精心设计教学环节 循序渗透数学思想

马天青

【摘 要】本文例举数学课堂教学中渗透数学思想的基本方法与策略，提出要创设情境、渗透数学思想；设计问题、浸润数学思想；小组合作、交流数学思想；教师引导、点拨数学思想；题组练习、运用数学思想；课堂小结、强化数学思想；单元复习、串联数学思想；学业测评、提升数学思想；课外活动、延伸数学思想，以培养学生的数学思想方法，提高数学教学质量。

【关键词】课堂教学 数学思想 创设情境 设计问题

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）03B-0112-03

数学思想是数学学科的精髓，它揭示数学的本质和发展规律，是解决数学问题的根本策略。《义务教育数学课程标准》明确指出：“数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”这就要求教师全面挖掘、深刻分析、及时提炼数学思想，并在教学各个环节中循序渗透。

要在课前宏观设计渗透数学思想的策略。数学思想隐含在数学知识中，与具体的数学知识结合成为有机整体，无法像数学知识那样编为章节来教学。因此教师要总体把握每本教材、每个章节、每一节课中隐含的数学思想，宏观设计渗透数学思想的框架，微观拟定渗透数学思想的方案。在教案中必须写出怎样让学生经历知识的形成、发展、应用的过程，怎样唤起学生深层次的数学思考，怎样激发学生的学习兴趣，怎样切实可行地渗透数学思想等。老师成竹在胸，学生才会学有所获。

要懂得课堂是渗透数学思想的主阵地。教师要精心设计教学环节，循序渗透数学思想，尽力打造高效课堂和智慧课堂。

一、创设情境，渗透数学思想

良好的开端是成功的一半，兴趣是最好的老师。因此老师应该根据教学内容，创设恰当而丰富的教学情景，渗透数学思想，使学生兴致勃勃地走进课堂。如人教版八下《17.1 勾股定理》的导入，我们组创设如下情境（见图 1）：

这是一个经典的渗透数学思想的情境，通过动人的故事、美丽的图案和精彩的设计导入课题，巧妙渗透了观察、抽象、猜想、数形结合、转化、演绎等数学思想。数学教材中同类情境很多，都可以利用，充分发挥其作用。

二、设计问题，浸润数学思想

数学是大脑的体操，问题是数学的心脏。老师要善于在知识的关键点、障碍点、数学思想渗透点精心设计问题，并给学生足够的时间思考，引导学生由浅入深地学习、思考、感悟数学思想。 如人教版七上《第 2 章 数学活动 3 》，笔者设计如下：

请同学们观察手中的月历（每个小组的月历不同），并思考下列问题：

（1）橫排上的数字的排列规律。

（2）纵列上的数字的排列规律。

（3）对角线从上方到下方的数字排列规律。

（4）用矩形框住的四个数字的规律，你能用字母验证这个规律吗？

（5）将（4）中的某行数向右（左）移动一个数字的位置后，（4）中的规律成立吗？为什么？

（6）用矩形框住月历中的九个数字。

①这九个数字和与方框正中心的数有什么关系？

②将矩形移动几个位置试试其中的关系还成立吗？

③你能证明这个结论吗？

（7）上述结论对于任何一个月的月历都成立吗？为什么？

三、小组合作，交流数学思想

在学生充分思考的基础上，用小组竞赛的方式鼓励学生合作交流，大胆展示。尊重学生的个体差异和多样化学习的需要，促使全班学生积极主动地、富有个性地学习。如，人教版九上《 24.1.1 圆》，笔者要求学生先预习、思考，再讨论下列问题。

学生在思考、交流、展示的过程中掌握本节课必要的基础知识与技能，感悟归纳、数形结合、类比、从特殊到一般、从一般到特殊的数学思想。

四、教师引导，点拨数学思想

对学生独立思考、小组交流后存在的问题，老师要正确引导，巧妙点拨，热情鼓励。众所周知，中考压轴题知识点多、综合性强、数学思想活，要引导学生攻克这一难关，教师必须认真研究全国各地近几年的压轴题，先按题型分类，同一题型从易到难排序；再对学生进行专项训练、批阅、讲评、纠错、巩固。如探究抛物线中特殊三角形的存在性就有：（1）直角顶点位置分类；（2）等腰三角形的两腰分类；（3）全等（相似）三角形的对应元素的分类，等等。压轴题的训练与讲解是点拨数学思想的好方法之一。

五、题组练习，运用数学思想

在挖掘本质的数学思想的基础上，把课内外作业设计成梯度渐进的题组，有效训练。讲评时，教师不能只给答案，而要启发学生：你是怎么想的？你为什么会这么想？同学们还有没有别的解法？哪种方法更简单？等等。如，学完九下《第 28 章 锐角三角函数》之后，笔者设计的题组如下（一组图形，多种结论）：

〖活动一〗画图说话

请同学们先在草稿本上画一个 RtΔABC，∠C=90°，按下面要求写结论。

（1）边与边的关系：

（2）角与角的关系：

（3）边与角的关系：

（4）其他结论：

〖活动二〗添线识图

请同学们画出 RtΔABC 斜边 AB 上的高 CD，并按要求写结论。

（1）所有的直角：

（2）所有相等的锐角：

（3）所有的平方和等式：

（4）所有相似的三角形：

（5）所有的比例式：

（6）所有的等积式（包括射影定理）：

〖活动三〗智力大比拼

（1）如果画出 RtΔABC 外接圆 O，你又能写出哪些新结论？

（2）如果把 RtΔABC 绕斜边 AB 所在的直线旋转一周，形成什么样的几何体？你能求出它的表面积吗？相信你是最棒的。

（3）你还有什么新的发现？让大家共享你的智慧。

六、课堂小结，强化数学思想

课堂小结引导学生反思和评价自己的学习情况，老师予以鼓励，让学生感受成功的喜悦。同时老师还要强化本节课的数学思想，并为下一次课设下悬念，激励学生课外继续探讨。如，人教版七上《 3.1.1 一元一次方程》（第 1 课时）的小结，我们组设计如下：

又如，人教版八下《17.1 勾股定理》（第 1 课时）的小结，我们组这样设计：

七、单元复习，串联数学思想

在复习梳理知识点的同时，还要对数学思想进行串联，使学生进一步领悟数学思想的价值，实现质的“飞跃”。如人教版八上第 13 章第 3 单元《等腰三角形》复习，我们组设计为：

先回顾等腰三角形的定义、性质和判定，然后设计练习，对数学思想的应用进行串联和总结。

1.第一类题目：分类讨论

（1）等腰三角形的两条边的长分别是 5 和 8，则它的周长为 ；若两边长分别为 3 和 8 ，则它的周长为 。

（2）已知等腰三角形一个角为 50°，则底角的度数为 ；若这个角为 100°，则底角的度数为 。

（3）等腰 △ABC 一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为（ ）

A.60° B.120° C.60°或 150° D.60°或 120°

教师引导学生小结：

在解与等腰三角形相关的题目时，经常会运用分类思想进行讨论。

等腰三角形的边不确定→分类（满足三边关系）。

等腰三角形的角不确定→分類（满足三角形的内角和定理）。

2.第二类题目：方程思想

（1）如下左图，在 △ABC 中，AB=AC，AD=BD=BC，求∠A 的度数。

（2）如下右图，∠DEF=36°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A 的度数。

（教师引导学生小结：这两个题如果把∠A 的度数设为 x，列方程解答可以化繁为简，体现方程思想在几何计算题中的应用）

3.第三类题目：转化思想

一 变式二

变式三 变式四

已知，如上左图，AB=AC，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB。问：图中有几个等腰三角形？

变式一：若将题中 △ABC 改为一般的三角形，其他条件不变。问：线段 EF 与 BE、CF 有何数量关系？

变式二：若过 D 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，则图中增加了几个等腰三角形？

变式三：将 CD 变成 △ABC 的外角 ∠ACG 的平分线，其他条件不变。EF 与 BE、CF 之间有什么数量关系？

变式四：BD、CD 为 △ABC 两外角 ∠CBM、∠BCN 的平分线，其他条件不变。EF 与 BE、CF 之间有什么数量关系？

教师引导学生小结：

角与角的转化→相等角之间的代换。

边与角的转化→在同一个三角形中等边对等角，在同一个三角形中等角对等边。

边与边的转化→相等线段之间进行代换。

八、学业测评，提升数学思想

教师命题时，要重视数学思想的测评点。提倡教师引导学生自主命题，按“个人选题—小组筛选整合—老师挑选试卷测评—师生共同分析利弊—命题者修改完善”的程序循环进行，如此这般，学生对数学思想的理解自然而然得到提升。

九、课外活动，延伸数学思想

课外活动是课堂教学的补充，教师应该组织学生参加一题多解、专题讲座、智力竞赛、编手抄报、制作模型、统计调查等活动，让学生在活动中延伸数学思想。

数学是思维的种子，是培养学生“会思想”的载体，教师要善于引导学生用数学思想和方法建构知识体系，使数学思想内化为学生的数学素养。

【基金项目】教育部中国智慧教育督导“十三五”科研规划重点课题“教育模式创新的研究与实践”之子课题“初中数学课堂教学中渗透数学思想的策略与方法”（EDUZHI 30041-KYKT1468）。

（责编 卢建龙）