函数与方程思想在解题中的应用

沈健

纵观近几年的高考试题，对函数与方程等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在.

考情解读

高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.

要点梳理

函数思想

一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题.

方程思想

1.方程思想就是将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，使问题得到解决.

2.方程思想与函数思想密切相关：方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标；函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通过方程进行研究，方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.

函数与方程思想在解题中的应用

1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

（1）借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

（2）在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.

2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：

（1）解方程或解不等式；

（2）带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；

（3）需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；

（4）构造方程或不等式求解问题.

热点突破

一、函数与方程的思想在方程问题中的应用

例1 （1）已知函数f（x）滿足：①定义域为R；②x∈R，都有f（x+2）=f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1.则方程f（x）=12log2|x|在区间[-3，5]内解的个数是 .

（2）设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时，a的取值的集合为 .

解析：（1）画出y1=f（x），y2=12log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.

（2）由已知得y=acx，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，y∈[ac-12，ac-1]，

所以ac-12≥a

ac-1≤a2c≥2+loga2

c≤3.

因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，

所以a的取值的集合为{2}.

点评：（1）方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.（2）对于方程中的含参问题，往往可以将方程问题转化为函数问题，并利用函数的有关性质加以解决.

二、函数与方程的思想在不等式恒成立中的应用

例2 （1）当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是 .

（2）设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[23，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 .

解析：（1）当x∈（1，2）时，由x2+mx+4<0得m<-x2+4x.令f（x）=x2+4x=x+4x，则易知f（x）在（1，2）上是减函数，∴x∈[1，2]时f（x）max=f（1）=5，则（-x2+4x）min>-5，∴m≤-5.

（2）依据题意得x2m2-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈[32，+∞）上恒定成立，即1m2-4m2≤-3x2-2x+1在x∈[32，+∞）上恒成立.当x=32时函数y=-3x2-2x+1取得最小值-53，∴1m2-4m2≤-53，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-32或m≥32.

点评：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.

三、函数与方程的思想在三角函数中的应用

例3 （1）已知sin（α+β）=23，sin（α-β）=15，则tanαtanβ= .

（2）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是 .

解析：（1）解法1：由已知得

sinαcosβ+cosαsinβ=23

sinαcosβ-cosαsinβ=15，

∴sinαcosβ=1330，cosαsinβ=730，

∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137.

解法2：令x=tanαtanβ，∵sin（α+β）sin（α-β）=103，

且sin（α+β）sin（α-β）=sin（α+β）cosαcosβsin（α-β）cosαcosβ=tanα+tanβtanα-tanβ

=tanαtanβ+1tanαtanβ-1=x+1x-1.

∵x+1x-1=103，解得x=137，即tanαtanβ=137.

（2）可设BC=x，则AC=2x，

根据面积公式得S△ABC=x1-cos2B，由余弦定理计算得cosB=4-x24x，

代入上式得

S△ABC=x1-（4-x24x）2=128-（x2-12）216，

由2x+x>2

x+2>2x，得22-2

故当x=23时，S△ABC最大值为22.

点评：（1）在三角函数的求值问题中，有时可将把这个需求的值看出方程的解，于是把三角函数求值问题，转化为解方程问题.（2）解三角形的最值问题，最常见的方法，就是建立目标函数，转化为函数的最值问题.

四、函数与方程的思想在平面向量中的应用

例4 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若AC·BE=1，则AB的长为 .

解析：解法1：因为AC=AB+AD，BE=BA+AD+DE

=-AB+AD+12AB=AD-12AB，

所以AC·BE=（AB+AD）·（AD-12AB）

=AD2+12AD·AB-12AB2

=1+12×1×|AB|cos60°-12|AB|2=1，

所以14|AB|-12|AB|2=0，解得|AB|=12.故AB的长为12.

解法2：如图，以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（0，0），D（1，0），设AB的长为a，则B（a2，32a），C（1+a2，32a），因为E是CD的中点，

所以E（1+a4，34a），所以AC=（1+a2，32a），BE=（1-a4，-34a），

AC·BE=（1+a2）（1-a4）-38a2=1，即2a2-a=0，

解得a=12或a=0（舍去）.故AB的长为12.

点评：向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，最终转化为函数或方程问题，从而使问题得到解决.（2）基向量法，适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.

五、函数与方程的思想在数列中的应用

例5 （1）数列{an}的通项公式an=n（n+4）（23）n的最大项为第 项.

（2）已知数列{an}的前n项和为Sn.

是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n+1）？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由.

解析：（1）an≥an+1

an≥an-11-10≤n≤1+10

n≥1010≤n≤1+10，

由n∈N*得n=4，所以最大项为a4.

（2）假设存在满足条件的数列{an}，设此数列的公差为d，则

[a1+（n-1）d][a1n+n（n-1）2d]=2n2（n+1），得

d22n2+（32a1d-d2）n+（a21-32a1d+12d2）=2n2+2n对n∈N*恒成立，

则d22=2

32a1d-d2=2

a21-32a1d+12d2=0，解得d=2

a1=2

或d=-2

a1=-2此时an=2n，或an=-2n.

故存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n+1）.

其中an=2n，或an=-2n.

点评：（1）等差（比）数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；（2）数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解.（3）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.（4）求解数列中的若干未知量问题，常可通过待定系数或联立方程组来解决，若出现多解时，注意要根据题目要求作适当的取舍.

六、函数与方程的思想在立體几何中的应用

例6 某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为 .

解析：如图所示，在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连结BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC，

所以VABCD=13S△BPC·AD

=13×12×a×a2-x24-a24·x

=112a·（3a2-x2）x2

=112a·-（x2-3a22）2+9a44≤18a3，

当且仅当x2=32a2，即x=62a时取等号.

故答案：18a3.

点评：在立体几何的有关计算问题中，往往可将变量间的关系转化为方程或函数关系，从而将几何问题代数化.本题中，四面体体积的大小取决于AD的大小，于是把AD看成自变量，将四面体体积转化为函数问题，进而通过求函数的最值求得四面体体积的最值，体现了函数思想在立体几何中的应用.

七、函数与方程的思想在解析几何中的应用

例7 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分别为F1和F2，由4个点M（-a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值.

解析：（1）由条件，得b=3，且2a+2c2·3=33，所以a+c=3，

又a2-c2=3，故可解得a=2，c=1.所以椭圆的方程x24+y23=1.

（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my-1，直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立方程x24+y23=1

x=my-1，消去x得，（3m2+4）y2-6my-9=0，

因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交.

∴y1+y2=6m3m2+4，y1·y2=-93m2+4，

S△F2AB=12|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|

=（y1+y2）2-4y1y2=12m2+1（3m2+4）2

=4m2+1（m2+1+13）2

=41m2+1+23+19（m2+1），

令t=m2+1≥1，设y=t+19t，当令t∈（0，13）时，函数单调递减，当t∈（13，+∞）时函数单调递增.所以当t=m2+1=1，即m=0时，ymin=109.

故m=0时，ymin=109.此时S△F2AB取得最大值为3.

点评：函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，并用适当的代数方法（如配方、基本不等式、函数单调性等）加以解决.

八、函数与方程的思想在函数综合性问题中的应用

例8 已知函数h（x）=（x-a）ex+a.

（1）若x∈[-1，1]，求函数h（x）的最小值；

（2）当a=3时，若对x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae+e+152成立，求b的范围.

解析：（1）h′（x）=（x-a+1）ex，令h′（x）=0得x=a-1.

当a-1≤-1即a≤0时，在[-1，1]上h′（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为h（-1）=a-1+ae.

当-1

当a-1≥1即a≥2时，在[-1，1]上h′（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1-a）e+a.

综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为a-1+ae，当a≥2时h（x）的最小值为（1-a）e+a，当0

（2）令f（x）=x2-2bx-ae+e+152，

由题可知“对x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae+e+152成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[-1，1]上的最小值”.即h（x）min≥f（x）min.

由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1-a）e+a=-2e+3.

当a=3时，f（x）=x2-2bx-2e+152=（x-b）2-b2-2e+152，x∈[1，2]，

①当b≤1时，f（x）min=f（1）=-2b-2e+172，由-2e+3≥-2b-2e+172得b≥114，与b≤1矛盾，舍去.

②当1

③当b≥2时，f（x）min=f（2）=-4b-2e+232，由-2e+3≥-4b-2e+232得b≥178.

综上，b的取值范围是[178，+∞）.

点评：函数综合性问题在高考中，一般处于压轴题的地位，难度较大，这类问题与函数与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.尤其是对于一类不等式恒成立问题和函数零点问题，往往可利用导数将其转化为函数问题，进而利用函数性质或函数的图象特征，将其解决.

方法归纳

1.函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系.

2.在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想.

3.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.