函数综合题的解题策略

邵红

所谓函数综合题，就是以函数知识为主体，同时还涉及到其他数学知识，而且要综合运用多种数学方法来进行求解的一类问题，具有一定的难度.大家知道，数学解题，必须讲究方法.方法得当，事半功倍；方法不当，半途而废.那么解答函数综合题，同学们必须掌握哪些基本的方法与技巧呢？

一、善于换元，化繁为简

换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.函数综合题中，往往可以经过换元将复杂的复合函数转化为简单的初等函数.

例1 （1）已知x∈（0，+∞）时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，则m的取值范围是 .

（2）对于函数f（x）=4x-m·2x+1，若存在实数x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，则实数m的取值范围是 .

解析：（1）令t=3x（t>1），则由已知得函数f（t）=t2-mt+m+1的图象在t∈（1，+∞）上恒在x轴的上方，则对于方程f（t）=0有

Δ=（-m）2-4（m+1）<0或Δ≥0，

m2≤1，

f（1）=1-m+m+1≥0，解得m<2+22.

（2）若存在实数x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，

即4-x0-m·2-x0+1=-4x0+m·2x0+1，

所以14x0+4x0=2m·（12x0+2x0），

令t=2x0（t>0），则1t2+t2=2m（1t+t），令λ=1t+t（λ≥2），所以2m=λ-2λ，

令g（λ）=λ-2λ（λ≥2），易知g（λ）在区间[2，+∞）上单调递增，所以2m≥2-22=1，故m≥12.

评注：本例第（1）小题，经过换元转化为我们熟知的二次函数问题.而本例第（2）小题经过两次换元，将原本复杂的函数问题转化为简单函数g（λ）的最值问题.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.

二、适当配方，巧中取胜

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”的技巧），通过配方找到已知和未知的联系从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”，“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.在函数综合题中，利用配方法往往可以将原问题转化为二次函数问题.

例2 （1）设函数f（x）=2x，x≤0，

log2x，x>0，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x0∈R，满足f（f（x0））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是 .

（2）若函数f（x）=m-x+3的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数m的取值范围是 .

解析：（1）当x≤0时，f（x）=2x，值域为（0，1]，所以f（f（x））=log22x=x；

当0

当x>1时，f（x）=log2x，值域为（0，+∞），所以f（f（x））=log2（log2x），

故f（f（x））=x，x≤1

log2（log2x），x>1.

当x≤1时，f（f（x））的值域为（-∞，1]；当x>1时，f（f（x））的值域为R，

因为a>0，令g（y）=2a2y2+ay=2a2（y+14a）2-18，对称轴y=-14a<0<2，

所以g（y）在（2，+∞）上是增函数，则g（y）在（2，+∞）上的值域为（g（2），+∞），即（8a2+2a，+∞），则8a2+2a≥1，解得a≥14，所以正实数a的最小值是14.

（2）易知f（x）=m-x+3在[a，b]上单调递减，

因为函数f（x）的值域为[a，b]，所以f（a）=b

f（b）=a，即m-a+3=b

m-b+3=a，

两式相减得，a+3-b+3=a-b=（a+3）-（b+3）=（a+3）2-（b+3）2，

所以a+3+b+3=1，

因为a

所以m=（a+3）-a+3-2=（a+3-12）2-94，

又0≤a+3<12，所以-94

评注：利用配方法将原问题转化为二次函数最值问题时，一定要特别关注二次函数的对称轴的位置，才能确定二次函数的单调区间和最值.

三、用好定义，返璞归真

某些数学定义，其实就是一个数学关系式，有时这正是我们解题的“切入口”.

例3 （1）若函数f（x）=xln（x+a+x2）为偶函数，则a= .

（2）若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]D（其中a

解析：（1）（法一）由偶函数定义得f（-x）=f（x），即-xln（a+x2-x）=xln（x+a+x2）恒成立，故有ln（x+a+x2）+ln（a+x2-x）=0，

∴ln[（a+x2）2-x2]=0，得lna=0，∴a=1.

（法二）根据“奇×奇=偶”，

设g（x）=ln（x+a+x2）为奇函数即可.

又∵g（0）=0，∴lna=0，∴a=1.

可验证a=1时，f（x）为偶函数.

（2）∵函数f（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数，∴a

∴当x∈[a，b]时，函数f（x）单调递减，

∴f（a）=b，f（b）=a，即a2+k=b，b2+k=a，

两式相减得a2-b2=b-a，即b=-（a+1），代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，

由a

即a<-a-1

a+1>0，∴a<-12

a>-1，解得-1

∴關于a的方程a2+a+k+1=0在区间（-1，-12）内有实数解，

记h（a）=a2+a+k+1，则h（-1）>0，h（-12）<0，

∴1-1+k+1>0，且14-12+k+1<0，解得-1

评注：本例第（1）小题中，法一是根据偶函数的定义f（-x）=f（x）待定a，转化为方程问题；法二则根据奇函数、偶函数的特殊结论快速求解.定义法有时虽然显得有些“笨拙”，却十分有效！本例第（2）小题是个新定义的探索性问题，看似比较复杂，但解题过程中只需“紧扣”新定义，将其转化为数学关系式，问题便迎刃而解.

四、着眼性质，等价转化

“转化”是数学解题的“主旋律”，而函数性质是实现“转化”的“助推器”.

例4 （1）已知f（x）是定义域为实数集R的偶函数，对任意的x1≥0，x2≥0，若x1≠x2，则f（x2）-f（x1）x2-x1<0.如果f（13）=34，4f（log18x）>3，那么x的取值范围为 .

（2）已知定义在R上的函数f（x）满足条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1

解析：（1）依题意得，函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（x）是定义域为实数集R的偶函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，则4f（log18x）>3等价于f（log18x）>34，即f（log18x）>f（13），所以|log18x|<13，解得12

（2）由函数f（x+2）的图象关于y轴对称，得f（2+x）=f（2-x），又f（x+4）=f（x），所以f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），由②知f（x）在[0，2]上是增函数，所以f（4.5）

评注：对于抽象函数问题，一般可利用它的有关性质，把原问题中的“f”符号脱去，转化为一般的不等式问题或方程问题，或从性质找出图象特征，利用图象特征（如函数的单调性、图象的对称性等）求解.

五、数形结合，答案自现

函数图象，是函数的另一种表现形式，函数的性质可从函数图象中直接看出.当遇到与函数有关的零点问题或参数取值范围问题时，数形结合能让答案自现.

例5 （1）函数f（x）=|x2-2x+12|-32x+1的零点个数为 .

（2）已知函数f（x）=2x，x≤0

log2x，x>0，且函数g（x）=f（x）+x-a只有一个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：（1）令f（x）=0，

即|x2-2x+12|=32x-1，

则函数h（x）=|x2-2x+12|和函数g（x）=32x-1的交点个数即为函数f（x）的零点个数，如图所示，h（x）与g（x）有两个交点，所以函数f（x）的零点个数为2.故答案：2.

（2）由题意，函数g（x）=f（x）+x-a只有一个零点，即方程f（x）=-x+a有且只有一个解，作出函数f（x）=2x，x≤0，

log2x，x>0，的图象如图所示，而当a=1时直线y=-x+1与f（x）有两个交点，故当a>1时直线y=-x+a与f（x）有且只有一个交点，a∈（1，+∞）.故答案：（1，+∞）.

评注：对于函数零点问题，当给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.而对于含参零点问题，往往将其转化为一“静”一“动”的两个函数的位置关系，从“动”函数的平移中直接得到参数的取值范围.

六、分类（段）讨论，一网打尽

在函数综合题中，当自变量不确定或参数的取值范围不确定时，必须分段或类讨论，这是解函数综合题的基本方法之一.

例6 （1）已知函数f（x）=3x+1，x≤0，

log13x，x>0，则不等式f（x）>1的解集为 .

（2）函数y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为 .

解析：（1）若x≤0，则不等式f（x）>1可转化为3x+1>1x+1>0x>-1，∴-1

若x>0，则不等式f（x）>1可转化为log13x>10

综上，不等式f（x）>1的解集为（-1，13）.

（2）当a>1时，函数y=logax在[2，4]上是增函数，所以loga4-loga2=1，即loga42=1，所以a=2.当0

评注：遇到分段函数问题应分段解决，遇到指数函数或对数函数的底数为参数时必须分类讨论.分段或分类讨论函数问题，必须做到不重不漏，做到一网打尽.