从无理数的实际使用看高等数学教学内容的展开

张志海 庞培林 栗文国

摘 要：文章以无理数的实际使用为驱动，以数值算法构造思想为拓展，阐述了高等数学相关内容教学如何进行实施性的展开。过程体现以教师启发、引导为前提，以师生间互动的讨论式进行探究、发现，以归纳、概括、总结抽象一般结果的教学理念。

关键词：问题驱动；探究式；无理数

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）21-0112-03

Abstract： Along with the actual use of irrational numbers and the idea of numerical algorithm construction， the problem of how to carry out the instructional design of related content about higher mathematics is discussed. By the means of teachers' inspiration and the discussion between teachers and students， this thesis explores the teaching idea which can discuss， discover and summarize the general results.

Keywords： problem driven； inquiry teaching method； irrational numbers； higher mathematics

高等数学是以函数作为研究对象，核心内容是微积分学，思想、方法的实质则是以动的、变化的、联系的看待和处理问题。课程所涉内容建立的方法体系决定了它是开展一切科研活动的重要工具，确立了它在提高学生综合、灵活使用知识解决实际问题能力的作用；蕴含有哲学性、科学性的思想体系和语言描述上的严谨、完美奠定了它在人的世界觀改造和素质教育中的地位和价值。这是大学教育中普遍开设此课程理由，也是其成为理工科各专业重要的一门基础课的原因。

人类对数的认识始于自然数，接着认识了分数，借助数“零”和负数的引入，顺利形成了有理数系。无理数的发现源于毕达哥拉斯学派，从它的发现、普遍概念的形成，到用代数方法更精确地形成无理数的理论基础，人们对无理数的本质及其理论的完整认识经历了一个极为艰难的时期，期间有人为此付出了生命的代价，也引发了第一次数学危机。直到19世纪中叶之后， 随着实数理论的完整建立，人们对无理数的认识从理论上才得以解决，并被广泛接受。正是有了以有理数、无理数组成的实数理论，才真正建立了数与数轴上的点间“一一”对应，进而借助数轴上点的连续性，实现了对数的认识由离散向连续的升华。这是现代分析学（包括微积分学）和几何学发展的基础，也是数学发展史上一次重大的进步。

实数由有理数和无理数构成，任意两个实数间既有大量的无理数，亦有大量的有理数。有理数可被表为小数或无限循环小数，无理数则被表为无限不循环小数。正是无限不循环性使得准确的无理数看得见摸不着，这即是无理数最初不被接受的原因，也是造成无理数在实际使用中的困难所在.准确的无理数使微积分学及现代分析学有了坚实的立足点，实际使用的无理数对理解和认识微积分学会提供什么帮助呢？我们以为例，走进实际使用的无理数看问题驱动下高等数学相关内容的教学展开。

1. 比较的目的是提供近似计算公式建立过程中对初始近似补偿部分选取的依据；

2. 比较的是无穷小趋于零的速度的快慢程度；

3. 比较的基础是都为同一自变量变化过程下的无穷小。

结合曾处理过的两个无穷小之商极限所出现的结果，不难建立比较的方法。

二、函数的微分

数学理论的产生源自于人们实际生活和生产活动.它或是人们实际生活和生产活动所遇不同背景下问题在解决过程中的研究对象、处理方法所呈现出共性的高度抽象、归纳、概括和总结；或是利用处理特定问题过程中观察、发现所得的具有一般意义下的特殊结果，建立从群体中进行类别区分的原则，并通过类比方法找到各类别所具有的不同规律、存在的环境和条件，进而形成归类的判断方法。

函数的微分概念建立后，剩余的问题就是本着数学处理问题的一贯思想，1. 在新建立的微分与已有结果间关系的探索中去获取函数可微的判断及如何求函数微分的方法；2. 数学理论的实际指导意义，即利用微分所建立的近似式结构树立实际问题解决过程中可实现以直代曲，非线性问题线性化。

探究函数能这样写且满足要求的条件，便可针对一般函数引导出泰勒公式。

数学是一门追求准确性的科学，以泰勒公式提供的计算近似值算法为基础，以追求准确为目标引发的无穷项求和及函数的幂级数展开等问题不再一一描述。

四、结束语

教学实践表明：以贴近生活和实际的问题为驱动，营造数学理论产生的意境，在教师的启发、引导下，通过师生间的互动、讨论，在问题求解所呈现出的规律和共性的探索、发现中去抽象、归纳、概括和总结，在结论富有严密逻辑性的推导中去验证，在完美和严谨的语言描述下去体验，不仅可提高学生学习数学的兴趣和动力，也可充分展现数学教育在提高学生素质上的教学功能，发挥其对学生创新意识、创新能力培养的作用。

参考文献：

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