理得v0cosθ=Lcosαt，v0sinθ=-Lsinαt+12gt.

∴v20+gLsinα=14g2t2+L2t2≥214g2t2·L2t2=gL.

运动员从A点滑至O点，机械守恒有

mgh=12mv20，∴v20=2gh.

∴L≤v20g（1-sinα）=2ghg（1-sinα）=200（m），

即Lmax=200（m）.

又14g2t2=s2+h2t2=L2t2，

∴t=2Lg，s=Lcosα=v0tcosθ=2gh·2Lg·cosθ，

得cosθ=cosα.∴θ=α=30°.

∴L最大值为200米，当L最大时，起跳倾角为30°.

点评：（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.

（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.

热点二 理解问题实质 构建合适模型

1.合理构建三角函数模型

例2 为迎接旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

（1）试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

（2）请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

分析：（1）根据①，可知函数的周期是12；根据②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）-f（2）=400；根据③可知，f（x）在[2，8]上单调递增，且f（2）=100，由此可得函数解析式；（2）由条件知，200sin（π6x-5π6）+300≥400，结合x∈N*，求哪几个月份要准备400份以上的食物.

解：（1）设该函数为f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0，0<|φ|<π），根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）-f（2）=400，故该函数的振幅为200；由③可知，f（x）在[2，8]上单调递增，且f（2）=100，

所以f（8）=500.

根据上述分析可得，2πω=12，

故ω=π6，且-A+B=100，

A+B=500，解得A=200，

B=300.

根据分析可知，当x=2时，f（x）最小，

当x=8时，f（x）最大，

故sin（2×π6+φ）=-1，且sin（8×π6+φ）=1.

又因为0<|φ|<π，故φ=-5π6.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f（x）=200sin（π6x-5π6）+300.

（2）由条件可知，200sin（π6x-5π6）+300≥400，

化简，得sin（π6x-5π6）≥122kπ+π6≤π6x-5π6≤2kπ+5π6，k∈Z，

解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z.

因为x∈N*，且1≤x≤12，

故x=6，7，8，9，10.

即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物.

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题.解题的技巧是从问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型.本题中没有明确函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线.此类问题的一般解法是先由题目中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系.

2.比较几个三角函数模型的数据拟合效果

例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：时）而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：

（1）试画出散点图；

（2）观察散点图，从y=at+b，y=Asin（ωt+φ）+b，y=Acos（ωt+φ）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

（3）如果确定在白天7时～19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.

分析：（1）根据图表，直接画出散点图；（2）观察散点图，y=Asin（ωt+φ）+b的函数模型，求出A，T，求出b，推出ω，利用t=0函数值为1，求出φ，即可求出拟合模型的解析式；（3）通过函数值大于等于08，解出时间t的范围，即可推知安排白天内进行训练的具体时间段.

解析：（1）如图.

（2）由（1）知选择y=Asin（ωt+φ）+b较合适.

由图知，A=0.4，b=1，T=12，

所以ω=2πT=π6，把t=0，y=1代入

y=0.4sin（π6t+φ）+1，得φ=0，

所以所求的解析式为：y=0.4sinπ6t+1（0≤t≤24）.

（3）由y=0.4sinπ6t+1≥0.8，得sinπ6t≥-12，

则-π6+2kπ≤πt6≤7π6+2kπ（k∈Z），即12k-1≤t≤12k+7，

所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.

即应安排在11时到19时训练较恰当.

点评：在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要以下几个步骤：

（1）根据原始数据给出散点图.

（2）通过考查散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.

（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.