让数学学习启迪学生学会思考

首都师范大学附属育新学校 见海荣

叶圣陶先生曾说：教是为了不教。我的理解就是数学学习不是简单地让学生习得知识，更是让学生习得学习知识的方法。作为初中数学教师，就是要通过教师的课堂教学，把数学学习的方法教给学生,从而启迪学生的思维发展。

一、传授思维之道

教学，要讲清知识的来龙去脉、知识的习得过程方法及思维的方法。要达成这样的教学设计，需要教师深度理解数学，整体把握教学内容进行教学设计。章建跃先生曾说：理解数学，体会数学知识的意蕴，才能理解数学的基本思想，把握数学的基本方法。理解数学的水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果。因此，做好教学设计的前提是教师对教学内容的理解。

以《从分数到分式》的教学为例，在教学设计前，教师就要达成对这一内容的深度学习。我们知道分式属于代数的典型内容，而代数学的根源在于代数运算，这就是教学设计的起点；我们还知道数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比发现需研究的问题和方法，是基本且重要的数学方法。我们还知道代数运算的过程和方法可以容易发展成高层次函数观点，这就是知识的延伸。基于这些认识，教师将围绕以下内容引领学生进行数学学习：

1.起点：如何设计运算创造新的数学对象——分式？基于这个问题，本节课将引导学生用整式除法这种运算在整式范围内的不封闭性引发学生认知的冲突，从而创造新的数学对象——分式。

2.理解：如何用运算帮助学生理解新的数学对象——分式？基于这个问题，本节课将引导学生通过除法的性质（除法运算的使用条件）来理解分式有意义、分式值为0的条件。

3.方法：如何类比分数学习新的数学对象——分式？基于这个问题，本节课将引导学生用由特殊到一般的方法达成这一目标的学习：

层次一：由数系的扩充到式的扩充：由整数除法运算产生分数类比到整式除法运算产生分式；

层次二：由分数的性质类比学习分式的性质（分式值为0、有意义的条件）。

4.延伸：如何在教学中渗透函数的观点？基于这个问题，本节课教师引导学生体会分式的值是如何随着分式中字母取值的变化而变化的，为初三反比例函数的学习做好铺垫。

这样的教学设计使学生在瞻前——整式除法运算的矛盾冲突中，自然产生新的数学对象——分式，使学生在明白为什么学习新的数学知识的同时加深了整式与分式间的联系。教学中用分数的学习经验类比学习解决分式问题的方法，让学生深刻地体会到数式通性。教学中教师有意识地渗透，使学生可以顾后：对函数意识有了初步体会，为后续学习打好伏笔。这样的教学设计加深了知识各部分之间的联系，使知识成为一个相互联系的、密不可分的整体，易于形成知识系统。这样的教学设计更体现了代数运算教学方法的一致性，即用运算产生新对象，用运算理解新对象，用数式通性，即类比的方法学习新的数学对象。学生积累的这种学习知识的经验有利于培养系统思维，让学生养成全面思考问题的习惯，让学生能“由木见林”，将来在面对新的代数运算的其他内容时，他们可以用同样的方法认识问题，解决问题，这就是思维之道。

二、传授思维之法

俗话说：授之以鱼不如授之以渔。教师要通过自己的教学设计让学生获得理解和解决问题的工具——“一般方法”。

在《平方差公式》的教学中，教师通过问题引导学生回顾幂的运算性质的学习以及等腰三角形的性质的学习过程，让学生重拾原有的活动经验：幂的运算性质的学习是具体的数的幂的运算到抽象的式的幂的运算，这是用从特殊到一般的方法习得新知；等腰三角形的性质的学习是先学习一般三角形的性质，再到特殊的三角形——等腰三角形，从条件特殊化会引发什么结论特殊化，即从一般到特殊的方法习得新知。这样的回顾为后面建构平方差公式提供了解决问题的原型以及更好地理解和解决问题的工具——“一般方法”。这个“一般方法”让学生拥有用数学的眼光在对旧知识的再认识（上节课的多项式乘以多项式的练习）中提出新的问题：

方法一：学生可以把已有的多项式乘以多项式公式（a+b）(c+d）=ac+ad+bc+bd特殊化，如：让a=c,b=d或a=c,b=-d等。即从一般到特殊的方法得到新的公式，这种发现方法需要学生具备较高的认知水平和较高的理性思考精神。

方法二：学生通过特殊形式的多项式相乘运算结果发现某些运算结果简单，从中发现这种特殊的多项式相乘的结构特征，从特殊到一般地发现新的公式，并证明所发现的公式。这个过程中学生经历了观察——思考——抽象——推理——归纳的全过程，经历了数学抽象、数学建模的全过程。

这样的设计中，教师引导学生用数学的眼光发现问题，用数学的方法分析问题，最终用数学的思维解决问题，从而获得新知。这样的过程使学生学会如何思考问题，特别是有逻辑地思考问题，即习得思维的方法，容易使学生成为善于认识问题、善于解决问题的人才。

三、关注思维之度

教师的教学设计应该引发学生不同角度的思考，引发学生更深刻的思考，引发学生创新性的思考，为学生搭建思维发展的空间。

1.开放性的教学设计关注思维多样性

在《平方差公式》一节，教师设计开放性问题：你能从前面多项式乘以多项式的习题中发现新的问题吗？你可以通过怎样的不同途径对你发现的问题进行解决？学生提出的问题可以是开放的，解决问题的路径是开放的，让学生可以从不同角度发现问题，用不同方法解决问题。

在引导学生概括归纳平方差公式的阶段，教师引导学生从符号语言、文字语言、图形语言等不同方面多元理解平方差公式，这样可以让拥有不同特长智能的学生选择他们更合适的方法，让不同智能的学生优势互补，共同发展。

2.开放性教学设计引发学生思维创新性

在《角的再认识复习课》的教学设计中，教师让学生画一个角，使它等于已知角。问题的开放性带来学生解答方式的多样性：有直接应用所学单一知识画出已知角，从而完成知识梳理的基本方法，更有综合所学知识，融会贯通运用知识，创造性画出已知角的创新型方法。正是教师开放性的问题设计激发了学生的创造性思考，这样的设计让学生有展示的空间和时间，让学生获得成功的快乐，从而乐学。

3.变式设计引导学生思维深刻性

教师的教学设计均围绕同一情境，通过变式教学提出不同层次的问题：有让基础薄弱的学生也能入手的基础题，让他觉得数学“不难”，我可以学，还有体现通法，关注大多数学生的典型题——让他觉得数学“有律可循”，我可以做，更有思维深度让优秀学生有展示天地的提高题，让他觉得数学“要攀登”，我可以做得更好。这样的设计让学生达成对知识的本质结构的理解，突破难点，一步步引发更深层次的思考。

如角的复习课中，教师设计如下习题：

（1）如图1，AB∥CD，请你探究∠B、∠C、∠E的关系。

（2）如图2，点E位置发生变化，其余条件不变，请你直接写出∠B、∠C、∠E的关系。

（3）如图3，点E位置发生变化，其余条件不变，请你直接写出∠B、∠C、∠E之间的关系。

（4）如图4，AB与CD交于点N，请你探究∠B、∠C、∠E、∠N的关系。

图 1

图 2

图 3

图 4

这样的设计,让学生从复习平行线中的角到三角形中的角,知识从简单到复杂，方法上深思有什么共通之处?有什么变化之处?为什么共通?为什么变化?这样的教学设计引发学生的思维步步深入，真正达成了对知识由厚到薄的学习过程。

综上所述，教师的教学正如傅种孙先生在谈到教学时所说的：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，启发学生，示以思维之道。